kecil atau sama
dengan x, yaitu: x=n, jika n ≤x ≤n+1
Fungsi fx= x dinamakan fungsi
bilangan bulat terbesar fungsi
tangga Grafik
: Menyerupai
Tangga Contoh: Jika x = 3,6. Maka
x = 3,6=3
2.5 Modulo atau Kekongruenan
Misalkan a dan b adalah suatu bilangan bulat. Jika m suatu bilangan
bulat positif yang lebih besar dari 1, maka a dikatakan kongruen dengan b
modulo m ditulis a ≡ b mod m jika m
membagi habis a – b . Atau a ≡ b mod m jika a dan b
memberikan sisa yang sama bila dibagi oleh m.
Contoh: 5 ≡ 2 mod 3, 2 adalah sisa pembagian oleh 3.
3. PEMBAHASAN
a. Menentukan Hari Saptawara
Hari saptawara dapat ditentukan dengan formulasi matematika sebagai
berikut [2]:
W
s
=k+[2,6m-0,2]-2c+y+
[ ]+
[ ] mod 7
dengan k = tanggallahir, m= angka bulan lahir, c = angka abad, y = dua
digit setelah angka abad pada bulan Maret s.d Desember. Sedangkan untuk
bulan Januari dan Februari, y= dua digit setelah angka abad dikurangi satu.
Tabel 3.1.Angka bulan lahir
Nama Bulan
AngkaBulan
Maret 1
April 2
Mei 3
Juni 4
Juli 5
Agustus 6
September 7
Oktober 8
November 9
Desember 10
Januari 11
Februari 12
Tabel 3.2.Sisa perhitungan
Nama Hari
Angka Hari
Minggu Senin
1 Selasa
2 Rabu
3 Kamis
4 Jumat
5 Sabtu
6
Contoh :Menentukan hari saptawara pada tanggal 17 Agustus 1945
k=17, m=6, c=19, y=45
W
s
=17+[2,6m-0,2]-2c+y+
[ ]+
[ ] mod 7
= 17+[2,6x6 – 0,2] – 2x19 + 45 + [ ]+
[
] mod 7 =17+[15,4] -38 +45 + [11,25] + [4,75]
mod 7 =17+15-38+45+11+4 mod 7
=54 mod 7 =5 Jum’at
Jadi hari kelahiran kemerdekaan Indonesia jatuh pada hari Jumat.
b. Menentukan Hari Pancawara
3.2.1 Tahun Kabisat
Banyaknya tahun kabisat pada setiap abad berbeda-beda. Setiap 100 tahun
terdiri dari 76 tahun biasa dan 24 tahun kabisat. Banyaknya tahun
kabisat selama 100 tahun ada 24, maka sisa hari selama tahun tersebut
adalah 24≡4 mod 5 atau 4 hari. Selanjutnya, tahun kabisat selama
200 tahun ada 48, maka sisa hari
22
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
selama tahun tersebut adalah 48≡3 mod 5 atau 3 hari. Banyaknya
tahun kabisat selama 300 tahun ada 72, maka sisa hari selama tahun
tersebut adalah 72≡2 mod 5 atau 2 hari. Sedangkan selama 400 tahun,
banyaknya tahun kabisat ada 96 tahun. Akan tetapi, karena setiap
tahun yang merupakan kelipatan dari 400 adalah tahun kabisat, maka
banyaknya tahun kabisat selama tahun tersebut akan ditambah satu,
sehingga ada 97 tahun kabisat. Dengan kata lain, sisa hari selama
400 tahun adalah 97≡2 mod 5 atau 2 hari. Begitu pula dalam 800 tahun,
1200
tahundan 1600
tahunjugaterdapat 2
sisa hari.
Selanjutnya, banyaknya
tahun kabisat antara tahun 1600 sampai
dengan tahun N, N≥1600diperoleh dari :
1. Banyaknya tahun kabisat
setiap 4 tahun sekali yaitu ada
[ ]
2. Banyaknya tahun kabisat
setiap 100 tahun sekali yaitu ada
[ ]
3. Banyaknya tahun kabisat
setiap 400 tahun sekali yaitu ada
[ ]
Karenasisaharipadatahunkabisat 1600
ada 2 hari, makabanyaknya tahun kabisat sampai dengan tahun ke-N
menjadi :
dN=2+
[ ]
-
[ ]
+
[ ]
.
dapat disederhanakan menjadi
dN=
[ ]
-
[ ]
+
[ ]
-386
Jika N = 100C+Y maka
dN=24C+
[ ]
+
[ ]
-386 mod 5
=
4C+
[ ]
+
[ ]
-1 mod 5
Dimana d
N
= banyaknya tahun kabisat. c=angka abad, y=dua
digit terakhir setelah angka abad.
3.2.2 Inspeksi Bulan
Tabel 3.4 Sisa hari dalam satu bulan
Nama Bulan Sisa Jumlah
Hari mod 5
Maret - April 31≡ 1 mod 5
April - Mei 30≡ 0 mod 5
Mei - Juni 31≡ 1 mod 5
Juni - Juli 30≡ 0 mod 5
Juli - Agustus 31≡ 1 mod 5
Agustus- September 31≡ 1 mod 5
September- Oktober 30≡ 0 mod 5
Oktober - November 31≡ 1 mod 5
Nov-Desember 30≡ 0 mod 5
Desember-Januari 31≡ 1 mod 5
Januari-Februari 31≡ 1 mod 5
Jumlah 7
Rata-rata 0.6
Perhatikan bahwa terdapat 11 sisa perhitungan dengan total 7 hari,maka
rata-ratanya adalah 0,6 sisa hari. Sehingga
dengan cara
inspeksi diperoleh formulasi matematika yang
tepat yaitu: b=[0.6m+1.8]-2.
3.2.3 Formulasi Hari Pancawara
Hari pancawara
dapat ditentukan
dengan formulasi matematika sebagai berikut:
W
p
=tanggal+bulan+banyaknya tahun
kabisat tahun ke-N mod 5. Sehingga diperoleh formulasi hari
pancawara secara umum:
Wp=k+[0.6m+1.8]-2+4C+
[ ]
+
[ ]
-1 mod 5
Wp=k+[0.6m+1.8]+4C+
[ ]
+
[ ]
-3mod 5 ,
dengan k=tanggal.
23
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
Tabel 3.3 Sisa perhitungan
pancawara
Nama Pancawara
Sisa Perhitungan Pancawara
LegiManis Paing
1 Pon
2 Wage
3 Kliwon
4
Contoh : Menentukan hari pancawara untuk
tanggal 17 Agustus 1945. Diketahui: k= 17, m=6, c=19 dan y=45,
nilai c=19 Ditanyakan
Wp? Jawab :
Wp=k+[0.6m+1.8]+4C+
[ ]
+
[ ]
-3mod 5
=17+4x19+[0,6x6 + 1,8]+
[ ]
+
[ ]
-3 mod 5
= 17+76 +[5,4]+[11,25]+[4,75]-3 mod 5
=17+76 +[5,4]+[11,25]+[4,75]-3 mod 5
= 110 mod 5 = 0 mod 5
LegiManis. Jadi,
hari pancawara
untuk kemerdekaan Indonesia yaitu Legi
Manis.
4. KESIMPULAN
