103
Lingkaran Titik A4,8, B2,4, dan C10,0
terletak pada lingkaran. a. Tunjukkan bahwa segitiga
ABC adalah segitiga siku- C
siku di B.
b. Mengapa titik P7,0
adalah pusat lingkaran? Jelaskan
c. Hitunglah jari-jari
lingkaran tersebut.
d. Carilah persamaan
lingkaran tersebut.
Tantangan untuk Anda
Anda
Tes Kompetensi Subbab A
Kerjakanlah pada buku latihan Anda. 1.
Tentukan persamaan lingkaran dalam bentuk standar baku untuk setiap soal
berikut. a.
Pusat –2, –1 dan jari-jari 3 3 .
b. Pusat 1, –3 dan melalui titik 1, 1.
c. Pusat 1, –2 dan diameter 4 2 .
d.
Mempunyai diameter yang ujungnya melalui titik 1, –1 dan 1, 5.
2.
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran soal- soal berikut.
a.
x
2
+ y
2
– 10x + 6 x
y + 16 = 0
b. 4x
2
+ 4y
2
+ 8x – 16 x
y + 17 = 0
c. 3x
2
+ 3y
2
– 12x 2 + 18
x y
+ 35 = 0
d.
4x
2
+ 4y
2
+ 4x + 12 x
y + 1 = 0
3. Bagaimana posisi titik-titik berikut ini
di dalam, pada, atau di luar lingkaran terhadap lingkaran yang diketahui?
a.
P –1,6, Q1,4, dan R–3,5 terhadap
lingkaran x n
2
xx + y
2
+ 2x 2
2 – 10 x
y 0 + 22 = 0.
y
b. K
–2,1, K
K L
–1,0, dan M 5,4 terhadap M
lingkaran x
2
+ y
2
– 4x – 6 x
y – 5 = 0.
4. Sebuah ayunan bandul bergerak bolak-balik
seperti diperlihatkan pada gambar berikut.
L i n t a s a n a y u n a n bandul busur AB pada
gambar memenuhi persamaan lingkaran 2x
2
2
+ 2y
2
– 6,8y – 1,9 = 0.
a. Berapa panjang ayunan bandul?
b. Berapa koordinat titik P?
5. Nyatakan apakah garis y =
1 2
x + 5
memotong lingkaran x
2
+ y
2
= 9 di satu titik, dua titik, atau tidak memiliki titik
potong.
6. Bentuk geometris jendela sebuah gedung
terdiri atas persegipanjang dan setengah lingkaran. Jendela tersebut dirancang oleh
arsitek menggunakan sistem koordinat seperti diperlihatkan pada gambar berikut.
Jika keliling setengah lingkaran dari jendela tersebut memenuhi persamaan
x
2
+ y
2
–3y + 1,25 = 0, berapa m
2
luas daerah jendela tersebut? Petunjuk: anggap satuan luasnya m
2
.
y
x A
B B
P
Jawab: y
= mx + 2 maka x
y
2
= mx + 2 x
2
= m
2
x
2
+ 4m x + 4 x
x
2
+ y
2
= 4 x
2
+ m
2
x
2 2
+ 4mx + 4 = 4 x
1+ m
2
x
2
+ 4mx = 0 x
Diskriminan D = 4m
2
– 4 1 + m
2
D = 16m
2
Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik maka haruslah L
D 0.
Dengan demikian, 16m
2
m
2
m Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m 0.
Di unduh dari : Bukupaket.com
104
Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
Titik Px
1
, y
1
terletak pada garis g dan lingkaran x
2
xx + y
2
= r
2
rr ,
seperti diperlihatkan pada Gambar 4.7. Gradien garis yang menghubungkan titik O dan titik P
adalah m
OP
= y
x
1 1
. Garis g menyinggung lingkaran di P, jelas OP
g sehingga m
OP
·m
g
= –1 atau m
g
= 1
m
op
. Akibatnya, gradien garis g adalah m
g
= 1
m
op
= x
y
1 1
. Jadi, persamaan garis singgung g adalah
y – y
1
= m
g
x – x
x
1
y – y
1
= x
y
1 1
x – x
x
1
y
1
y – y
1
= –x –
1
x – x
x
1
x
1
x +
x y
1
y = x
1 2
+ y
1 2
.... i Titik Px
1
, y
1
terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
= r
2
sehingga x
1 2
+ y
1 2
= r
2
....ii Apabila persamaan ii disubstitusikan ke persamaan
i diperoleh
g: x
1
x + x
y
1
y
1 1
= r
2
rr
Persamaan tersebut adalah persamaan garis singgung yang melalui titik Px
1
, y
1
dan terletak pada lingkaran L
: x
2
+ y
2
= r
2
. Anda pun dapat menentukan persamaan garis sin-
gung g melalui titik P x
1
, y
1
yang terletak pada lingkaran L
: L
x –
x a
2
+ y – b = r
2
dengan pusat di M M
M a , b dan jari-jari r,
yaitu
g: x – x
a x
1
– a + y – b y
1
– b = r
2
rr
Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut. Kemudian, kemukakan hasilnya di depan kelas beberapa
orang saja. Diketahui titik Px
1
, y
1
terletak pada garis g dan lingkaran L: x
2
+ y
2
+ Ax + x
By + C = 0 seperti diperlihatkan
C pada Gambar 4.8. Gradien garis yang menghubungkan titik
T dan titik
T P
adalah
Px
1
, y
1
y
x O
y r
x Q g
Gambar 4.7
Di unduh dari : Bukupaket.com
