174 Penunjang Belajar Matematika untuk SMPMTs Kelas 7
Contoh 6.8
Perhatikan diagram Venn berikut ini.
S B
A S
B A
S A
B C
S A
B
Daerah yang diarsir pada gambar di atas menunjukkan A
B. Tentukan A
C untuk masing-masing gambar tersebut.
Penyelesaian :
a. A
B = B b.
A
B = A atau A
B = B c.
A
B = C d.
A
B = { } = I tidak ada irisan antara himpunan A dan B.
INGAT
1. Jika A
B = B atau A
B = B, maka himpunan A sama dengan himpunan B atau A
= B. 2.
Jika A
B = I, maka kedua himpunan A dan B disebut saling lepas.
3. Jika nA = nB, maka A ~ B dibaca A ekuivalen B.
Tugas Kelompok
Semua anggota A adalah anggota B dan semua anggota B adalah anggota C. Ada 29 anggota, 71 anggota C, dan 28 anggota C yang bukan anggota D. Berapa banyak
anggota B yang bukan anggota A?. Buatlah diagram Vennnya.
Himpunan 175
1. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Q = {2, 4, 6}, dan R = {2, 3, 4, 5, 8, 10}. Dengan cara
mendaftar tentukanlah: a. P
Q b. Q
P c. Q
R d. P
Q
R e. A
Q
R f.
Apa yang dapat kamu katakan tentang P
Q dan Q
P? g. Apa yang dapat kamu katakan tentang P
Q
R dan P
Q
R? 2.
A = {x | 1 x 12, x
bilangan prima} B
= {x | 2 d
x 10, x
bilangan genap}. Tentukan A
B 3.
Perhatikan diagram Venn berikut ini.
12 2
4 8
15 6
S A
13 14
11 10
16 3
5 1
7 9
B
17
Dari gambar tentukanlah: a. Himpunan semesta S
b. Himpunan A c. Himpunan B
d. Himpunan A
B
4. Diketahui:
S =
{bilangan cacah kurang dari 15} P
= {bilangan kelipatan 3 kurang dari 15}
Q =
{bilangan genap kurang dari 15} R
= {bilangan kelipatan 4 kurang dari 15}
T =
{bilangan ganjil kurang dari 15} Ditanya:
a. A
B c.
B
C b. A
D d.
A
C 5.
Gambarlah diagram Venn dari jawaban soal no. 4. 6.
Diketahui himpunan P
Q, nP = 6 dan nQ = 10 a. Jika semesta pembicaraan S, gambarlah diagram Venn kedua himpunan P dan Q.
b. Tentukan nP
Q. 7.
Dari sekelompok olahragawan, terdapat 18 orang yang gemar bulu tangkis, 16 orang gemar bola basket, dan 12 orang gemar dua-duanya.
a. Gambarlah diagram Venn yang menunjukkan pernyataan di atas. b. Tentukan jumlah olahragawan tersebut.
176 Penunjang Belajar Matematika untuk SMPMTs Kelas 7
2 5
15 4
20 24
10 S
matematika
olahraga
kesenian
kesukaaan dari sekelompok siswa terhadap tiga mata pelajaran di sekolah.
a. Berapa orang yang gemar matematika saja?
b. Berapa orang yang gemar olahraga saja?
c. Berapa orang yang gemar kesenian saja?
d. Berapa orang yang gemar matematika dan
olahraga? e.
Berapa orang yang gemar matematika dan kesenian?
f. Berapa orang yang gemar ketiga-tiganya?
2. Gabungan Dua Himpunan
Apa arti dari gabungan dua himpunan?. Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikanlah yang berikut ini.
1 9
S 2
3 5
7 B
A 13
11
Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} dan B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}. Jika himpunan A dan himpunan B digabungkan maka terbentuk
sebuah himpunan baru, yang anggota-anggotanya adalah 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Gabungan himpunan A dan B ditulis
A
B. Jadi A
B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13}. Dengan diagram Venn, diperoleh gambar seperti di atas.
Daerah yang diarsir menunjukkan A
B. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:
Selanjutnya, untuk menyatakan hubungan A
B dapat dilihat pada diagram Venn di bawah ini.
S A
B A = B
S S
S B
B A
A
Gambar 6.4
Gabungan himpunan A dan B ditulis A
B adalah himpunan yang anggotanya adalah merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B. Gabungan himpunan A dan
B dinotasikan dengan
A
B = {x | x
A atau x
B}
Gambar 6.5
Himpunan 177
Contoh 6.9
1. Diketahui: S = {x | 1
d x
d 10, x
asli} A
= {x | x kelipatan 2} B
= {x | x
bilangan ganjil} C
= {x | x
bilangan prima} Himpunan A, B, dan C merupakan himpunan bagian dari S. Tentukanlah:
a. A
B b. A
C c. B
C Penyelesaian
: a. A
= {2, 4, 6, 8, 10} dan B
= {1, 3, 5, 7, 9} A
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Lihat diagram Venn di samping. Daerah
yang diarsir menunjukkan A
B. b.
A = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {2, 3, 5, 7}
A
C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} Lihat diagram Venn di samping. Daerah yang
diarsir adalah A
C.
c. B =
{1, 3, 5, 7, 9}, C = {2, 3, 5, 7} B
C = {1, 2, 3, 5, 7, 9} Lihat diagram Venn di samping. Daerah
yang diarsir menunjukkan B
C .
2. Dari jawaban no.1, tentukan banyaknya anggota gabungan kedua himpunan pada
soal a, b, dan c. Penyelesaian:
a. nA = 5, nB = 5. Dari jawaban 1.a, nA
B = nA + nB = 5 + 5 = 10. b. nA = 5, nC = 4. Dari jawaban 1b, nA
C = 8. Perhatikan A
C = {2, jadi nA
C = 1. Untuk menentukan banyaknya anggota A
C, dapat digunakan rumus n
A
B = nA + nC – nA
C = 5 + 4 – 1 = 8 c. nB = 5, nC = 4, dan nB
C = 3. Dengan menggunakan rumus hasilnya diperoleh nB
C = nB + nC – nB
C = 5 + 4 – 3 = 6.
S B
A 2
1 4
3 9
5 6
7 8
10
1 9
S 2
3 5
7
C B
S 2
4 3
5 6
7 8
10 C
A
178 Penunjang Belajar Matematika untuk SMPMTs Kelas 7
Untuk A dan B adalah himpunan, maka banyaknya anggota gabungan himpunan A dan B
dapat dinyatakan dengan rumus: n
A
B = nA + nB – nA
B
Contoh 6.10
Dari 40 siswa, 32 siswa gemar matematika M dan 24 siswa gemar fisika F, jika 18 siswa gemar matematika dan fisika, tentukan berapa siswa yang gemar matematika
atau fisika? Penyelesaian
: n
M =
32 n
F =
24 nM
F = 18
maka nM
F = nM + nF – nM
F = 32 + 24 – 18 = 38
Jadi, banyak siswa yang gemar matematika atau fisika adalah 38 siswa.
3. Penerapan Konsep Himpunan dan Penggunaan Diagram Venn untuk Irisan Dua Gabungan
