224
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
a. Kapan sensitivitas tubuh meningkat?
b. Kapan sensitivitas tubuh menurun?
c.
Berapakah nilai maksimum sensitivitas tubuh?
12.
Kecepatan suatu reaksi kimia yang bergantung pada jumlahnya memenuhi
persamaan v = k 300 k
x – 2
x x
2
2
, dengan k adalah konstanta. Tentukan jumlah zat
tersebut agar kecepatan reaksi minimum.
13. Jika impedansi suatu rangkaian listrik
memenuhi persamaan Z= Z
R
2 2
x
c 1
x
1
, tentukan X
C
X agar Z minimum. Diketahui:
Z R
= 1.500 Ω danX
n
L
X X
= 1.000 Ω
L
F. Turunan Kedua
Anda telah mempelajari turunan pertama fungsi yang dinotasikan dengan
dy dx
atau y atau df
dx atau f x
Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsi turunan kedua yang dinotasikan dengan
d dx
dy dx
d y dx
2 2
atau ditulis y d
dx df
dx d f
dx
2 2
atau ditulis f x Turunan kedua fungsi f
ff x
d y dx
2 2
atau y atau
d f dx
2 2
atau f x
Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut. a
. f
ff x = 2x
2
4
– 5xx
b
. f
ff x = x sin x
Jawab: a
. f
ff x = 2x
2
4
– 5x f
‘x = 8x
3
– 5 f
“x = 24x
2
Turunan kedua fungsi f ff x
= 2x 2
4
– 5x adalah x
f x = 24x².
b .
f ff x
= x sin x
f x = 1
2
1 2
x sin x +
x x cos x =
x 1
2 x sin x +
x x cos x
Contoh 8.28
Di unduh dari : Bukupaket.com
225
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
f x =
1 4
3 2
x sin x +
x 1
2
1 2
x cos x =
x 1
2
1 2
x cos x –
x x
sin x =
1 4 x x
sin x + x
1 x
cos x – x
x sin x
Turunan kedua dari f ff x
= x sin x adalah
x f
x = 1
4 x x sin x +
x 1
x cos x –
x x
sin x.
Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan s memenuhi persamaan t
3
tt – 6t
2
tt + 30t. Dalam hal ini, s dalam meter dan t dalam
t detik.
a
. Hitunglah panjang lintasan pada saat t = 3 dan t = 5.
b
. Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah t = 4 detik.
c .
Hitunglah laju pada waktu percepatannya nol.
Jawab: a
. Pada saat t=3, panjang lintasannya adalah
s 3 = 3
3
– 6 3
2
+ 30 3 = 63 meter Pada saat t = 5, panjang lintasannya adalah
s 5 = 5³ – 6 5² + 30 5 =125 meter
b
. s = t
³ tt –
6t
2
tt + 30t
Kecepatan v = v
ds dt
= 3t
2
tt – 12t + 30
t Kecepatan pada t = 4 sekon adalah v4 = 3 4
2
– 12 4 + 30 = 30 mdetik
Pecepatan a = d s dt
dv dt
2 2
= 6t – 12 t
Percepatan pada t = 4 sekon adalah a4 = 6 4 – 12 = 12 mdetik
2
c
. a =
0 maka 6t – 12 –
= t
= 2 v
t = 3 t
t ² – 12t + 30, untuk
t t
= 2 maka t
v 2 = 3 2² – 12
2 2
2 2 + 30
2 2
2 = 18 mdetik
Contoh 8.29
Teorema L’ Hopital
Jika x = a disubstitusikan ke bentuk lim
x a
f g
x x
diperoleh bentuk tak tentu
atau
∞ ∞
, Anda dapat menggunakan teorema L Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertama
oleh Marquis L Hopital, seorang matematikawan Prancis 1661–1704 M.
Di unduh dari : Bukupaket.com
226
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tentukan limit fungsi berikut.
a
. lim
x
x x
x
2 2
4 4
x 2
b. lim
cos sin
x
x x
x sin
4 1
x
Jawab: a
. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh
lim
x
x x
x
2 2
2
4 4
x 2
4
2
4 2
2 bentuk tak tentu
Dengan teorema L Hopital, diperoleh lim
lim
x x
x x
x
x
x x
2 2
2
4 4
x 2
2 4
x 4
1 = 22 – 4 = 0.
b
. Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh
lim cos
sin cos
. i
x
x x
x sin
4 1
x 1
.sin 1 1
bentuk tak tentu lim
cos sin
si cos
sin
x
x x
x sin
x x
x cos
x 4
1 x
4 4
sin = lim
cos cos
i cos
x
x x
x cos
sin x
x 16
4 =
16 16 1
1 1
cos cos 0
i cos
. = –8
Contoh 8.30
Deinisi 8.3
Jika lim , li
x a
x a
f g
a x
x x
, lim g x , serta lim
x a
f g
x x
ada, baik terhingga atau tak hingga maka lim
lim
x a
x a
f g
f g
x a
g x
xx x
x .
Perluasan teorema LHopital adalah l
lim lim
lim
x a
x a
x a
f g
f g
f x
a x
g x
xx x
x g
f g
x a
lim Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk
.
Di unduh dari : Bukupaket.com
227
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Tes Kompetensi Subbab F
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1
. Tentukan turunan kedua dari fungsi aljabar
berikut. a
. fx = x
5
+ 7x
3
+ 2x
2
+ 12x + 8
b . fx = 2 x + 5x
2
– 3x
c . fx = 6x
4
+ 12 2
3
x x
d . fx =
2 4
4
x
e . fx = 3x– 4
10
f
. f
x = x
2
+ 52x³ – 3x + 9
g
. fx = 2 2
1
5
x x
h . fx =
4 3
x x
2. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi
berikut. a
. fx = tan x
b . fx = sin 3x
c
. fx = cos x
d . fx = x – cos x
e
. fx = sin x – cos x
f .
f x = tan x
2
g . fx = sin x
cos x
h. f
x = sin
2
2x 3.
Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut.
a
. fx = x
3
– 3x + 2
b
. fx = x
3
1+ x
c . fx = 1 – x1+ x
3
d
. fx = sin
2
x , 0
≤ x ≤ 2π
e . fx = sin
2 x
, 0 ≤ x ≤ 2π
f .
f x = tan
2
x, 0 ≤ x ≤ 2π
g
. fx = x cos x, 0 ≤ x ≤ 2π
h . fx = x tan x, 0
≤ x ≤ 2π
4
. Kerjakan soal-soal berikut.
a
. Jika f
x = 3 7
x , hitunglah f 3
b
. Jika f
x = 2 6
3
x , hitunglah f 1
c
. Jika f
x = 6
2 1
x , hitunglah f 2
d
. Jika f
x = x
2
+ 1
3
, hitunglah f 4
e . Jika
f x = x 3 x ,hitunglah f 1
f
. Jika f
x = 64 x 3
hitunglah f 1
g . Jika
f x = cos x – sin x , hitunglah
f 2
h . Jika
f x = x cos x, hitunglah f
2
5 . Sebuah mobil bergerak lurus. Setelah
bergerak t sekon, perpindahannya dinyata- kan dengan rumus st = 25t + 10t
2
, st dalam meter. Berapa m
s
2
percepatan mobil itu?
Di unduh dari : Bukupaket.com
228
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
G. Nilai Stasioner
