53
Peluang
ACD BAC
BDE CBD
DAB DCE
EBC ACE
BAD BEA
CBE DAC
DEA EBD
ADB BAE
BEC CDA
DAE DEB
ECA ADC
BCA BED
CDB DBA
DEC ECB
Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan
itu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD,
BCE
, BDE, dan CDE. Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut
kombinasi .
Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan penger- tian kombinasi? Cobalah nyatakan pengertian kombinasi
dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pengertian kombinasi yang telah Anda pelajari
tersebut memperjelas definisi berikut.
Deinisi 2.3
Kombinasi r unsur dari r
n unsur ialah himpunan bagian r unsur
r yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan
penyusunan unsur tidak diperhatikan.
Banyaknya kombinasi r unsur dari r
n unsur dilambangkan
dengan
C
n r
atau
n r
atau C =n, r.
a. Menentukan Banyak Kombinasi
Telah diketahui bahwa banyaknya kombinasi 5 unsur berlainan jika disusun sebanyak 3 unsur adalah
5 4
2
= 10 cara .
Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur ditulis
C
5 3
5 4
2 5
4 3 2 1
2 3 2 1
5 3
4 2
3 5
3 3
Uraian tersebut memberi gambaran mengenai banyaknya kombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsur
r yang dirumuskan
C = n
r =
n r
5 3
n r
dengan r n
Soal Terbuka
Jelaskan perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Beri
contoh untuk memperjelas uraian Anda.
Di unduh dari : Bukupaket.com
54
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
b. Binomial Newton
Di SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkan bentuk perpangkatan berikut.
a + b = 1
a + b
1
= a + b a + b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
a + b
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
a + b
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya. Bagaimana menjabarkan a+b
15
? Untuk menyelesaikannya Anda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatan
tersebut.
embahasan Pe
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
Pe P
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe P
P Soal
Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan.
Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat
tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ....
Jawab: Banyak jabat tangan = C15,2
= 15
2 105
13
Soal Ebtanas 2000
embahasan Pe
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
Pe P
Pe Pe
Pe Pe
Pe Pe
Pe P
P Soal
Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa
ada tiga titik yang terletak segaris adalah ....
Jawab: Membuat segitiga dengan
memilih 3 titik dari 7 titik yang tersedia adalah masalah
kombinasi C7, 3. Jadi, banyaknya segitiga = C7,3
= 7
3 7 6 5 4
3 2 1 4 35
4 6
2
Soal UMPTN 2000
Kerjakan soal-soal berikut. 1
. Diketahui C
n 2
= 4n, tentukanlah nilai n.
2
. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas
11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.
Jawab
:
1
. C
n n
n
n 2
4 2
4 n
n 2
n n
n 2
4 n
n 1 2
4 n
n – 1 = 8n n
2
– n = 8n n
2
– 9n = 0 n
n – 9 = 0 Oleh karena n
≥ r maka yang memenuhi adalah r
n = 9.
2. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi
karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa, yaitu C
20 11
. C
20 11
20 11
20 11 9
20 19 18 17 1 19 18
20 11
9 6 1
6 6
5 14 13 12 11 11
15 13
9 8 7 6 5
4 3 2 1
8 6 5
6 3
= 167.960 Coba Anda tentukan susunannya dengan diagram pohon.
Contoh 2.6
Di unduh dari : Bukupaket.com
55
Peluang
Amati dengan saksama koefisien-koefisien bentuk- bentuk perpangkatan tersebut. Apabila koefisien-koefisien
dari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram, diperoleh
1 1
1 1
2 1
1 3
3 1
1 4
6 4
1 dan seterusnya.
Diagram itu dikenal dengan nama Segitiga Pascal. Amati pola Segitiga Pascal tersebut.
Baris ke-1: Baris ke-2:
Baris ke-3: Baris ke-4:
Baris ke-5: dan seterusnya.
Karena =
1
=
1 1
=
2
=
2 2
=
3
=
3 3
= 1,
2 1
= 2, dan
3 1
=
3 2
= 3 maka pola Segitiga Pascal tersebut dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasi
berikut.
1 1
1 2
2 1
2 2
3 3
1 3
2 3
3 3
dan seterusnya. Dari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat ditulis-
kan sebagai berikut. a + b
= a + b
1
=
1 1
1 a
b
Tokoh Matematika
Omar Khayyam 1049–1123
Untuk n = 2, Teorema Binomial telah ditemukan
oleh Euclid pada tahun 300 Sebelum Masehi. Akan
tetapi, untuk yang lebih umum ditemukan oleh
matematikawan dan ahli astronomi Irak, yaitu Omar
Khayyam.
Sumber: Precalculus, 1999
1 1
1 1
2 1
1 1 + 2 2 + 1
1 1
1 + 1 + 2 2 + 1 + 1
1 + 2 + 2 + 1 1
Di unduh dari : Bukupaket.com
56
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
a + b
2
=
2 2
1 2
2
2
a ab
b
2
a + b
3
=
3 3
1 3
2
3 2
3 a
a
3
b ab
b
2 3
b 3
3
dan seterusnya. Secara umum bentuk a + b
n
dapat ditulis menjadi
n a
b n
r
n n
a b
1
a b
n n
ab n
n
n r r
n r
n
b 1
1
b
n
dengan
n r
C n
r
n r
C n
r
Dengan demikian,
C C
a b
C a b
C b
n n
n n
n n
b
n n
n
b
1
C
n 1
1
b
1 1
n
b a
n
a a
C
n
C
n 1
b
a + b
n
=
C a b
n i
n i i
b
i i n
Bentuk tersebut dinamakan binomial Newton ekspansi binomial
.
Jabarkan dan sederhanakan bentuk x
2
+ 2y
5
.
Jawab
: x
2
+ 2y
5
= 5
5 1
5 4
2 2
2
1 1
3 2
5 2
5 3
2
2 2
2 3
1 4
5 4
5 5
x
2 2
2
2
2 4
5
= x
10
+ 10x
8
y + 40x
6
y
2
+ 80x
4
y
3
+ 80x
2
y
4
+ 32y
5
Contoh 2.7
Mari, Cari Tahu
Carilah di perpustakaan buku petunjuk penggunaan kalkulator, cara menghitung faktorial, permutasi, dan kombinasi dengan kalkulator
scienti fic. Anda juga dapat menanyakan hal tersebut ke kakak kelas.
Demonstrasikan dan laporkan hasilnya di depan kelas termasuk jenis kalkulator yang digunakan.
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1
. Dalam sebuah perkumpulan panjat tebing ada 5 calon untuk ketua, 4 calon untuk wakil
ketua, 3 calon untuk sekretaris, dan 4 calon untuk bendahara. Apakah masalah ini adalah
kombinasi atau permutasi? Ada berapa cara keempat posisi tersebut dapat diisi?
Di unduh dari : Bukupaket.com
57
Peluang
2 .
Dengan menggunakan 5 huruf pertama dalam abjad, dibuat kata yang terdiri atas
3 huruf. Berapa banyak kata yang dapat dibuat jika:
a
. tidak ada huruf boleh diulang,
b .
huruf-huruf boleh diulang, dan
c .
hanya huruf-huruf pertama tidak boleh diulang.
3 . Ketua dan wakil OSIS harus dipilih di
antara 8 orang laki-laki dan 4 orang perem- puan. Dalam berapa cara hal itu dapat
dilakukan jika a
. ketua harus laki-laki, sedangkan wakil-
nya boleh laki-laki atau perempuan;
b
. ketua harus perempuan, sedangkan
wakilnya boleh laki-laki atau perempuan;
c .
wakilnya harus laki-laki;
d .
wakilnya harus perempuan.
4 .
Empat orang siswa masuk ruang rapat. Tempat yang masih kososng ada 5 kursi,
berapa cara mereka dapat mengambil tempat duduk?
5
. Hitung nilai n dari persamaan berikut.
a
. n + 4 = 9n + 3
b
. n + 3 = 20n + 1
6 . Bilangan yang terdiri atas tiga angka
berbeda, disusun dari angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Tentukan banyak bilangan dengan
angka-angka yang berlainan dan lebih kecil dari 500.
7 . Tentukan berapa cara yang berbeda dapat
dituliskan dari hasil kali x
4
y
3
z
2
tanpa menggunakan eksponen.
8 . Tentukan suku keempat dari penjabaran
dan penyederhanaan bentuk 3x
2
– 4y
3 7
.
9 . Dalam pertemuan untuk menentukan
tanggal kelulusan siswa, 20 orang guru diundang, setelah memutuskan tanggal
kelulusan, mereka saling berjabat tangan. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
10
. Jika 5Pn, 3 = 24 Cn, 4, berapa nilai n?
Untuk soal nomor 11–16, tentukan banyak cara yang dapat dilakukan.
11 . Mengatur susunan tempat duduk dalam
suatu rapat yang disusun melingkar dan dihadiri oleh 8 orang serta ada 2 orang yang
selalu berdampingan.
12 . Memilih 5 orang dari 15 orang siswa untuk
menjadi pelaksana upacara bendera Senin pagi.
13 . Menentukan tiga orang pemenang juara 1,
2, dan 3 dari 15 orang finalis.
14 . Menentukan lima orang pemain cadangan
dari 16 orang anggota kesebelasan sepakbola.
15
. Menyusun lima buku Matematika yang sama, tiga buku Fisika yang sama, tiga
buku Kimia yang sama, dan dua buku Biologi yang sama dalam rak buku.
Petunjuk: buku-buku yang berjudul sama harus berdampingan
B. Peluang
Sebuah uang logam yang bentuknya simetris ditos dilempar ke atas sambil diputar dan dibiarkan jatuh ke
lantai. Oleh karena uang itu bentuknya simetris maka tidak beralasan munculnya gambar lebih sering atau kurang
daripada munculnya angka. Secara matematika, nilai peluang
munculnya gambar adalah salah satu dari dua atau
1 2
, dan dengan sendirinya nilai peluang munculnya angka adalah
1 2
juga.
Di unduh dari : Bukupaket.com
