77
Trigonometri
A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus untuk Cos Ơ ± ơ
Amati gambar Gambar 3.1 dengan saksama. Gambar 3.1 menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari
r . Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar
tersebut, diperoleh OC = C OB
= OD = OA = r dan koordinat titik A
, titik B, titik C, dan titik D, yaitu Ar, 0, Br cos , r sin , Cr cos
r +
, r sin + , dan Dr cos r
, –r sin r
. Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,
diperoleh
d
AB
d
2 2
2 2
AB x
x
A B
x x
A
y y
A B
y y
A
sehingga Anda dapat menentukan AC
2
dan DB
2
, yaitu a. AC
2
= [r cos r
+ – r]
2
+ [r sin r
+ – 0 ]
2
= r
2
rr cos
2 2
2
+ – 2r
2
rr cos + + r
2
rr +
2
r
2
rr sin
2 2
n n
2
+ = r
2
rr [cos
2 2
2
+ + sin
2
n n
2
+ ] + r
2
rr – 2
2
r
2
rr cos +
= r
2
rr · 1 + r
2
rr – 2r
2
rr cos + = 2r
2
rr – 2r
2
rr cos +
Jadi, AC
2
= 2r
2
– 2r
2
cos +
b. DB
2
= r cos r
– r cos r
2
+ r sin r
+ r sin r
2
= r
2
cos
2
– 2r
2
cos cos
+ r
2
cos
2
+ r
2
sin
2
+ 2 r
2
sin sin + r
2
sin
2
= r
2
cos
2
+ sin
2
+ r
2
cos
2
+ sin
2
– 2r
2
cos cos + 2r
2
sin sin = r
2
+ r
2
– 2r
2
cos cos + 2r
2
sin sin
= 2r
2
r r – 2r
2
r r cos
Ơ cos ơ + 2 ơ
r
2
r r sin
Ơ sin ơ
Jadi, DB
2
= 2r
2
– 2r
2
cos cos + 2r
2
sin
sin ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC =
C DB
. Coba Anda kemukakan alasan mengapa
ΔOCA kongruen ΔOBD.
Jadi, AC
2
= DB
2
. 2r
2
– 2r
2
cos + = 2r
2
– 2r
2
cos cos + 2r
2
sin sin –2r
2
cos + = –2r
2
cos cos + 2r
2
sin sin cos +
= cos cos – sin sin
cos
Ơ + ơ
= cos
Ơ
cos
ơ
– sin
ơ Ơ
sin
ơ
D A
B C
O r
yy
x –
Gambar 3.1
Di unduh dari : Bukupaket.com
78
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Rumus untuk cos – dapat diturunkan dari rumus cos + , yaitu
cos – = cos + – –
= cos cos– – – sin sin–
– = cos cos + sin sin
cos
Ơ – ơ
= cos Ơ cos ơ + sin
ơ Ơ sin ơ
1 . Hitunglah cos 75°.
2 . Buktikan
cos cos
tan A
B cos
A B
tan A B
1 .
Jawab :
1 . cos 75° = cos 45° + 30° = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
= 1
2 2
1 2
3 1
2 2
1 2
2 =
1 4
6 1
4 2
1 4
2 2
3 1
2 .
cos cos
cos sin
cos A
B cos
A B
cos A
B sin
A B
cos A B
co cc s
cos sin
cos tan ta
A B
cos A
B cos
A B
sin A
B cos
A 1
n tan tan
n B
Contoh 3.1
Pembahasan Soal
Diketahui cosA – B = 3
5 dan
cos A . cos B = 7
25 . Tentukan
nilai tan A . tan B
Jawab: cos A – B =
cos A cos B + sin A sin B sin A sin B =
cos A – B – cos A cos B
= 3
5 7
25 =
15 7 25
8 25
tan A tan B = sin
sin cos
cos A
B A
B =
8 25
7 25
8 7
Ebtanas 1998
2. Rumus untuk sin Ơ ± ơ
Kategori