KESIMPULAN Pemodelan Matematika Penyakit Leptospirosis

peningkatan depresiasi relatif harga komoditi. Kondisi pasar komoditi bubuk kakao diasumsikan memenuhi kondisi pasar persaingan sempurna. Berikut ini diberikan data depresiasi bubuk kakao serta nilai depresiasi relatif komoditi. Tabel 2.1 Depresiasi Komoditi Bubuk Kakao Laporan tahunan ICCO the world cocoa organization Tahun Depresiasi 20072008 0.55 20082009 0.73 0.3273 20092010 1.35 1.4545 20102011 1.71 2.1091 20112012 1.68 2.0545 20122013 1.92 2.4909 Fungsi depresiasi relatif komoditi mobil innova G adalah = .3273 0.3273 . = 1,2,3,4,5 8 Pada bagian ini dilakukan estimasi parameter untuk mendapatkan nilai parameter yang sesuai dengan model, dengan meminimalkan fungsi objektif depresiasi relatif min = 1 2 L M .3273 N0 .3273 . O 9 Dengan langkah yang sama dengan kasus pada komoditi mobil Innova G, diperoleh nilai parameter = 0.1980. Sehingga diperoleh persamaan laju depresiasi relative komoditi bubuk kakao sebagai berikut = 0.1980 Dengan solusi persamaan diferensial = 1.6496 1.6496 .0KP Dapat diketahui bahwa nilai parameter sesuai dengan model, karena error yang diberikan kecil. Berikut ini diberikan gambar kurva fungsi depresiasi relatif . Gambar 2.2 Grafik fungsi depresiasi relative komoditi bubuk kakao Dilihat dari sebaran data depresiasi relatif komoditi bubuk kakao pada Gambar 2.2, sebaran data cenderung naik. Hal ini menunjukkan bahwa trend depresiasi relatif untuk komoditi bubuk kakao naik setiap waktu.

3. KESIMPULAN

Persamaan 2 2 = nilai parameter depresiasi relatif adalah positif yang menunjukkan bahwa harga depresiasi relative meningkat. Pada proses peningkatan depresiasi relative ditunjukkan oleh komoditi bahan pangan bubuk kakao. Estimasi nonlinier least squares metode Newton, menghasikan nilai parameter depresiasi relative = .1980. Sebaran data depresiasi relative harga komoditi bubuk kakao menunjukkan trend yang terbentuk adalah trend naik, dengan kenaikan sebesar 19 ,80 setiap tahun. Persamaan 2 2 = nilai parameter depresiasi relatif adalah negatif yang menunjukkan bahwa harga depresiasi relative turun. Pada proses penurunan depresiasi relative ditunjukkan oleh komoditi mobil Innova G. Estimasi nonlinier least squares metode Newton, menghasilkan nilai parameter depresiasi 60 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 relative sebesar = 0.2479. Sebaran data depresiasi relatif komoditi mobil Innova G menunjukkan trend yang terbentuk adalah trend turun, dengan penurunan sebesar 24,79 setiap tahun.

4. DAFTAR PUSTAKA

[1] Ahman, EengdanIndriani, Epi. 2007. MembinaKompetensiEkonomi . Bandung: Grafindo Media Pratama. [2] Bartle, Robert G., Sherbert, Donald R. 2011. Introduction to the Real Analysis, 4th ed . New York: John Wiley Sonc, Inc. [3] Bhat, S danPatibandla, R. 2011. Metal Fatigue and Basic Theorical Models: A Riview . Tamil: Intech. [4] Bittinger, Marvin L. and Ellenbogen, David J. 2007. Calculus and Its Applications , 9th ed., New York: Pearson Addison Wesley. [5] Boyce, William E., and DiPrima, Richard C., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems . New York: John Wiley Sonc, Inc. [6] Cangel, Yunus A., Palm III William J., 2013. Differential Equation forTrench, William F., 2013. Elementary Differential Equation with Boundary Value Problem . Texas: America Institute of Mathematics.Engineers and Scientists . New York: McGraw-Hill. [7] DeGarmo, E. Paul., Sullivan, Wilam G., Bontadelli, James A., and Wicks, Elin M. 2001. EkonomiTeknik: Engineering Economy , edisikesepuluh., Jakarta: PT Prenhalindo. [8] Englezos, Peter and Kalogerakis, Nicolas. 2001. Applied Parameter Estimation for Chemical Engineers . New York: Marcel Dekker, Inc. [9] Mantegna, Rosario N., and Stanley, H. Eugene. 2004. An introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance . Cambridge: Cambridge UniversityPress. [10] Salvatore, Dominick. 2004, Managerial Economics: EkonomiManajerialdalamperekonomia nglobal . Jakarta: Salemba. [11] Steward, James. 2009. Kalkulus:Calculus. Edisi 5 buku 1 . Jakarta:SalembaTeknika. [12] Trench, William F., 2013. Elementary Differential Equation with Boundary Value Problem . Texas: America Institute of Mathematics. [13] Widowati, Sulistyo, R. Heri, Farikhin. 2012. KALKULUS. Semarang: UPT UNDIP PRESS. [14] Zeithamer, T. 2010. “A Deterministic Differential Equation for the Fall in Market Value of Goods with Acceleration”, EuMotion. Vol.10 Hal. 1-7. [15] Zeithamer, T. 2012.”Economic Phenomena on the View Point of the Mechanics of Materials”, Procedia- Social and Behavioral Science . Vol:55 Hal. 547-553. [16] Zeithamer, T. 2013. “Possible Use of Deterministic Equation of Motion in Commodity Price Theory and for Training Appraisers”, Procedia-Social and Behavioral Sciences . Vol: 106. Hal. 2063-2070. 61 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 MODELDINAMIK SIR PENYEBARAN PENYAKIT LEPTOSPIROSIS Olivia Pangestu 1 , Widowati 2 , Suryoto 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang oliviapangestugmail.com Abstract. Penyakit Leptospirosis merupakan penyakit yang disebabkan oleh virus leptospira dari tikus sebagai vektor yang menularkan pada manusia. Pada tugas akhir ini dikaji model matematika tak linier yang menjelaskan penyebaran penyakit leptospirosis dengan model SIR Sisceptible, Infected, Rocovered untuk populasi manusia dan model SI Susceptible, Infected untuk populasi vektor. Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Dari hasil analisis kestabilan diketahui titik ketimbangan bebas penyakit tidak stabil sedangkan titik kesetimbangan endemik stabil asimtotik lokal. Kemudian dilakukan simulasi numerik menggunakan metode Runge Kutta Orde 4, solusi numerik menunjukkan bahwa perubahan parameter laju kelahiran manusia dan vektor mempengaruhi jumlah manusia yang rentan, manusia yang terinfeksi, dan manusia yang sembuh serta jumlah vektor yang rentan dan vektor yang terinfeksi. Berdasarkan hasil simulasi dapat dilakukan pengendalian penyebaran penyakit leptospirosis dengan mengurangi jumlah populasi vektor. Kata Kunci: Penyakit Leptospirosis, Model Matematika, Analisa Kestabilan

1. Pendahuluan

Leptospirosis adalah penyakit infeksi akut yang dapat menyerang manusia maupun hewan zoonosis [1]. Leptospirosis adalah penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Leptospira yang pathogen. Gejala yang umum dijumpai adalah demam, sakit kepala, mual-mual, nyeri otot, muntah. Kadang- kadang dijumpai konjungtivitis, ikterus, anemia dan gagal ginjal[2]. Penyakit ini bersifat musiman, di daerah beriklim sedang masa puncak insiden dijumpai pada musim panas dan musim gugur karena temperatur adalah faktor yang mempengaruhi kelangsungan hidup leptospira, sedangkan di daerah tropis insidens tertinggi selama musim hujan [3]. Penyakit Leptospirosis ini mendapat perhatian dari berbagai lapisan masyarakat, baik dari ahli di bidang kedokteran yang mempunyai andil besar dalam mencegah perluasan penyakit, begitu juga dari bidang ilmu pengetahuan yang terus berkembang, matematika berperan dalam menganalisis dan memberikan informasi mengenai gambaran penyebaran penyakit. Faktor- faktor yang menyebabkan terjadinya penyakit tersebut dalam kehidupan awalnya dianalisis yang kemudian diubah ke dalam bentuk model matematika yang menjadikan fenomena ini agar lebih tepat dipahami. Model matematika interaksi antara leptospirosis, vektor yang terinveksi dan popualsi manusia yang merupakan model dengan mempertimbangkan interaksi manusia rentan dengan vektor yang terinfeksi dan terkait penyakit dengan tingkat kematian pada manusia dan vektor yang terinfeksi, yang telah dibuat oleh Gul Zaman. dkk. 2012 memahami sifat dasar dari model epidemik, mereka merumuskan secara rinci dan mendefinisikan parameter yang terlibat dalam model [4]. Model penyebaran leptospirosis ini terdapat lima kelas,yaitu Sht adalah jumlah manusia rentan pada waktu t; Iht jumlah manusia dalam populasi yang terinfeksi leptospirosis pada waktu t; Rht adalah jumlah manusia dalam populasi yang pulih pada waktu t.Untuk populasi vektor, misalkan Svt adalah vektor yang rentan pada waktu t; Ivt adalah vektor yang terinfeksi pada waktu t. Dari model yang telah dirumuskan yang kemudian dikaji pola epidemiknya dengan mencari solusi dari model terlebih dahulu, 62 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Olivia Pangestu Model Dinamik SIR Penyebaran Penyakit Leptospirosis kemudian menginterpretasikan hasil kajian ke dalam keadaan sebenarnya.

2. Pemodelan Matematika Penyakit Leptospirosis

Dinamika perpindahan antar kelas penyebaran penyakit leptospirosis yang ada di masyarakat dan terjadi pada populasi manusia dan vektor dapat digambarkan dalam diagram pada Gambar 2.1 sebagai berikut: Gambar 2.1 Konsep diagram interaksi antara populasi manusia dengan populasi vektor Parameter-parameter yang digunakan antara lain, yang menunjukkan laju kelahiran populasi manusia sedangkan menunjukkan laju kelahiran populasi vektor. menyatakan laju penyebaranpenularan langsung antara manusia yang rentan dengan manusia yang terinfeksi, menyatakan laju penyebaranpenularan langsung antara manusia yang rentan dengan vektor tikus yang terinfeksi, menyatakan laju penyebaranpenularan langsung antara vektor tikus yang rentan dengan manusia yang terinfeksi. adalah laju kematian manusia akibat penyakit leptospirosis, adalah laju kematian vektor akibat penyakit leptospirosis. Laju kematian alami manusia dinyatakan dengan , laju kematian alami vektor dinyatakan dengan . Untuk tingkat penyembuhan manusia yang terinfeksi dinyatakan dengan , sedangkan pada vektor tidak terdapat proses penyembuhan pada vektor yang terinfeksi maka menyatakan laju kematian vektor. Sementara ialah laju manusia yang sembuh ketika kembali rentan terinfeksi. 2.1 Proses Perubahan pada Kelas Susceptible Human Sh Jumlah manusia rentan pada waktu t dinotasikan dengan dan jumlah manusia rentan pada waktu adalah . Sehingga laju perubahan manusia yang masuk ke dalam populasi pada waktu adalah . Laju perubahan manusia yang masuk ke dalam kelas rentan akibat penularan langsung dari manusia yang terinfeksi pada waktu adalah . Laju perubahan manusia yang masuk ke dalam kelas rentan akibat penularan langsung dari vektor yang terinfeksi pada waktu adalah . Laju kematian alami individu pada kelas rentan itu sendiri pada waktu adalah . Laju perubahan manusia dari kelas pulih menjadi kelas rentan pada waktu adalah . Maka proses perubahan pada kelas susceptible human atau manusia rentan dalam tiap satuan waktu adalah Didapatkan laju perubahan pada kelas susceptible human sebagai berikut: 2.1 2.2 Proses Perubahan pada Kelas Infected Human Ih Jumlah populasi manusia yang terinfeksi pada waktu t dinotasikan dengan 63 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Olivia Pangestu Model Dinamik SIR Penyebaran Penyakit Leptospirosis dan jumlah manusia rentan pada waktu adalah . Sehingga laju perubahan manusia dari kelas rentan menjadi kelas terinfeksi akibat penularan langsung dari manusia yang terinfeksi pada waktu adalah . Laju perubahan manusia dari kelas rentan menjadi kelas terinfeksi akibat penularan langsung dari vektor yang terinfeksi pada waktu adalah . Laju kematian alami individu pada kelas terinfeksi itu sendiri pada waktu adalah . Laju tingkat kematian terkait manusia yang terinfeksi penyakit pada waktu adalah . Laju tingkat pemulihan manusia terinfeksi itu sendiri pada waktu adalah . Maka proses perubahan pada kelas infected human atau manusia terinfeksi dalam tiap satuan waktu adalah Didapatkan laju perubahan pada kelas infected human sebagai berikut: 2.2 2.3 Proses Perubahan pada Kelas Recovered Human Rh Jumlah populasi manusia yang pulih pada waktu t dinotasikan dengan dan jumlah populasi manusia pada waktu adalah . Sehingga laju perubahan tingkat pemulihan manusia dari kelas terinfeksi menjadi klas pulih pada waktu adalah . Laju kematian alami manusia yang pulih pada waktu adalah . Laju perubahan manusia yang pulih menjadi rentan kembali pada kelas manusia pulih itu sendiri pada waktu adalah . Maka proses perubahan pada klas recovered human atau manusia pulih pada dalam tiap satuan waktu adalah Didapatkan laju perubahan pada kelas recovered human sebagai berikut: 2.3 2.4 Proses Perubahan pada Kelas Susceptible Vektor Iv Jumlah populasi vektor yang rentan pada waktu t dinotasikan dengan dan jumlah populasi vektor yang rentan pada waktu adalah . Sehingga laju pertumbuhan populasi vektor rentan pada waktu adalah . Laju perubahan tingkat kematian vektor yang rentan itu sendiri pada waktu adalah . Laju perubahan vektor yang rentan akibat penularan manusia terinfeksi pada waktu adalah . Maka proses perubahan pada kelas susceptible vector atau vektor rentan dalam tiap satuan waktu adalah sebagai berikut: 64 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Olivia Pangestu Model Dinamik SIR Penyebaran Penyakit Leptospirosis Didapatkan laju perubahan pada klas suspectible vector sebagai berikut: 2.4 2.5 Proses Perubahan pada Kelas Infected Vektor Iv Jumlah populasi vektor yang terinfeksi pada waktu t dinotasikan dengan dan jumlah populasi vektor yang terinfeksi pada waktu adalah . Laju perubahan pembawa penyakit dari klas vektor yang rentan menjadi kelas vekor terinfeksi akibat penularan oleh manusia terinfeksi pada waktu adalah . Laju kematian alami populasi vektor terinfeksi itu sendiri pada waktu adalah . Laju perubahan tingkat kematian vektor pada waktu adalah Laju perubahan tingkat kematian vektor terkait vektor yang terinfeksi penyakit pada waktu adalah . Proses perubahan pada klas invfected vector atau vektor terinfeksi dalam tiap satuan waktu adalah sebagai berikut: Didapatkan laju perubahan pada kelas infected vector sebagai berikut 2.5 Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 dan 2.5 diperoleh sistem persamaan diferensial orde satu yang menjelaskan laju penyebaran penyakit leprospirosis antara populasi manusia dengan populasi vektor, sebagai berikut: 2.6

3. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit dan Endemik