Daftar Pustaka Prosiding SNMPM UNDIP 2015

Astrositoma dengan menggunakan data dari Laboratorium Radiologi FKUI, Jakarta. Data diambil dari 36 orang pasien pengidap Astrositoma dengan derajat keganasan tertentu yang tidak dibatasi jenis kelamin maupun usia. Dari data yang ada, sebagian digunakan sebagai data training yang digunakan untuk membentuk model klasifikasi, sedangkan sisanya digunakan sebagai data testing untuk menentukan keakuratan klasifikasi yang telah terbentuk sebagai hasil dari pengaplikasian Algoritma 1. Pada percobaan digunakan Algoritma 1 yang dibangun pada makalah ini dan Algoritma Fuzzy C-Means sebagai pembanding. Pada Algoritma Fuzzy Kernel C-Means FKCM, digunakan fungsi Kernel Gaussian dengan parameter . Pada setiap percobaan, untuk suatu data testing tertentu, dilakukan 10 kali pengulangan, dimana pengambilan data dilakukan secara acak. Hasil rata-rata keakuratan klasifikasi tingkat keganasan Astrositoma dengan menggunakan Algoritma 1 maupun Fuzzy C- Means FCM dapat dilihat pada Tabel 1. Dapat dilihat bahwa dibandingkan dengan metode FCM, metode FKCM memberikan keakuratan klasifikasi yang lebih baik. Tabel 1. Presentase Keakuratan Klasifikasi Tingkat Keganasan Astrositoma dengan Menggunakan FCM dan FKCM Data Training FCM FKCM 10 65 70 20 70 85 30 67 80 40 70 84 50 73 85 60 85 90 70 80 94 80 78 92 90 85 99

7. Kesimpulan

Pada makalah ini diberikan algoritma Fuzzy Kernel C-Means FKCM yang digunakan untuk mengklasifikasi data MRS ke dalam 4 kelas Astrositoma yang dibedakan berdasarkan derajat keganasannya. Berdasarkan hasil percobaan terlihat bahwa penggunaan fungsi kernel dapat meningkatkan keakuratan klasifikasi. Penelitian ini dapat dilanjutkan dengan mengembangkan metode lain yang lebih akurat untuk menentukan derajat keganasan Astrositoma. Serta dimungkinkan untuk menggunakan kernel non-parametrik pada metode kernel yang digunakan pada penelitian ini. Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih dan apresiasi setinggi-tingginya kepada Dr. Jacob Pandelaki dari Departemen Radiologi FK UI atas saran yang diberikan maupun materi tentang Astrositoma. Serta kepada pimpinan laboratorium Radiologi FKUI yang telah mengizinkan penggunaan data Astrositoma dalam penelitian ini.

8. Daftar Pustaka

[1] B. Kennedy dan J. E. Harris, Astrocytoma, Medscape, http:emedicine.medscape.comarticle 39 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 283453-overview , diunduh pada: 4 Mei 2015. [2] D. J. Brat dan T. B. Mapstome , ”Malignant Glioma Physiology: Cellular Response to hypoxia and Its Role in Tumor Progression ”, Ann Intern Med ., pp. 659-68, 2003. [3] M. Bernstein dan M. S. Berger, Neuro- Oncology The Essentials, New York: Thieme, 2000. [4] C. Z. Ye, J. Yang, D. Y. Geng, Y. Zhou, dan N. Y. Chen, “Fuzzy Rules to Predict Degree of Malignancy in Brain Glioma ”, Med. Biol. Eng. Comput. , 40, pp. 145-152, 2002. [5] A. Fikri, Z. Rustam, dan J. Pandelaki, “ Brain Cancer Astrocytoma Clustering menggunakan Metode Fuzzy C-Means ”, Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010, FMIPA UI , 1, ISSN: 1907 – 2562, 2010. [6] A. P. Wibowo, Z. Rustam, dan J. Pandelaki, “ Clustering Brain Cancer Menggunakan Metode Possibilistic C- Means ”, Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010, FMIPA UI , 1, ISSN: 1907 – 2562, 2010. [7] A. Krismanti, Z. Rustam, dan J. Pandelaki, “Aplikasi Spherical K- Means pada Pengklasifikasian Brain Cancer ”, Prosiding Seminar Nasional Matematika 2010, FMIPA UI , 1, ISSN: 1907 – 2562, 2010. [8] J. Bezdek, Pattern Recognition with Fuzzy Objective Function Algorithms, New York: Plenum, 1981. [9] V. N. Vapnik, Statistical Learning Theory, New York: Wiley, 1998. [10] B. Scholkopf, A. Smola dan K. R. Muller, “An Nonlinear Component Analysis as a Kernel Eigenvalue Problem ”, Neural Computation , 10, No. 3, pp. 1299-1319, 1998. [11] N. Cristianini dan J. S. Taylor, An Introduction to SVMs and Other kernel-based Learning Methods, Cambridge: Cambridge University Press, 2000. [12] K. R. Muller, S. Mika, G. Ratsch, K. Tsuda dan B. Scholkopf, “An Introduction to Kernel-Based Learning Algorithms ”, IEEE Trans. On Neural Networks , 12, No. 2, 2001. [13] R. Krishnapuram dan J. Keller, “Possibilitic C-Means : Insight and Recommendations Approach to Clustering ”, IEEE Trans. Fuzzy Syst ., 4, No. 3, pp.385-393, 1996. [14] N. B. Karayiannis, “An Soft Learning Vector Quantization and Clustering Algorithms Base on Ordered Aggregation Operators”, IEEE Trans. On Neural Networks, 11, No. 5, 2000. [15] N. B. Karayiannis dan J. Bezdek, “An Integrated Approach to Fuzzy Learning Vector Quantization and Fuzzy C- Means ”, IEEE Trans. Fuzzy Systems , 5, No. 4, pp. 622-628, 1997. 40 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 PENERAPAN PROGRAM LINIER FUZZY TIDAK PENUH UNTUK OPTIMASI PRODUKSI JENANG DAN MINO PADA HOME INDUSTRY “LABA-LABA” Rizky Handayani 1 , Bambang Irawanto 2 1 PS Matematika FMIPA UGM, 2 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro 1 Sekip Utara BLS 21 Yogyakarta 55281, 2 Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang 2 Abstrak. Program linear merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya yang dinyatakan dalam sebuah fungsi linear yang disebut fungsi objektif dengan syarat-syarat atau kendala yang dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Namun dalam beberapa situasi dijumpai fungsi objektif atau kendala yang tidak tegas atau fuzzy. Penyelesaian dengan metode simpleks atau grafik hanya berlaku untuk kendala atau fungsi objektif yang tegas, demikian pula halnya dengan program aplikasi POM-QM for Windows 3. Masalah optimasi produksi jenang dan mino adalah masalah menentukan keuntungan maksimum dari pembuatan makanan khas daerah Klampok yaitu jenang dan mino. Masalah ini dapat dinyatakan dalam sebuah model program linier fuzzy tidak penuh. Nilai fuzzy yang dimaksud adalah keuntungan dari produk jenang dan mino, dengan asumsi bahwa nilai tersebut linear maka penerapan bilangan trapezoidal fuzzy dalam masalah program linear fuzzy tidak penuh akan diubah menjadi model masalah program linear tegas menggunakan fungsi ranking untuk kemudian hasilnya dapat disimulasikan dengan aplikasi POM-QM for Windows 3. Kata kunci: program linear fuzzy tidak penuh, bilangan trapezoidal fuzzy, fungsi ranking, program linear 1. PENDAHULUAN Salah satu masalah yang dihadapi oleh para pengusaha home industry makanan khas daerah Klampok adalah menentukan jumlah produksi yang optimum sehingga diperoleh keuntungan yang maksimum. Hal ini dapat dimaklumi mengingat keuntungan yang diperoleh para pengusaha tersebut besarnya tidak dapat ditentukan. Jika musim liburan atau hari raya keuntungan yang diperoleh bisa mencapai dua kali lipat atau lebih dari hari biasa, akan tetapi keuntungan yang diperoleh pun bisa mengalami penurunan jika sepi pembeli. Sehingga keuntungan yang diperoleh tidaklah pasti nilainya. Program linear adalah suatu teknik dalam riset operasi untuk memecahkan masalah optimasi memaksimumkan atau meminimumkan dengan menggunakan persamaan pertidaksamaan linear dalam mencari pemecahan yang optimum dengan memperhatikan batasan-batasan yang ada. Agar persoalan dapat dipecahkan menggunakan program linear maka persoalan harus dapat dirumuskan secara matematis, fungsi objektif harus dibuat optimum, fungsi objektif dan kendala atau batasan harus linear, semua batasan harus dinyatakan dalam persamaan atau pertidaksamaan linear dan semua variabelnya harus tidak negatif. Dalam hal ini persoalan yang timbul adalah berapa besar masing-masing jenis produk harus diproduksi sehingga hasil penjualan maksimum. Masalah lain yang muncul adalah nilai keuntungan yang tidak tegas atau fuzzy menyebabkan persoalan tidak dapat diselesaikan dengan mudah mengingat belum tersedia algoritma untuk penyelesaian masalah program linear fuzzy. Teori himpunan fuzzy dapat digunakan untuk menangani masalah ketidakpastian tersebut dengan memperkenalkan himpunan yang dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan yang memetakan setiap domain pada himpunan fuzzy ke tepat satu bilangan real pada interval tertutup [0,1]. Teori himpunan fuzzy banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu seperti dalam program linier. Kemudian dengan menerapkan bilangan trapezoidal fuzzy, masalah program linear fuzzy diubah menjadi masalah program linear tegas dengan menggunakan fungsi ranking untuk kemudian diselesaikan dengan metode 41 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 yang sudah tersedia yaitu metode simpleks atau grafik. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Bilangan Trapezoidal Fuzzy Definisi 2.1. [1] Bilangan fuzzy disebut bilangan trapezoidal fuzzy apabila memiliki fungsi keanggotaan sebagai berikut: = 1 − − , − ≤ 1, ≤ ≤ 1 − − , ≤ + 0, . Definisi 2.2. [1] Bilangan trapezoidal fuzzy dapat dinyatakan dengan = , , , dengan ≠ , 0, 0 dan , , , ∈ ℝ. Core dari bilangan trapezoidal fuzzy adalah [ , ] dan support dari bilangan trapezoidal fuzzy adalah − , + . Definisi 2.3. [1] Diberikan dua bilangan trapezoidal fuzzy yaitu = , , , dan = , , , , dengan , ∈ ℝ dan , , , , , , , ∈ ℝ. Operasi dari bilangan trapezoidal fuzzy didefinisikan sebagai berikut: 1. Negasi: − = − , − , , 2. Penjumlahan: + = + , + , + , + 3. Pengurangan: − = − , − , + , + 4. Perkalian dengan skalar: • untuk ≥ 0, ∈ ℝ maka = , , , • untuk 0, ∈ ℝ maka = , , − , − . Definisi 2.4. [1] Nilai fungsi ranking yang digunakan untuk mengurutkan bilangan trapezoidal fuzzy didefinisikan: ℜ = , - . + 1 − dengan = , , , , ∈ ℝ . Definisi 2.5. [1] Sifat-sifat relasi yang digunakan untuk mengurutkan setiap bilangan trapezoidal fuzzy , ∈ ℝ dan skalar ∈ ℝ didefinisikan sebagai berikut: jika ℜ ℜ23, jika ℜ 423, dan = jika ℜ = ℜ23.

2.2. Program Linier

Fuzzy Tidak Penuh Salah satu bentuk program linear fuzzy tidak penuh yaitu program linier dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy. Secara umum bentuk masalah program linier dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy dirumuskan sebagai berikut [1]: Memaksimalkan atau meminimalkan 5̃ = ∑ 8̃ 9 9 : 9;0 3.1.1 terhadap ∑ 9 9 : 9;0 ≤, ≥ , = 1,2, … , ? 3.1.2 9 ≥ 0, = 1,2, … , 3.1.3 Langkah-langkah metode simpleks untuk menyelesaikan masalah program linear dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy dirumuskan sebagai berikut [1]: 1. Mengubah bentuk umum masalah program linear dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy ke dalam bentuk standar, yaitu dengan menambah variabel tambahan atau variabel semu. 2. Menyusun tabel simpleks awal masalah program linear dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy dalam bentuk standar dengan syarat bahwa kendala utama sudah tersusun Gauss-Jordan dengan ruas kanan sudah tak negatif. 3. Menguji keoptimalan pada tabel awal dengan melihat nilai A9 = ℜ25̃ 9 − 8̃ 9 3 untuk semua . Jika A9 ≥ 0 untuk semua maka tabel dikatakan optimal. 4. Jika tabel awal belum optimal, maka langkah selanjutnya adalah memperbaiki tabel dengan mengganti satu variabel basis. Mengganti variabel basis dilakukan dengan dua aturan, yaitu: i. KUNCI I Entering Variable 42 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Pilih B, sehingga AC = minG A9 H. dengan B adalah kolom ke- B variabel yang bukan basis. ii. KUNCI II Leaving Variable Pilih baris ke- I yang memenuhi 4 = J KL J KM = min N J OL J OM | C 0Q, dengan I adalah variabel basis yang keluar. Jika ditemukan C 0, maka proses dihentikan, karena masalah program linear dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy menjadi tak terbatas. 5. Memilih RC sebagai unsur kunci dan memperbarui tabel simpleks fuzzy . Apabila tabel simpleks baru belum optimal, maka dilakukan langkah ketiga dan seterusnya hingga diperoleh tabel yang sudah optimal.

3.HASIL DAN PEMBAHASAN

Home industry makanan bernama “Laba-laba” di daerah Klampok memproduksi makanan khas daerah Klampok yaitu jenang dan mino. Untuk memproduksi jenang dan mino dibutuhkan 5 jenis bahan baku, yaitu tepung ketan, tepung terigu, gula merah, minyak sayur, dan kelapa. Setiap kg jenang membutuhkan 1 S kg tepung ketan, T S kg gula merah, dan 2 butir kelapa. Setiap kg mino membutuhkan kg tepung terigu, kg gula merah, dan 1A kg minyak sayur. Akibat keterbatasan gudang bahan baku dan dana yang ada, bahan baku yang disediakan tiap minggu adalah 300 kg tepung ketan, 75 kg tepung terigu, 600 kg gula merah, 4 kg minyak sayur, dan 50 butir kelapa. Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan manual, yaitu Proses I adalah proses pegolahan adonan sampai menjadi makanan siap saji dan Proses II adalah proses pengemasan makanan packing. Untuk membuat jenang dibutuhkan waktu 5 jam pada Proses I dan 16 jam pada Proses II, sedangkan untuk membuat mino dibutuhkan waktu 8 jam pada Proses I dan 1 jam pada Proses II. Jumlah karyawan pada Proses I sebanyak 4 orang, sedangkan pada Proses II sebanyak 6 orang. Para karyawan bekerja mulai pukul 08.00 sampai pukul 17.00 dengan istirahat selama 1 jam mulai pukul 12.00 sampai pukul 13.00, selama 7 hari kerja dalam 1 minggu. Keuntungan per kg untuk jenang sebesar Rp 7.000,00 sampai Rp 9.000,00 dan untuk mino sebesar Rp 13.000,00 sampai Rp 15.000,00. Keuntungan per kg kedua produk tersebut seringkali berubah sesuai dengan kondisi pasar. Ketika musim libur panjang dan libur lebaran order produk tersebut banyak berdatangan dan dituntut untuk segera memenuhinya, maka keuntungan per kg untuk jenang bisa bertambah hingga 3 kali lipat tetapi tidak pernah mencapai Rp 27.000,00 dan untuk mino juga bisa bertambah hingga 2 kali lipat tetapi tidak pernah mencapai Rp 30.000,00. Akan tetapi pada hari-hari biasa ketika produk tersebut sulit untuk terjual, maka keuntungan per kg untuk jenang bisa berkurang tetapi tidak pernah mencapai Rp 6.000,00 dan untuk mino juga bisa berkurang tetapi tidak pernah mencapai Rp 10.000,00. Berdasarkan kondisi tersebut, berapakah keuntungan maksimum yang bisa didapat oleh home industry makanan “Laba-laba”? • Memformulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematika. Jam kerja karyawan per minggu dapat dihitung sebagai berikut: Proses I: 4 × 8 × 7 = 224 jamminggu Proses II: 6 × 8 × 7 = 336 jamminggu. Keuntungan untuk kedua produk tersebut dapat dibentuk ke dalam bilangan trapezoidal fuzzy sebagai berikut: Produk I Jenang: 43 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Gambar 3.1 Bilangan Trapezoidal Fuzzy untuk Keuntungan Produk I Keuntungan per kg untuk Produk I jenang dalam bilangan trapezoidal fuzzy yaitu 7000,9000,1000,18000 atau dapat ditulis menjadi 7,9,1,18 dalam ribuan rupiah. Produk II Mino: Gambar 3.2 Bilangan Trapezoidal Fuzzy untuk Keuntungan Produk II Keuntungan per kg untuk Produk II mino dalam bilangan trapezoidal fuzzy yaitu 13000,15000,3000,15000 atau dapat ditulis menjadi 13,15,3,15 dalam ribuan rupiah. Variabel keputusan: = jumlah Produk I jenang yang dibuat dalam kg = jumlah Produk II mino yang dibuat dalam kg Kasus tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut: Memaksimumkan: 5̃ = 7,9,1,18 + 13,15,3,15 dengan kendala 1 S 0 ≤ 300 ≤ 75 T S 0 + ≤ 600 1A ≤ 4 2 ≤ 50 5 + 8 ≤ 224 16 + ≤ 336 , ≥ 0 Solusi dari masalah program linear dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy dicari menggunakan metode simpleks. • Diperoleh nilai fungsi tujuan fuzzy dan crisp optimalnya yaitu 5̃ = ] _SA , `_0a , `_Sa , 0AAa b dan 5 = `AA_ 1S = 508.5529. Dengan nilai solusi penyelesaian crisp optimalnya adalah , = ] 1a1 , 0SA1 b = 20.0325 , 15.4797 . • Jadi, keuntungan maksimum yang bisa didapat oleh home industry makanan “Laba-laba” dalam memproduksi jenang dan mino adalah sebesar Rp 508.552,90 dengan jumlah jenang yang harus diproduksi sebanyak 20,0325 kg dan jumlah mino yang harus diproduksi sebanyak 15,4797 kg. 4. KESIMPULAN Program linear dengan koefisien fungsi tujuan fuzzy dapat diterapkan untuk masalah optimasi produksi jenang dan mino. Penerapan bilangan trapezoidal fuzzy pada koefisien fungsi tujuan dapat digunakan untuk mengatasi masalah ketidakpastian pada keuntungan dari penjualan mino dan jenang tersebut sehingga dapat ditentukan secara pasti berapa jumlah jenang dan mino yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan yang optimal. 5. DAFTAR PUSTAKA [1] Nezam Mahdavi-Amiri, Seyed Hadi