133
Suku Banyak
Tes Kompetensi Subbab C
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1
. Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian
dari pembagian-pembagian berikut ini dengan cara biasa dan cara Horner.
a
. 3x
4
– 2x 2
2
2
+ 5x + 1 : x
x + 1
x
b .
6x
3
– 4x
2
+ 2x 2 : x – 1
x
c .
2x 2
5
– 5x
3
+ x
2
– 1 : x + 2 x
d
. 100x
4
– 81 : x – 3 x
2 .
Tentukan sisa pembagian untuk suku banyak berikut.
a
. 2x
2
4
– 3x
3
+ 2x 2 ² – 5 : x – 2
x
b .
3x
4
– 4x² + 10 : x + 3 x
c .
5x
5
– 2x 2
2
4
+ 3x
3
– x
2
+ 6 : x + 2 x
d .
7x
7
– 2x 2
5
+ 4x
3
– 2x 2
2
2
+ x : x + 1 x
3 .
Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari soal berikut dengan cara Horner.
a
. 2x
2
4
– 5x
3
+ 3x
2
– x + 1 : x
x – 3
x
b .
6x
4
– 5x
3
+ 3x – 10 : 2 x
x 2
2 – 3 x
c .
8x 8
8
5
xx + 2x
2 2
4
xx + 13
4
x 3
3
3
xx – 17x
7 7 – 2 : 4
x x
4 4 + 3
x
d .
2x 2
2
6
xx – x
5
xx + 3x
3
+ x
2
xx + 9x –
9 9
5 : 2x 2
2 + 3 x
e .
2x 2
2
4
xx – 3x
3
+ 5x
2
xx + x – 7 :
x x
2
xx – x + 3
x
f .
6x
4
+ x
3
+ x
2
+ 7x : 3x
2
+ 5x + 2 x
D. Teorema Sisa
Diketahui, Px = a
n
x
n
+ a
n – 1
x
n – 1
+ … + a
2
x
2 2
2
+ a
1
x + a
. Cara Anda menentukan sisa pembagian dari pembagian suku
banyak Px oleh bentuk x – k, ax + b, dan ax
2
+ bx + c, baik dengan cara Horner maupun dengan cara pembagian
biasa telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya. Sekarang amatilah persamaan berikut:
P x = f
ff x . Hx + S
P x : suku banyak yang dibagi
fx : pembagi
H H x
: hasil bagi S
S : sisa pembagian
Jika Px berderajat n dan f
ff x berderajat m m
≤ n maka derajat H
H x dan S masing-masing sebagai berikut.
S •
derajat H H x
adalah n – m •
derajat maksimum S adalah S
m – 1
1. Pembagian dengan Pembagi ax + x
b
Jika f ff x
= ax + b, merupakan pembagi dari Px maka hubungan antara Px dan f
ff x dapat ditulis sebagai berikut.
P x
= x
ax + b H
a x
+ S, berlaku untuk setiap x bilangan x
real.
Di unduh dari : Bukupaket.com
134
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Carilah sisa pembagian dari 4x
3
+ 2x
2
– 4x + 6 : x – 3 tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.
Jawab :
Suku banyak Px = 4x
3
+ 2x
2
– 4x + 6 dibagi dengan x – 3 sisanya adalah
S = P 3
1 = P3 berdasarkan Teorema 6.1.
Jadi, dengan menyubstitusikan x = 3 ke dalam fungsi Px, diperoleh
P 3 = 4 . 3
3
+ 2 . 3
2
– 4 . 3 + 6 = 120. Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah 120.
Contoh 5.6
Oleh karena f ff x
berderajat satu maka S berderajat nol. S
Jadi, konstanta S sama dengan S
A .
Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.
Teorema 5.1
Jika suku banyak Px yang berderajat n dibagi dengan ax + x
b maka sisanya adalah P
b a
.
Bukti : harus ditunjukkan bahwa
S P
b a
P
. Jika suku banyak Px berderajat n dibagi dengan ax + b, bentuk
pembagian itu dituliskan sebagai berikut P
x = ax + b
H a
x
+ S … 1 S
Selanjutnya, substitusikan nilai x = x
b a
ke persamaan 1 sehingga diperoleh
P
b a
= [a
b a
+ b].
H b
a a
+ S
= –b + b .
H b
a a
+ S P
b a
= S. Jadi, sisa = P
b a
. Teorema terbukti.
Di unduh dari : Bukupaket.com
135
Suku Banyak
Tentukanlah p agar pembagian 6x 6
6
2
+ 7x – 5 : x
px – 1 menghasilkan
x sisa pembagian yang bernilai 0.
Jawab: Suku banyak Px = 6x
2
+ 7x – 5 dibagi dengan x
px – 1, sisanya
x adalah
S = P
1 p
berdasarkan Teorema 5.1. Jadi, dengan menyubstitusikan
x =
x 1
P ke dalam fungsi Px, diperoleh
P 1
p = 6
1
2
p + 7
1 p
– 5 =
6 7
5
2
P p
2
sehingga sisa pembagian adalah S = S
6 7
5
2
P p
2
. Sisa pembagian sama dengan nol maka berlaku
6 7
5
2
P p
2
= 0 6
7 5
2 2
p p
5 p
5 7
6
2 2
p p
7 p
Penyebut tidak boleh sama dengan nol sehingga –5p
5
2
+ 7p 7 + 6 = 0
5p 5
2
– 7p 7 – 6 = 0
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh p
1, 2
= 7
4 5 2 5
7 13
10
2
7 4
6 p
1
= 7
13 10
2 7
13 10
3 5
2 2
2 atau p Jadi, p
1
= 2 atau p
2
= 3
5 .
Contoh 5.7
Tokoh Matematika
Evariste Galois 1811–1832
Pada usia 20 tahun telah membuktikan persamaan
suku banyak lebih dari empat tidak bisa diselesaikan secara
langsung.
Sumber: www-history
mcs.st-andrews.ac.uk
Di unduh dari : Bukupaket.com
136
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
2. Pembagian dengan Pembagi x
