97
Lingkaran
A. Persamaan Lingkaran
Gambar 4.1 memperlihatkan irisan kerucut berbentuk lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnya
mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu kerucut.
Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikut
ini disajikan definisi lingkaran.
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Deinisi 4.1
Lingkaran ialah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap satu titik tertentu.
1. Persamaan Lingkaran Berpusat di O 0, 0 dan Berjari-jari r
Amati Gambar 4.2. Diketahui, titik Px, y adalah titik sebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikan
pada sumbu-x maka diperoleh titik x
P sehingga segitiga OPP
adalah segitiga siku-siku di P. Pada segitiga OPP berlaku Teorema Pythagoras sebagai
berikut. OP
2
= OP
2
+ PP
2
r
2
= x
2
+ y
2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut. L
L= x
y r
2
x y y
2 2
Pandang titik P
1
x
1
, y
1
pada ∆OP
1
P
1
. Pada segitiga tersebut berlaku x
2 1
+ y
2 1
= r
2 1
. Pandang titik P
2
x
2
, y
2
pada ∆OP
2
P
2
. Pada segitiga tersebut berlaku x
2 2
+ y
2 2
= r
2 2
, dan seterusnya. Secara umum untuk setiap titik Px, y pada
lingkaran ini berlaku x
2
+ y
2
= r
2
. Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O0, 0 dan
berjari-jari r adalah r
x
2
x x + y
2
= r
2
rr
O P
2
x
2
,y
2
r r
P
1
x
1
,y
1
P x,y
r
P
2
P
1
y
1
P
x
1
x
2
y
2
Di unduh dari : Bukupaket.com
98
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0, 0 dengan
panjang jari-jari 2 3 .
2.
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0, 0 dan melalui titik –6, –8.
Jawab: 1.
Jari-jari r = 2 3 sehingga r
2
=
2
2 3 = 12.
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di 0, 0 dengan jari-jari 2 3 adalah x
2
+ y
2
= 12.
2.
Persamaan lingkaran berpusat di 0, 0 dengan jari-jari r adalah
x
2
+ y
2
= r
2
.... 1 Oleh karena lingkaran melalui titik –6, –8 maka dengan
menyubstitusikan –6, –8 pada persamaan 1, diperoleh x
2
+ y
2
= r
2
–6
2
+ –8
2
= r
2
r
2
= 36 + 64 = 100 r
= r
100 = 10 Kemudian, r
2
= 100 substitusikan pada persamaan 1, diperoleh x
2
+ y
2
= 100.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x
2
+ y
2
= 100.
Contoh 4.1
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat T a, b dan Berjari-Jari r
Diketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T T
T a ,b
dengan jari-jari r seperti diperlihatkan pada Gambar 4.3. Titik r
P x
, y adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah garis yang melalui titik pusat T
T T a
, b dan sejajar dengan sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g adalah titik Q
sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q. Diketahui jarak TQ = x
– a – dan jarak PQ = y – b. Pada
segitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut. TP
2
= TQ
2
+ PQ
2
r
2
= x – x
a
2
+ y – b
2
Lingkaran L dapat dituliskan sebagai berikut: L
L : {x, yx –
x a
2
+ y – b
2
= r
2
} Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T
T T a
, b dan berjari-jari r adalah
r
x – a
2
+ y – b
2
= r
2
rr
Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran standar
baku.
Ta,b x
Px,y y
Q g
r b
a y
x
Gambar 4.3
Di unduh dari : Bukupaket.com
99
Lingkaran
1 .
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 2,–1 dengan jari-jari 3 2 .
2
. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T 3,–4
dan menyinggung garis 4x – 3 x
y – 49 = 0.
Jawab: 1
. Persamaan lingkaran standar x – a
2
+ x – b
2
= r
2
. Untuk pusat 2,–1 dengan jari-jari 3 2 , diperoleh
x – 2 x
2
+ y – –1
2
=
2
3 2 x – 2
–
2
+ y + 1
2
= 18 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x –
2 –
2
+ y + 1
2
= 18.
2
. Rumus jarak dari titik T
T x
1
, y
1
ke garis ax + x
by + c = 0
adalah d
= d
ax b
c a
b
1 1
y
2 2
b by
1
by Jarak dari pusat T 3,–4 ke
T garis 4x – 3y – 49 = 0 adalah jari-
jari lingkaran, yaitu r
= r
4 3 3
49 4
12 12
49 5
2 2
. 3
4 3
12 = 5
Jadi, persamaan lingkarannya adalah x – 3
2
+ y + 4
2
= 25.
Contoh 4.2
3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
