137
Suku Banyak
Tes Kompetensi Subbab D
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1
. Tentukanlah sisa pembagian soal-soal
berikut tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.
a
. 16x
4
+ 8x
3
– 4x + 5 : 2 x
x 2 – 1
x
b .
81x
4
xx – 27x
3
+ 9x 9
2
xx – 3x + 1 : 3x + 2
x
2
. Buktikan bahwa
a
. 2a
3
+ 3a
2
b – b
3
habis dibagi oleh 2a – b
b .
p
4
– 8q
4
– 2p 2
2
q
2
habis dibagi oleh p
+2q
3 .
Tentukan sisa pembagian dari soal- soal berikut menggunakan teorema
pembagian. a
. x
2
– 2y
2
+ xy : 2x 2 –
x y
b .
p
2
– 6q
2
+ pq : 3q + p
4 .
Tentukan nilai p agar pembagian berikut memiliki sisa S sebagai berikut.
S
a .
2x 2
2
4
+ px
2
3x + 2 – 11 x
x – 3 :
x x
+ 3 x
dan S = 3 S
b .
x
5
+ x
4
– px
2
x + 1 + 9 x
x + 14 :
x x
– 3 –
dan S = 5 S
5 . Tentukan nilai p jika x
3
– 4x
2
+ 5x + x
p dan
x
2
+ 3x – 2 dibagi x
x + 1 memberikan
x sisa yang sama.
6
. Tentukan nilai p dan q jika x
4
+ px
3
+ q – 14x
2
+ 28x – 15 habis dibagi oleh x
2
– 2x + 1
7 . Jika Px dibagi oleh x – 2, sisanya 5
dan jika dibagi x – 1 sisanya 4. Tentukan x
sisanya jika Px dibagi x
2
– 3x + 2. x
8 . Jika Px dibagi x
2
– 4, sisanya 3x – 7 x
dan jika dibagi x
2
– 9, sisanya 5x – 13. x
Tentukan sisanya jika Px dibagi oleh x +1.
x Misalkan, sisa pembagian Px oleh x
2
– 4 adalah S = S
A
1
x +
x A
maka bentuk pembagian dapat dituliskan dalam persamaan P
x = x + 2 x
x – 2
x H
H x + A
1
x +
x A yang berlaku untuk setiap
x bilangan real.
x •
Untuk x = 2, diperoleh x
P 2 = 2A
2
1
+ A = 8
.... •
Untuk x = –2, diperoleh x
P –2 = –2A
2
1
+ A = –12
.... Dari persamaan dan diperoleh
A = –2 dan A
1
= 5 coba buktikan Jadi, sisa pembagian Px oleh x
2
– 4 adalah S
= 5 S
x – 2.
x
E. Teorema Faktor
1. Pengertian Teorema Faktor
Pandanglah suku banyak Px dan pembagi ax + b. Kemudian, amati kembali Teorema 5.1 dengan saksama. Jika
sisanya 0, apa yang terjadi dengan ax + b? Sebagai akibat dari Teorema 5.1, jika sisa P
b a
= 0 maka
Di unduh dari : Bukupaket.com
138
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
Tunjukkan bahwa x + 5 merupakan faktor dari P
x = x
3
+ 4x
2
+ 11x + 30.
Jawab :
Untuk memeriksa apakah x – k merupakan faktor dari Px, Anda cukup menunjukkan bahwa Pk = 0. Adapun Pk dapat dihitung
dengan cara substitusi atau cara Horner. P
–5 = –5
3
+ 4–5
2
+ 11–5 + 30 = 0. Oleh karena P–5 = 0 maka x + 5 merupakan faktor dari Px.
Contoh 5.9
Teorema 5.2
Jika Px = a
n
x
n
+ a
n –1
. x
n –1
+ . . . + a
1
. x + a dengan a
i
bilangan bulat, i = 1, 2, ..., n dan p bilangan bulat dengan p merupakan harga
nol dari Px maka p adalah pembagi a .
: Misal, p bilangan bulat yang merupakan harga nol Px
maka P
p = a
n
p
n n
n
+ a
n– 1
. p
n–1
+ … + a
1
p
1 1
+ a =
a
n
p
n n
n
+ a
n– 1 . p
n–1
+ … + a
1
p = –a
1 1
p a
n
. p
n– 1
+ a
n–1
. p
n– 2
+ … + a
1
= –a Oleh karena p adalah bilangan bulat dan a
i
juga adalah bilangan bulat maka ruas kiri persamaan tersebut merupakan
bilangan bulat. Jadi, p pembagi dari a
terbukti.
Selain untuk menentukan faktor suatu suku banyak,
teorema faktor dapat pula digunakan untuk
menentukan koeisien- koeisien suku banyak yang
belum diketahui.
Contoh Tentukan nilai k sehingga
k x
+ 3 x
a merupakan faktor dari x
3
xx + ak + 2 k
a x
2
xx + 18a
3
Jawab: Berdasarkan teorema faktor
maka f–3
ff a = 0
–3a
3
+ ak + 2 k
a –3a
2
+ 18a
3
= 0 –27a
3
+ ak + 2 k
a 9a
2
+ 18a
3
= 0 –27a
3
+ 9a
3
k + 18 k
a
3
+ 18a
3
= 0 –27 + 9k + 36
k a
3
= 0 9 + 9k
kk a
3
= 0 atau
9 + 9k = 0 k
9k = –9 k
k = –1 k
Ingatlah
P x = ax + b
H x a
+ 0 P
x = ax + b
H x a
dengan a ≠ 0.
Hal ini menunjukkan bahwa ax + b adalah suatu faktor dari Px. Dengan demikian, dapat dikatakan jika
P x adalah suatu polinom, ax + b adalah pembagi, dan sisa
pembagiannya adalah 0 atau
P b
a
maka ax + b adalah faktor
dari Px.
Di unduh dari : Bukupaket.com
139
Suku Banyak
Tentukanlah faktor-faktor dari Px = x
3
+ 4x
2
+ x – 6.
Jawab :
P x berderajat 3 sehingga maksimum faktornya berderajat satu
yang diperoleh 3 buah. Jika x – k merupakan faktor dari Px = x
3
+ 4x
2
+ x – 6 maka nilai k yang diperoleh adalah pembagi bulat dari –6, yaitu ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k tersebut disubstitusikan
pada Px. • Untuk
k = –1
P –1 = –1
3
+ 4–1
2
+ –1 – 6 = –4. P
–1 ≠ 0 maka x + 1 bukan faktor dari Px.
• Untuk k
= 1 P
1 = 1
3
+ 4 . 1
2
+ 1 – 6 = 0. P
1 = 0 maka x – 1 faktor dari Px. • Untuk
k = –2
P –2 = –2
3
+ 4–2
2
– 2 – 6 = 0 P
–2 = 0 maka x + 2 faktor dari Px. • Untuk
k = 2
P 2 = 2
3
+ 4 . 2
2
+ 2 – 6 = 20 P
2 ≠ 0 maka x – 2 bukan faktor dari Px.
• Untuk k
= –3 P
–3 = –3
3
+ 4–3
2
– 3 – 6 = 0 P
–3 = 0 maka x + 3 faktor dari Px. • Untuk
k = 3
P 3 = 3
3
+ 4 . 3
2
+ 3 – 6 = 60 P
3 ≠ 0 maka x – 3 bukan faktor dari Px.
Jadi, Px = x
3
+ 4x
2
+ x – 6 mempunyai satu faktor linear x – 1, x + 2, dan x + 3.
Contoh 5.10
2. Penggunaan Teorema Faktor untuk Mencari Akar Persamaan Suku Banyak
