Pesisir merupakan daerah darat yang berada di tepi laut dan masih mendapat
pengaruh laut seperti pasang surut, angin laut, dan perembesan air laut. Sedangkan
daerah pantai merupakan area yang berada di tepi perairan dan dipengaruhi oleh air
pasang tertinggi dan air surut terendah. Wilayah pesisir sangat rentan terhadap
tekanan baik yang berasal dari darat maupun dari laut. Salah satu tekanan yang
sering
mengancam keberlangsungan
wilayah pesisir adalah adanya kenaikan muka air laut. Kenaikan muka air laut yang
terus bertambah
dikhawatirkan akan
mengancam daerah-daerah
pesisir sehingga menimbulkan kerugian baik
dalam finansial maupun ekonomi. Pasang surut adalah fluktuasi muka air laut sebagai
fungsi waktu karena adanya gaya tarik benda-benda langit, terutama matahari dan
bulan. Kedalaman air akibat banjir rob bisa mencapai 20-60 cm dengan luas genangan
diperkirakan mencapai 32,6 km
2
[5]. Hasil penelitian lain menyatakan bahwa
mulai 1991 hingga tahun 1997 muka air laut
rata-rata tahunan
di Semarang
mengalami kenaikan berkisar 1,5 – 6,7 cm, akan tetapi pada tahun berikutnya sampai
tahun 2000
permukaan laut
justru mengalami penurunan sebesar 1,31 – 39,9
cm [1]. Penelitian kerentanan wilayah pesisir sangat diperlukan dalam rangka
mengurangi dampak serta kemungkinan- kemungkinan respon terkait terhadap
perubahan fenomena yang berlangsung. Hal ini mengakibatkan perlu adanya
penelitian mengenai pemodelan pasang surut air laut di Kota Semarang. Metode
statistika sangat berperan penting dalam menganalisa kasus tersebut. Salah satu
metode statistika yang sesuai adalah regresi
nonparametrik dengan
menggunakan pendekatan polinomial lokal kernel. Oleh karena itu, dalam penelitian
ini akan digunakan estimator polinomial lokal kernel untuk mengestimasi kurva
regresi nonparametrik pada data pasang surut air laut di Kota Semarang.
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Regresi nonparametrik
Regresi nonparametrik adalah salah satu metode yang digunakan untuk
mengestimasi pola
hubungan antara
variabel respon dan variabel prediktor, dimana bentuk kurva regresinya tidak
diketahui. Diberikan data
; ,..
2 ,
1 ,
, n
i y
t
i i
= dengan n menyatakan banyaknya subjek.
Variabel
i
y menyatakan variabel respon
pada waktu
i
t . Hubungan antara variabel- variabel
tersebut dinyatakan
dalam persamaan 1.
= + , i= 1,2,3,...,n 1
2.2 Estimator Polinomial Lokal untuk Data Longitudinal
Diberikan data observasi y
i
, t
i
yang memenuhi regresi nonparametrik, dengan
y
i
sebagai variabel respon dan t
i
sebagai variabel prediktor.
Persamaan 1 dapat ditulis dalam bentuk matriks:
= +
2
Dengan = ⋮
= ⋮
, = ⋮ dan
= ⋮
Fungsi mx
i
tidak diketahui bentuk fungsinya yang disebut dengan fungsi
regresi. Misalkan X adalah variabel prediktor dimana fungsi mx
i
akan diestimasi dengan estimator polinomial
lokal. Dengan deret Taylor, mt
i
dapat didekati oleh polinomial berderajat p
sebagai berikut : =
+ − + ⋯ +
− 3
Persamaan 2 dapat ditulis menjadi : =
Dengan
134
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
= ⋯ 0
⋯ 0 ⋱ 0
⋯ ,
= 1
− ⋯
− 1
− ⋯
− ⋮
1 ⋮
− ⋱ ⋮
⋯ −
= ⋮
+
, , = - , , … ,
1 dapat diperoleh dengan cara meminimumkan Weighted Least Square
WLS 2
= −
3
4
5
−
4 Dengan
6
= - , , … ,
= - , … ,
4
5
= 789: 4
5
, 4
5
, … , 4
5+
, ;
= 789: ; − , ;
− , … , ; −
Matriks K
h
adalah matriks yang berisi pembobot,dengan
; ∙ =
;
∙
?. ; • adalah fungsi Kernel, dan h adalah
bandwidth .
Nilai estimasi β yaitu 1 yang bila disubtitusikan kedalam persamaan 4 akan
meminimumkan 2
diperoleh :
1 =
3
4
5 B 3
4
5
5
Dengan demikian m dapat dinyatakan sebagai berikut :
C = 1 C =
3
4
5 B 3
4
5
2.3 Fungsi Kernel
Secara umum fungsi Kernel K dengan bandwidth parameter penghalus
h didefinisikan sebagai berikut: 1
h x
K h
x K
h
= , untuk
∞ ∞
− x
dan h
serta memenuhi sifat : i
≥ x
K , untuk semua
x
ii
∫
∞ ∞
−
= 1 dx
x K
iii
∫
∞ ∞
−
= 0 dx
x xK
iv
∫
∞ ∞
−
=
2 2
σ dx
x K
x maka estimator fungsi densitas Kernel
adalah
∑ ∑
= =
−
= −
=
n i
i n
i i
h
h x
x K
nh x
x K
n x
f
1 1
1 1
Beberapa jenis
fungsi Kernel
adalah [3]: i
Kernel Uniform : 1
2 1
≤ =
x I
x K
ii Kernel Segitiga :
1 1
≤ −
= x
I x
x K
iii Kernel Eparichnikov :
1 1
4 3
2
≤ −
= x
I x
x K
iv Kernel Kuadrat :
1 1
16 15
2 2
≤ −
= x
I x
x K
v Kernel Triweight :
1 1
32 35
3 2
≤ −
= x
I x
x K
vi Kernel Cosinus :
1 2
cos 4
≤
=
x I
x x
K π
π vii
Kernel Gaussian :
−
=
2
2 1
exp 2
1 x
x K
π ,
∞ ∞
− x
dengan I adalah fungsi indikator 2.4 Metode Penelitian
2.4.1
Sumber Data
dan Variabel
Penelitian
Data yang
digunakan dalam
penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari Badan Meteorologi dan
Geofisika Stasiun Meteorologi Maritim Semarang. Data tersebut mengenai rata-
rata tinggi gelombang pasang surut air laut di Kota Semarang yang diamati perbulan
selama tahun 2011-2012. Variabel yang di gunakan dalam penelitian ini diantaranya
variabel respon yaitu tinggi gelombang
135
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
pasang surut air laut di Kota Semarang, sedangkan
variabel prediktor
dalam penelitian ini adalah waktu pengamatan
perbulan 2.4.2 Metode Analisis
Pemodelan pasang surut air laut di Kota Semarang menggunakan pendekatan
regresi nonparametrik polinomial lokal kernel dengan langkah-langkah sebagai
berikut :
a. Diberikan data observasi y
i
, x
i
, yang
memenuhi regresi
nonparametrik. y
i
= mt
i
+e
i
, i= 1,2,3,…,n Kemudian membuat plot data
berpasangan y
i
, t
i
, i = 1,2,..., n b.
Menyatakan y
i
dapat didekati oleh polinomial lokal berderajat p
D +
− +
E
F
BE
G
H
G
+ ⋯ +
E
F
BE
J
H
J
E
c. Menyatakan
C D K L
Dengan X adalah matrik berukuran 1x p+1 dan
C adalah vektor berukuran 1x1
1 =
3
4
5 B 3
4
5
d.
Mendapatkan bentuk matrik Ah
berukuran NxN
dengan cara
menyelesaikan persamaan berikut : C = M
∗
e. Menentukan jenis pembobot dan
fungsi Kernel Gaussian. f.
Memilih orde polinomial p dan nilai bandwidth optimal yang
meminimumkan OPQ =
R
B
∑ - − T R
B
U -V − W g.
Memodelkan orde polinomial lokal p
dan nilai bandwidth optimal dari langkah c secara simultan.
h. Menghitung nilai MSE
XYZ = R
B
[ − T
i. Mendapatkan model pasang surut
air laut di Kota Semarang dengan pendekatan polinomial lokal kernel.
Penerapan pada data dibuat program menggunakan Software R
3. HASIL PENELITIAN
Diberikan data sebanyak n objek,
i i
y t
, , i = 1,2,...,n mengikuti model
regresi nonparametrik yang dinyatakan sebagai berikut :
i i
i
e t
m y
+ =
, dengan
i
t m
adalah fungsi smooth. Fungsi
i
t m
tidak diketahui bentuknya maka didekati menggunakan estimator
polinomial lokal kernel sebagai berikut : D
+ − +
− 2
+ ⋯ + −
]
p p
i i
i i
t t
t t
t t
t m
β β
β β
ˆ ...
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 2
1
− +
+ −
+ −
+ ≈
6 Model pada 6 dapat ditulis menjadi
matrik sebagai berikut:
n i
x t
m
i T
i i
,..., 2
, 1
; ˆ
ˆ =
≈
β
y K
X X
K X
h T
h T
i 1
ˆ
−
=
β 7
dengan notasi matriknya
T p
i i
i i
t t
t t
t t
x ]
,..., ,
, 1
[
2
− −
− =
;
T pi
i i
i i
] ˆ
,.., ˆ
, ˆ
, ˆ
[ ˆ
2 1
β β
β β
β =
,
p r
r t
m
r ri
,..., ,
ˆ ˆ
= =
β
. Berdasarkan persamaan 7 maka model
menjadi sebagai berikut :
y K
X X
K X
x t
m
h T
h T
T i
i 1
ˆ
−
=
Model regresi nonparametrik ini diterapkan pada data pasang surut air laut
di Kota Semarang. Pada penelitian ini bertujuan untuk mengetahui hubungan
antara waktu pengamatan dan tinggi gelombang pasang surut di Semarang.
Sampel yang digunakan dalam penelitian ini adalah tinggi gelombang pasang surut
di Semarang yang diamati sebanyak 24 pengamatan dimulai bulan Januari tahun
2011 sampai Desember 2012. Plot data hubungan
antara waktu
dan tinggi
gelombang ditunjukkan pada Gambar 1.
136
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
Gambar 1. Scatter plot rata-rata tinggi gelombang air laut perbulan selama
tahun 2011-2012 Berdasarkan Gambar 1 memperlihatkan
hubungan antara variabel prediktor waktu terhadap
variabel respon
tinggi gelombang terlihat bahwa pada bulan
pertama sampai
bulan ke-24
mengindikasikan kurva tidak mempunyai pola tertentu dan plot data menunjukkan
adanya perubahan perilaku kurva pada selang waktu tertentu. Oleh karena itu,
hubungan
variabel respon
terhadap variabel
prediktor diestimasi
dengan pendekatan
regresi nonparametrik
polinomial lokal kernel yang menggunakan software
R. 4.9
Langkah pertama
sebelum mengestimasi
model regresi
tersebut adalah menentukan bandwidth optimal dan
orde polinomial, yaitu bandwidth dan orde polinomial yang memiliki nilai GCV
minimum. Kemudian
jenis fungsi
pembobot yang digunakan dalam estimasi model adalah Kernel Gaussian. Berikut ini
disajikan pada tiap-tiap orde polinomial diperoleh
bandwidth saat
GCVh minimum yang ditunjukkan pada Tabel 1
sebagai berikut: Tabel 1. Nilai GCVh Minimum untuk
masing-masing Orde Polinomial p Orde
Polinomial p
Bandwidth Min GCV
p
5 69,9
54,53821 6
60,8 54,53312
7 69,3
55,28151
8 69,1
41,75100
Berdasarkan Tabel 1 dapat dilihat bahwa nilai minimum dari GCV minimum
tiap-tiap orde polinomial Min GCV
p
adalah 41,75100 saat bandwidth optimal sebesar 69,1 dan orde polinomial p=8.
Kemudian bandwidth optimal dan orde polinomial tersebut digunakan untuk
estimasi
fungsi penghalus
t m
. Berdasarkan estimasi
fungsi tersebut diperoleh MSE sebesar 22.95449 dan
koefisien parameter yang dihasilkan adalah sebagi berikut:
Tabel 2. Hasil estimasi parameter Parameter
Koefisien parameter ˆ
β
65,29861
1
ˆ β
0,00826
2
ˆ β
-2,71321
3
ˆ
β
1,57395
4
ˆ β
-0,36958
5
ˆ
β
0,04244
6
ˆ
β
-0,00252
7
ˆ
β
7,422863x10
-5
8
ˆ
β
-8,588802x10
-7
Jadi hasil
estimasi model
regresi nonparametrik
dengan pendekatan
polinomial lokal kernel adalah sebagai berikut :
8 7
7 5
6 5
4 3
2
1 10
59 ,
8 1
10 42
, 7
1 0025
, 1
042 ,
1 369
, 1
574 ,
1 1
713 ,
2 1
0083 ,
65,299 ˆ
− −
− +
− −
− +
− −
− +
− −
− +
≈
− −
i i
i i
i i
i i
i
t x
t x
t t
t t
t t
t m
Plot hasil estimasi pada data tinggi gelombang
pasang surut
air laut
menggunakan bandwidth optimal dan orde polinomial dapat dilihat pada Gambar 2
sebagai berikut
137
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
Gambar 2. Plot estimasi rata-rata tinggi gelombang pasang surut air laut
Berdasarkan Gambar 2 dapat diketahui dinamika
perubahan rata-rata
tinggi gelombang pasang surut air laut di Kota
Semarang selama pengamatan yaitu pada pengamatan
pertama Januari
2011 sampai
dengan pengamatan
ke-24 Desember 2012. Estimasi rata-rata tinggi
gelombang air laut mengalami lembah gelombang pada saat pengamatan ke-
delapan Agustus 2011 sampai dengan pengamatan kedua belas Desember 2011,
sehingga pada saat tersebut terjadi kondisi pasang rendah. Sedangkan kondisi pasang
tinggi terjadi pada saat pengamatan ke- empat belas Februari 2012 sampai
dengan pengamatan ke-delapan belas Juni 2012 karena pada saat tersebut estimasi
tinggi gelombang pasang surut air laut mengalami puncak gelombang. Kondisi
pasang rendah juga terjadi pada saat pengamatan ke-sembilan belas Juli 2012
sampai
dengan ke-dua
puluh tiga
November 2012. 4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian, maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Estimasi
model regresi
nonparametrik adalah
sebagai berikut :
= + dengan
C = 1 1 =
3
4
5 B 3
4
Dari hasil penerapan model regresi nonparametrik
dengan menggunakan estimator polinomial
lokal kernel pada data pasang surut air
laut di
Kota Semarang,
diperoleh nilai bandwidth optimal sebesar
69,1 dengan
orde polinomial p=8, MSE sebesar
22,94. Hasil estimasi model regresi nonparametrik dengan pendekatan
polinomial lokal kernel adalah sebagai berikut :
8 7
7 5
6 5
4 3
2
1 10
59 ,
8 1
10 42
, 7
1 0025
, 1
042 ,
1 369
, 1
574 ,
1 1
713 ,
2 1
0083 ,
65,299 ˆ
− −
− +
− −
− +
− −
− +
− −
− +
≈
− −
i i
i i
i i
i i
i
t x
t x
t t
t t
t t
t m
2. Berdasarkan
estimasi model
diperoleh dugaan rata-rata tinggi gelombang pasang surut air laut di
Kota Semarang mengalami kondisi pasang tinggi pada saat bulan
Agustus 2011 sampai dengan Desember 2011, dan berulang
kembali pada tahun 2012 yaitu bulan Juli hingga November.
Sedangkan kondisi pasang tinggi terjadi pada saat bulan Februari
2012 sampai dengan Juni 2012.
5. DAFTAR PUSTAKA [1]
