198
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Coba Anda tunjukkan lim
cos x
1 0 .
Tantangan untuk Anda
Anda
3. Turunan Fungsi di x = x
a
Jika fungsi y = f ff x
terdefinisi di sekitar x = x
a maka
lim lim
x x
y x
f f
x
x
. Jika
lim
x
y x
ada maka nilainya disebut turunan fungsi f ff x
di x = x
a . Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi
f turunan yang dilambangkan dengan f ‘x
. Untuk menyatakan turunan di x =
x a
dinyatakan dengan f ‘a. Jadi,
f f
f x
f
x
x lim
lim a
a x
a a
l x
x l0
f
x
x
l
atau
fff f
x a
x a
Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika f x = x
2
– x , tentukan f5.
Jawab :
f f
f x
f f
x x
lim lim
a a
a xxx
a xx
xx xx
5 f
x
x
lim x
x x
x x
x
x x
x lim
li
2
10 10
1 9
Contoh 8.3
Tentukanlah f ‘x fungsi-fungsi berikut ini. a
. f
ff x = x
2
+ xx b
. f
ff x = cos x
Jawab
:
a
. f
x f
x
x x
x x
xxx x
x xx
xx 2
l x
im x
x
2
x x
x x
x x
lim li
2
2 2
1 2xx
1
Contoh 8.4
Di unduh dari : Bukupaket.com
199
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.
Jawab :
Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas = L
= L
p × l = 3
l l
.l = 3l
2
. Jadi, L =
L f l = 3l
2
. Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah
l L
‘5. L
L h
x x
h lim
lim ,
L 3
3 h
x
h
2
5 h
5 h
5 h
5
xx xx
5 5
3 75
30
2 2
h h
h h
3
x x
h 25
10
2
h h
10h
xx xx
lim lim
h h
x
h
xx
li 3
h
Contoh 8.5
b .
f x
f x
x
x
x x
x xx
xx
xx
cos l
x im
cos c
x xxx
os lim
xx x
x x
xx
x x
x x
xx xx
xx x
x cos
lim cos xxx
x x
x x
x
x x
lim sin s
x in
cos l
x im
x cos xx
xx xx
xx
xx xx
1 cos
sin lim sin
x x
x x
x
cos i
sin x
x x
1 sin x
sin
4. Mengenal Notasi Leibnitz
Anda telah mempelajari bahwa turunan fungsi f ff x
dinotasikan dengan f x. Nilai Δx menyatakan perubahan
x nilai x, yaitu
Δx = x
x
2
– x
1
. Adapun perubahan f ff x
+ Δx – fffx
menyatakan perubahan nilai fungsi f ff x
dinotasikan dengan Δf
Δ . Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan ff
menjadi
lim
x
f x
. Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan
fungsi, yaitu
df dx
. Diketahui fungsi
y = f ff x
....1
Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646–1716
Gottfried Wilhelm Leibnitz adalah orang jenius. Ia ahli
dalam bidang hukum, agama, politik, sejarah, ilsafat, dan
matematika. Bersama Newton merumuskan pengertian
dasar tentang kalkulus diferensial. Leibnitz pun
dikenal karena menemukan suatu jenis mesin hitung.
Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis
Jilid 1, 1990
Tokoh Matematika
Di unduh dari : Bukupaket.com
200
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
sehingga turunan fungsi 1 dapat dituliskan menjadi
dy dx
= y = f x
Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz
1646–1716 sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya notasi Double d Leibnitz.
Misalkan f ff x
= x
3
, tentukanlah
a .
df dx
b .
nilai x sehingga x
df dx
= 12
Jawab :
a
.
df dx
f f
x x
x
x
x
x xxx
x xxx
x xxx
xx
lim lim
x
xx
xx 3
3 3
2 2
3 2
3 3
2
3 3
2 2
3
2
x x
x x
x x
3
x x
x lim
li x
x
2 2
3
b .
df dx
= 3x
2
maka 3x
2
= 12 x
= ± 2. x
Jadi, nilai x yang memenuhi x
df dx
= 12 adalah x = x
± 2.
Contoh 8.6
Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan s = f
ff t = t
2
– 3t. Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga
t laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15.
Jawab
: Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah
ds dt
df dt
f f
t
t t
t tt
tt t
lim lim
t tt
2 2
3 t
2
t
t
lim t
t tt
t t
t t
t t
t t
t
t 2
2
t
2
3 tt
3 2
3 t
t t
2
t ttt
t t
t 3
t
lim liim
ii
t
t t
t 2
3 t
t 2
3 t
Contoh 8.7
Di unduh dari : Bukupaket.com
201
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16, diperoleh
df dx
= 2t – 3 t
15 = 2t – 3 t
2t = 18 t
t = 9
t Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon.
t
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1
. Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan
soal-soal berikut. a
. Jika f
ff x = x
2
xx + 3x, tentukan f x
.
b .
Jika f ff x
= x
2
xx – 2x
2 2 + 6, tentukan
x f
x .
c .
Jika f ff x
= 2x
, tentukan f x .
d .
Jika f ff x
= 1 1
x , tentukan f x
.
2 .
Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal-soal berikut.
a
. Jika f
a ff x
= 4 – x
2
xx , tentukan f –3.
b .
Jika f ff x
= 6x 6
6 – 2 x
x 2
2
3
, tentukan f 2.
c .
Jika f ff x
= x
x 1
, tentukan f 5.
d .
Jika f ff x
= x x
x
2
1 , tentukan f 1.
3 .
Dengan menggunakan konsep limit, tentukan gradien garis singgung pada
kurva berikut ini. a
. f
ff x = 5x
2
xx di titik dengan absis x = 2
x
b .
f ff x
= x
2
+ x – 5 di titik dengan absis x
x = –1
x
c .
f ff x
= x
x
2
di titik dengan absis x = –2 x
d .
f x
x x
di titik dengan absis x
= 4
4 .
Dengan menggunakan konsep limit, hitung nilai
df dx
dari fungsi berikut untuk x yang diberikan.
a
. f
ff x = 2x
2
2
di x = –1 x
b .
f ff x
= x
2
– 5 di x = –4 x
c .
f ff x
= 2x 2 +
x 1
x di x
d .
f ff x
= 3cos xdi x = x
P 2
Gunakan konsep limit untuk soal-soal berikut
.
5
. Sebuah benda bergerak, kedudukannya
setelah t sekon memenuhi persamaan t
S t
= 3t
2
tt + 4t.
a .
Berapa kecepatan rata-rata pada selang waktu t = 3 sekon dan
t t
= 5 t
sekon?
b .
Berapa kecepatan sesaat pada waktu t
= 2 sekon? t
6 .
S e b u a h p e r u s a h a a n m e n d a p a t k a n keuntungan setelah t tahun sebesar
2.500.000t
2
tt –5.000t.
a .
Berapa besar keuntungan antara t = 3 t
tahun dan t = 4 tahun?
b .
Berapa laju keuntungan sesaat pada t = 2 tahun?
7 .
Gunakan rumus turunan untuk mencari turunan fungsi-fungsi berikut.
a
. f
ff x = 6x + 4
x d
. f
ff x = sin x
b .
f ff x
= ax + x
b e
. f
ff x = cos x
c
. f
ff x = 3x
2
+ 2
f
. f
ff x = tan x
Di unduh dari : Bukupaket.com
202
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Menentukan Turunan Fungsi
