Menentukan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

184 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

B. Limit Fungsi Trigonometri

Pada Subbab A telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali ini akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini dengan mempelajari sifat berikut. lim x sin x = sin 0 = 0 x lim x P cos x = cos x p = –1 lim x P cos x = x lim cos x x P 1 = lim lim cos x x x P P 1 = 1 cos P = –1

1. Menentukan Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Sifat Prinsip Apit Amati Gambar 7.3. Diketahui f, ff g , dan h adalah fungsi- fungsi yang memenuhi f x ≤ gx ≤ hx untuk semua x dekat a, kecuvali mungkin di a. Jika lim x a f x = lim x a h x = L maka lim x a g x = L. y x a h x g x f x Gambar 7.3 4 . Tentukan limit fungsi berikut. a . lim x 4 9 x 2 4 b . lim x x x x c . lim x x x x x x x 2 2 2 x 3 d . lim x x x x x e . lim x

a x

a x

a 1 1 2 2 1 f . lim x x x g . lim x x x x x xx h . lim x x x a 5 . Tentukan limit fungsi berikut. a . lim x x x x x x x 1 3 2 4 3 1 2 2 x b . lim x x x x x x 2 3 2 2 4 x 2 8 6 c . lim x x x x x x x 1 3 2 4 3 2 2 x d . lim x x x x x x x 1 3 2 4 3 3 3 x 2 2 x e . lim x x x x x x 1 3 2 2 3 3 x 3 4 x f . lim x x x x x x x 3 3 2 4 3 4 x 2 12 3 x x 3 6 . Tentukan limit fungsi berikut. a . lim x x x 1 2 1 1 b . lim x x x x x Di unduh dari : Bukupaket.com 185 Limit a b y x P cos t, sin t A 1, 0 t O y x A 1, 0 t O P cos t, sin t T 1, tan t Gambar 7.3 Sekarang amati Gambar 7.3a. Diketahui, 0 t t P 2 . Ketika t Æ 0 maka titik P bergerak ke arah P A 1, 0 sehingga lim t cos t = 1 dan t lim t sin t = 0. t Perpanjangan OP dan garis tegak lurus sumbu-x yang x melalui A akan berpotongan di titik T1, tan T T t seperti diper- lihatkan pada Gambar 7.3 b. Sekarang amati D OAP , tembereng OAP, dan D OAT pada T Gambar 7.3b. Dari hasil pengamatan tentunya Anda mema- hami bahwa luas D OAP ≤ luas juring P OAP ≤ luas P D OAT T ....1 Anda ketahui: luas D OAP = P 1 2 alas × tinggi = 1 2 · 1 · sin t = t 1 2 sin t, luas juring OAP = 1 2 jari-jari × sudut dalam radian - = 1 2 · 1 2 · t = t 1 2 t , dan luas D OAT = 1 2 alas × tinggi = 1 2 · 1 · tan t = t sin cos t t 2 . Dengan demikian, ketidaksamaan 1 dapat dituliskan sebagai 1 2 sin t ≤ t 1 2 t ≤ t sin cos t t 2 ....2 Kalikan ketidaksamaan 2 dengan bilangan positif 2 sin t , diperoleh 1 ≤ t t sin ≤ 1 cos t ¤ cos ¤ t ≤ t sin t t ≤ 1 Sampai uraian ini anggaplah 0 t t P 2 . Akan tetapi, jika – P 2 t 0 maka 0 – t t t P 2 sehingga cos –t ≤ t sin - - t t ≤ 1 cos t ≤ t sin t t ≤ 1 ....3 Dalam ketidaksamaan 3, misalkan t Æ 0, f t = cos t, g t = sin t t , dan ht = 1. Di unduh dari : Bukupaket.com 186 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut. 1 . lim sin x x x sin x 5 2 . lim sin x x x 2 2 3 . lim sin tan x x x 3 2 Contoh 7.8 Anda tentu memahami bahwa lim t f ff t ≤ t lim t g t ≤ t lim t h t. t Untuk t = 0 maka f ff t cos t t = cos 0 = 1 dan karena ht = 1 maka t 1 ≤ sin t t ≤ 1. Dalam hal ini tidak ada kemungkinan lain kecuali sin t t = 1. Dengan demikian, lim t g t = t lim sin t t t = 1. Dapatkah Anda membuktikan bahwa lim sin t t t = 1, lim tan t t t = 1, dan lim tan t t t = 1? Silakan buktikan sendiri.

2. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri