96 Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMPMTs Kelas 7
Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama.
Contoh 3.3
Tentukan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut. 1.
3 = 6
5 a
2. 5x = 8
3. –
2 3
x = 16
Penyelesaian :
1. 3
= 6 5
a 5
3 5
= 6 = 10
3 5
3 a
a
u u
Jadi, penyelesaiannya adalah 10.
2. 5x = 8
1 5
u
5x =
1 5 u
8 kedua ruas dikali dengan
1 5
x
=
8 5
Jadi, penyelesaiannya adalah
8 5
3. 2 = 16
3 x
2
2 3
3 x
x =
2 16
3 u
kedua ruas dikalikan dengan –
2 3
x
= –24
penyelesaiannya adalah –24. Untuk menentukan penyelesaian PLSV dapat juga dilakukan dengan cara berikut.
ax + b = cx + d
ax
– cx = d – b apabila suku pindah ruas, maka tanda berubah yaitu dari
+ menjadi – atau sebaliknya
a – cx = d – b
x =
d b
a c
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel PLSV dan PTLSV 97
Contoh 3.4
Tentukan penyelesaian dari persamaan 1.
2 5 – x = 4 2x – 5 2.
3 4x – 5 = 2 3x + 8 Penyelesaian:
1. 2 5 – x = 4 2x – 5
10 – 2x = 8x – 20
10 + 20 = 8x + 2x
30 = 10x
30
10 =
10 10
x
3 = x
x = 3 Penyelesaiannya adalah 3.
2. 34x– 5 = 23x + 8
12x – 15 = 6x – 16
12x – 6x = 16 + 15
6x = 31
x
= 31
6 Penyelesaiannya adalah
31 1
atau 5 6
6 .
LATIHAN 3.3
1. Tentukan kebalikan invers bilangan-bilangan berikut.
a. 3 c.
1 3
e. –
1 4
b.
5 6
d. –4
f.
8 7
2. Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut dengan cara menambah atau mengurangi
kedua ruas dengan bilangan yang sama. a. x + 5 = 10
d. 5a = 6 + 4p
b. x – 6 = 8 e.
x +
8 7
c. 2n = n – 5 f.
3x +
8 7
3. Tentukan penyelesaiannya dengan cara mengalikan atau membagi kedua ruas dengan
bilangan yang sama. a. 4a = 16
d. –
3 5
g. 2n – 5 = 9 – 5n
98 Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMPMTs Kelas 7
2 2
c. 5x = 1
3 f.
4m = 10 – m g.
2 + 3p – 1 = 54 – 4 4.
Selesaikanlah persamaan-persamaan berikut dengan menggunakan lawan atau kebalikan bilangan.
a. 3x + 5 = 8 d.
4x – 8 = 0 b. 3x – 2 = 25
e. 5m – 3 = 3m – 7
c. 3p + 5 = –10 f.
–5p = 2p – 42 5.
Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut dengan menggunakan ketentuan berikut: pindahkan suku yang mengandung variabel dalam satu ruas dari konstanta dalam satu ruas
yang lain seperti ax + b = cx + d
ax – cx = d – b dan seterusnya. a. 5x + 6 = 22x + 12
d. 2m – 3 + c = 6 + 4m
b. 4x = 35 – x e.
6 – 4p = 4 – p – 3 c. 15p – 3 = –3p
f. 3
2 1
5 3 7 3
3 8
x x
4. Penerapan PLSV dalam Kehidupan Sehari-hari
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan konsep matematika. Di antaranya persoalan bisnis, pekerjaan, dan sebagainya. Untuk dapat
menyelesaikan permasalahan tersebut perlu diperhatikan langkah-langkah berikut. 1.
Pemahaman terhadap permasalahan tersebut. 2.
Menerjemahkan permasalahan tersebut dalam bentuk kalimat matematika persamaan. 3.
Menyelesaikan persamaan tersebut. 4.
Memeriksa hasil penyelesaian dengan mengaitkannya pada permasalahan awal.
Ingatlah
1. Jumlah a dan b
o ditulis a + b
2. Selisih a dan b
o ditulis a – b
3. Kuadrat a
o ditulis a
2
4. Jumlah kuadrat a dan b ditulis a
2
+ b
2
5. Selisih kuadrat a dan b ditulis a
2
– b
2
6. Kuadrat jumlah a dan b ditulis a + b
2
7. Kuadrat selisih a dan b ditulis a – b
2
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel PLSV dan PTLSV 99
Contoh 3.5
1. Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang memiliki lebar 7 kurangnya dari
panjangnya dan keliling 86 m. Tentukanlah ukuran panjang dan lebarnya. Penyelesaian
: Misalkan panjang = x m, maka lebarnya x – 7 m.
Keliling = 2x + 2x – 7
k = 2x + 2x – 14
k
= 4x – 14
86 = 4x – 14
86 + 14 = 4x
4x = 100
x =
100 = 25
4 Ukuran kolam, panjang 25 m dan lebar 25 – 7 m = 18 m.
2. Umur ibu 3 kali umur anaknya. Selisih umur mereka adalah 26 tahun. Tentukanlah
umur masing-masing. Penyelesaian
: Misalkan umur anaknya x tahun, maka umur ibunya 3x tahun. Selisih umur mereka
26 tahun, jadi persamaannya adalah 3x – x = 26
2 x = 26
x
= 13 Jadi, umur anaknya 13 tahun dan ibunya 3
u
13 tahun = 39 tahun. 3.
Jumlah 3 bilangan ganjil positif yang berurutan adalah 21. Tentukanlah ketiga bilangan tersebut.
Penyelesaian :
Misalkan bilangan-bilangan itu adalah n, n + 2, n + 4, notasi aljabarnya adalah
n + n + 2 + n + 4 =
21
n + n + 2 + n + 4 =
21
3n + 6 = 21
3n =
21 – 6
3n = 15
n
= 15
3 Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 5, 5 + 2, 5 + 4 atau 5, 7, dan 9.
100 Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMPMTs Kelas 7
1. Jumlah dua bilangan yang berurutan adalah 31. Tentukanlah kedua bilangan itu.
2. Jumlah uang si A adalah
3 4
kali uang si B. Jika jumlah uang mereka Rp. 84.000,00, tentukanlah jumlah uang masing-masing.
3. Suatu persegi dengan sisinya adalah 3n – 1 cm dan keliling adalah 68 cm. Tentukanlah
ukuran persegi itu. 4.
Selisih dua bilangan adalah 6. Jika bilangan yang satu 3 kali bilangan yang lainnya tentukanlah bilangan-bilangan itu.
5. Seorang ayah memelihara ayam dan kambing, jumlahnya 25 ekor. Jumah kaki ayam dan
kaming adalah 70. Tentukanlah jumlah masing-masing ayam dan kambing ayah tersebut. 6.
Ibu pergi ke pasar untuk membeli beberapa kilogram ikan emas dan ikan lele. Harga 1 kg ikan emas adalah 1
1 2
kali harga ikan lele per 1 kg. Jika ibu membayar harga ikan emas dan lele sebanyak Rp. 30.000,00, berapakah harga masing-masing ikan tersebut per kg
nya?. 7.
x cm
x - 2 cm x cm
Gambar di samping adalah sebuah segitiga sama kaki. a. Tentukanlah persamaan kelilingnya dalam x.
b. Jika kelilingnya 13 cm, tentukanlah panjang masing-masing sisinya.
8.
2 x -
1 c
m 2x + 3 cm
Gambar di samping adalah sebuah persegi panjang dengan ukuran panjang 2x + 3 cm dan lebar 2x – 1 cm.
a. Untuk keliling 28 cm, tulislah persamaan keliling dalam x. b. Tentukan ukuran panjang dan lebar.
9. Sebuah bilangan, dikalikan dengan 2
1 2
kali kemudian ditambahkan 5 hasilnya menjadi 95. a. Jika bilangan itu dimisalkan n, tentukanlah persamaannya dalam n.
b. Tentukan bilangan itu. 10. Pada sebuah persegi panjang, panjangnya 3 kali lebarnya. Jika panjangnya dikurangi 10
cm dan lebarnya ditambah 10 cm, maka persegi panjang itu menjadi persegi. Tentukanlah: a. model matematikanya
c. ukuran persegi panjang
b. penyelesaiannya d.
luas persegi
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel PLSV dan PTLSV 101
a b, dibaca a lebih dari b
a b, dibaca a kurang dari b
a = b, dibaca a sama dengan b
z
, dibaca tidak sama dengan
t
, dibaca lebih besar atau sama dengan, atau tidak kurang dari
d
, dibaca lebih kecil atau sama dengan, atau tidak lebih dari.
Contoh 3.6
1. Tulislah kalimat-kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan.
a. 7 lebih dari 5 c.
5 terletak di antara 4 dan 6 b. 6 kurang dari 8
Penyelesaian :
a. 7 lebih dari 5, dituliskan 7 5 b. 6 kurang dari 8, dituliskan 6 8
c. 5 terletak di antara 4 dan 6, dituliskan 4 5 6
2. Nyatakanlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam satu ketidaksamaan.
a. 2 3 dan 3 4 c.
7 4 dan 7 10 b. 3 1 dan 1 0
Penyelesaian :
a. 2 3 dan 3 4, dapat dituliskan dalam bentuk 2 3 4 b. 3 1 dan 1 0, dapat dituliskan dalam bentuk 3 1 0
c. 7 4 dan 7 8, dapat dituliskan dalam bentuk 8 7 4
Sebelum membahas PTLSV sebaiknya kalian terlebih dahulu mengenal lambang-lambang yang digunakan pada PTSLV.
Misalnya ada tiga bilangan 3, 6, dan 9, dapatkah kalian mengetahui hubungan antara ketiga bilangan itu?. Untuk itu perhatikanlah penjelasan berikut ini.
a. 3 6, dibaca 3 kurang dari 6
c. 6 3, dibaca 6 lebih dari 3
b. 5 9, dibaca 5 kurang dari 9
d. 9 6, dibaca 9 lebih dari 6
Kalimat-kalimat di atas disebut ketidaksamaan. Untuk sebarang bilangan a dan b, selalu berlaku salah satu hubungan berikut:
Lambang-lambang ketidaksamaan lainnya adalah:
102 Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMPMTs Kelas 7
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang hanya memiliki
sebuah variabel dan berderajat satu dan memuat hubungan , , d
atau t
.
ax + b 0, ax + b 0, ax + b
d 0, atau ax + b
t dengan a
z
0, a dan b bilangan real nyata. Dalam kehidupan sehari-hari banyak peristiwa yang dapat diterjemahkan ke bentuk model
matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan, misalnya. 1.
Harga sebuah buku lebih mahal dari harga sebuah pensil. 2.
Kecepatan Andika mengendarai mobilnya dengan kecepatan kurang dari 100 kmjam. 3.
Tinggi badan Rini lebih dari tinggi badan Ani, dan sebagainya.
TUGAS SISWA
Carilah kejadian-kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang menyangkut, pertidaksamaan, baik yang pernah dialami ataupun belum.
1. Pengertian PTLSV
Perhatikanlah kalimat-kalimat berikut ini. a.
x 5
c. 3a
t a + 5
b. 2x– 3 7
d. 5n – 3
d 4n + 2
Kalimat-kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung , , t
atau d
. Kalimat- kalimat ini disebut pertidaksamaan.
Masing-masing pertidaksamaan itu hanya memiliki satu variabel, yakni x, a, dan n. Pertidaksamaan seperti ini disebut pertidaksamaan satu variabel. Peubah variabel
pertidaksamaan di atas berpangkat satu atau juga disebut berderajat satu maka disebut pertidaksamaan linear
.
Bentuk umum PTLSV dalam variabel x dituliskan dengan:
Di bawah ini ada beberapa contoh PTLSV dengan variabel x. a.
3x – 2 0 c.
3x + 1 t
2x – 4 b.
5x – 1 8 d.
10 d
2x + 1
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel PLSV dan PTLSV 103
1. Tulislah kalimat di bawah ini dalam bentuk pertidaksamaan.
a. panjang sebuah galah g tidak melebihi 2 meter b. tinggi seorang peragawati p harus lebi hdari 170 cm
c. berat badan Toni t terletak di antara 40 kg dan 50 kg d. untuk masuk SMPN, jumlah NEM n sekurang-kurangnya 28
2. Di antara bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan pertidaksamaan linear satu
variabel? a. 3x + 5 8
d. x
2
+ 2 d
18 g. a3 – 2a
t b. 5x – 4 11
e. y
– 3 t
2 3
y h. x
2
– 5 t
c. 22x + 3 t
9 f.
x – 2y 4
i. p
+ 1
p 6
2. Sifat-Sifat PTLSV
Seperti halnya pada persamaan linear satu variabel, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel pun dapat dilakukan dengan cara substitusi.
Selain itu dapat juga dilakukan dengan menjumlah, mengurangi, mengali, atau membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama. Misalkan A B pertidaksamaan linear
satu variabel x dan C adalah konstanta tidak nol. Pertidaksamaan A B ekuivalen dengan: 1.
A + C B + C
2. A
– C B – C 3.
A
u
C B
u
C, jika C 0 untuk semua x 4.
A
u
C B
u
C, jika C 0 untuk semua x 5.
A B
C C
, jika C 0 untuk semua x 6.
A B
C C
, jika C 0 untuk semua x Sifat-sifat di atas juga berlaku untuk lambang
atau t
d
3. Menyelesaikan PTLSV
a. Penjumlahan atau Pengurangan
Perhatikan pertidaksamaan berikut: x
+ 3 7, dengan x variabel dari bilangan bulat. Untuk: x = 1, maka 1 + 3 7, bernilai benar
x = 2, maka 2 + 3 7, bernilai benar
x = 3, maka 3 + 3 7, bernilai benar
x = 4, maka 4 + 3 7, bernilai salah
Pengganti x adalah 1, 2, dan 3 sehingga pertidaksamaan x + 3 7 menjadi benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
104 Penunjang Belajar MATEMATIKA untuk SMPMTs Kelas 7
Contoh 3.7
Tentukan penyelesaian dari 4x t
3x – 5, untuk: 1.
a. x İ
bilangan rasional b.
x İ
bilangan bulat kurang dari –2 Penyelesaian
: a.
4x t
3x – 5
4x + –3x t
3x + –3x –5 kedua ruas ditambah – x
x t
– 5. Penyelesaiannya adalah x t
–5 b. 4x
t 3x – 5
Dari hasil a, diperoleh x = –5, x = –4, x = –3 2.
Tentukan penyelesaian dari 3x – 2 d
1 + 2x, untuk: a. 0 x
d 3
b. x
bilangan riil Penyelesaian
: 3x – 2
d 1 + 2x
3x – 2 + 2
d 1 + 2x + 2, kedua ruas ditambah 2
3x
d 3 + 2x
3x – 2x
d 3 + 2x – 2x, kedua ruas dikurangi –2x
x
d 3
a. Untuk 0 x d
3, penyelesaiannya adalah x = 1, 2, dan 3 b. Untuk x
İ bilangan riil, penyelesaiannya adalah x
d 3
3. Tentukan penyelesaian dari 2 x – 1
d 6, untuk:
a. x bilangan riil b.
x bilangan asli
Penyelesaian :
2 x – 1 d
6
2 x – 1 dan x
– 1 d
6 2 x – 1
x – 1
d 6
2 + 1 x – 1 + 1 x
– 1 + 1 d
6 + 1 3 x
x d
7 3 x dan x
d 7
3 x
d 7
a. x bilangan riil, penyelesaiannya 3 x d
7 b. x bilangan asli, penyelesaiannya x = 4, 5, 6, atau 7.
LATIHAN 6
1. Tentukan penyelesaian soal-soal di bawah ini untuk x riil
a. x – 3 5 e.
8 d
5 – x b. x + 5 7
f. 3x 2x + 7
c. x – 5 –3 g.
7x t
6x + 2 d. 5 + x
t 8
h. 3x + 4
d 2x – 1
