Garis Singgung Kecepatan Sesaat

195 Turunan Fungsi dan Aplikasinya

A. Konsep Turunan

Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

1. Garis Singgung

Amati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetap pada grafik y = f ff x dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f ff x . Misalkan, titik A berkoordinat a, f ff a maka titik B berkoordinat a + Δx, fffa + Δx. Garis yang melalui A dan B mempunyai gradien kemiringan f f x a xxx a xx . Garis ini memotong grafik di dua titik A dan B yang berbeda. Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f ff x mendekati titik A maka nilai Δx semakin kecil. Jika nilai Δ x x mendekati x nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung jika tidak tegak lurus pada sumbu-x adalah garis yang melalui Aa, f ff a dengan gradien m f f x AB x

a x

x x

a x

x x x lim ...1 Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-x? Tentukan gradien garis singgung pada kurva a . f ff x = x 2 di titik dengan absis 2 b . f ff x = x 3 di titik dengan absis 3 Jawab : a . m f f x x x xxx xx xxx xx xx lim l f f im x xx xx 2 2 f xxx 2 xxx 2 lim lim x x x x x 2 4 4 4 Jadi, gradien garis singgung kurva f ff x = x 2 di titik dengan absis x = 2 adalah x m = 4. Contoh 8.1 Gambar 8.1 Gambar 8.2 x y fa + fa y = fx a a + O Aa, fa Ba + , fa + x y O y = fx Ba + , fa + fa Aa, fa a a + f a + Di unduh dari : Bukupaket.com 196 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam b . m f f x x x x x xx xxx xx xx xx lim lim x xx xx 3 3 f xxx 3 xxx 3 lim lim x x x x 3 2 3 3 3 3 3 3 x 2 27 9 x 2 3 x x x x lim lim xx 2 27 2 x x xx xx 2 7 Jadi, gradien garis singgung kurva f ff x = x 3 di titik dengan absis x = 3 adalah x m = 27.

2. Kecepatan Sesaat

Misalkan, fungsi f ff x = 15x 2 + 20x menyatakan jarak x dalam km yang ditempuh sebuah mobil setelah x jam perjalanan selama selang waktu 0 ≤ x ≤ 2. Kecepatan rata- x rata mobil itu selama perjalanannya adalah f x f ff 2 15 20 2 15 2 2 20 0 2 50 20 kmjam Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam selang c ≤ x ≤ x d . Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1. Amati tabel tersebut. Nilai f x mendekat ke bilangan 50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil Δx mendekati nol. Nilai 50 tersebut disebut kecepatan sesaat pada x = 1. x Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau Δ x x dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada x = 1 ditulis x lim lim x x f x f f x x 2 f 15 20 50 2 x x x x lim 50 Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 kmjam. x Tabel 8.1 Selang Waktu 0 – 1 0,8 – 1 0,9 – 1 0,99 – 1 0,999 – 1 0,9999 – 1 1 – 1,0001 1 – 1,001 1 – 1,01 1 – 1,5 1 – 2 35 ,0000 47 ,0000 48,5 000 49,85 00 49,9850 49,9985 50,0015 50,015 50,15 00 57,5 000 65 ,0000 f x Di unduh dari : Bukupaket.com 197 Turunan Fungsi dan Aplikasinya Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan kecepatan sesaat v di x = x a ? Cobalah nyatakan dengan kata- kata Anda sendiri. Uraian tersebut menggambarkan definisi kecepatan sesaat v di x = a, yaitu v v f f x v

a x

a l x x l x lim lim l x x rata-rata ...2 Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda menyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatan sesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus tersebut, yaitu rumus 1 dan 2. Kedua rumus tersebut menggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama, tetapi dalam situasi yang berlainan. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukan- nya setelah x detik memenuhi persamaan f x = 6x 3 + x 2 , dengan f x dinyatakan dalam meter. a . Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 ≤ x ≤ 3. b . Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik? Jawab : a . f x x f x x 6 3 3 6 2 2 3 2 119 3 2 3 3 Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 ms. b . lim lim x x f x f x x x 3 2 2 2 6 2 2 6 2 2 6 8 12 6 3 2 2 3 x x x x x lim 4 4 52 6 37 76 76 2 2 x x x x x x lim Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meterdetik. Contoh 8.2 Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 8.3 Jarak yang ditempuh mobil ini mengikuti fungsi fx = 15x 2 + 20x. Berapakah kecepatan rata-ratanya? Di unduh dari : Bukupaket.com 198 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam Coba Anda tunjukkan lim cos x 1 0 . Tantangan untuk Anda Anda

3. Turunan Fungsi di x = x