[b
ij
] masing-masing merupakan matriks fuzzy persegi yang berordo n, maka
operasi penjumlahan dan pergandaannya didefinisikan berturut-turut sebagai
A + B = [a
ij
+ b
ij
] = [maks{a
ij
, b
ij
}] dan
AB = [ ∑
] = [
maks {min{a
ik
, b
kj
}} ] untuk i, j = 1, 2, …, n.
Contoh 3. Misalkan diketahui matriks
fuzzy persegi A = 0,1 0,2
0,8 1 dan B =
0,3 0,4 0 0,5
, maka hasil penjumlahan dari A dan B adalah
A + B = maks{0,1 , 0,3} maks{0,2 , 0,4}
maks{0,8 , 0} maks{1 , 0,5}
= 0,3 0,4
0,8 1 dan hasil pergandaan dari A dan B adalah
AB = 0,1 0,2
0,3 0,5 .
3. SEMIRING MATRIKS FUZZY PERSEGI
Bagian ini merupakan bagian utama dari makalah ini yang menjelaskan
pembuktian dari himpunan semua matriks fuzzy merupakan suatu semiring.
Lemma 4 Misalkan M adalah himpunan semua matriks fuzzy persegi, maka M
terhadap operasi penjumlahan merupakan monoid
Bukti: Misalkan ambil sembarang matriks fuzzy
persegi A = [a
ij
], B = [b
ij
] dan C = [c
ij
] yang berordo n. Perhatikan bahwa
i. Hasil penjumlahan dari A dan B
yakni A + B = [a
ij
+ b
ij
] = [maks{a
ij
, b
ij
}] juga merupakan matriks fuzzy persegi. Dengan demikian operasi
penjumlahannya bersifat
tertutup pada himpunan M
ii. Operasi
penjumlahan bersifat
assosiatif pada
M. Hal
ini dikarenakan
A+B+C = [a
ij
+ b
ij
] + [c
ij
] = [a
ij
+ b
ij
+ c
ij
] = [a
ij
+ b
ij
+ c
ij
] = [a
ij
] + [b
ij
+ c
ij
] = A + B+C
iii. Matriks 0 = [0
ij
] dimana 0
ij
= 0 untuk setiap i dan j, merupakan
identitas terhadap
operasi penjumlahan pada M
Berdasarkan uraian i, ii, dan iii diperoleh M adalah monoid terhadap
operasi penjumlahan.■
Lemma 5 Misalkan M adalah himpunan semua matriks fuzzy persegi, maka operasi
penjumlahan pada monoid M bersifat komutatif
Bukti: Dari uraian Lemma 4 sudah dibuktikan
bahwa M merupakan suatu monoid. Misalkan ambil sembarang matriks fuzzy
persegi A = [a
ij
] dan B = [b
ij
] maka berlaku A + B = [a
ij
+ b
ij
] = [b
ij
+ a
ij
] = B + A. Dengan demikian operasi penjumlahan
bersifat komutatif pada M, sehingga M merupakanmonoidkomutatif. ■
Lemma 6 Misalkan M adalah himpunan semua matriks fuzzy persegi, maka M
terhadap operasi pergandaan merupakan monoid
Bukti: Misalkan ambil sembarang matriks fuzzy
persegi A = [a
ij
], B = [b
ij
] dan C = [c
ij
] yang berordo n. Perhatikan bahwa
1. Hasil pergandaan dari A dan B
yakni AB = [
∑ ]
= [ maks {min{a
ik
, b
kj
}} ] Juga merupakan matriks fuzzy
persegi. Dengan
demikian operasi pergandaannya bersifat
tertutup pada himpunan M 2.
Operasi pergandaan bersifat assosiatif pada M. Hal ini
dikarenakan ABC
= [ ∑
] [c
ij
] = [
∑ ∑
c
tj
] = [
∑ ∑
] = [a
ij
] [ ∑
] = ABC
2
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
3. Matriks I = [a
ij
] dimana a
ij
= 1 untuk i = j, dan a
ij
= 0 untuk setiap i ≠ j, merupakan elemen
identitas terhadap
operasi pergandaan pada M
Berdasarkan uraian 1, 2, dan 3 diperoleh bahwa M merupakan suatu
monoid terhadap operasi pergandaan.
Lemma 7 Misalkan M adalah himpunan semua matriks fuzzy persegi, maka berlaku
sifat distributive operasi pergandaan terhadap operasi penjumlahan pada M.
Lemma 8 Elemen identitas penjumlahan pada M merupakan elemen penyerap
terhadap operasi pergandaan Bukti:
Perhatikan
bahwa elemen
identitas terhadap operasi penjumlahan pada M
adalah matriks 0 = [0
ij
] dimana 0
ij
= 0 untuk setiap i dan j. Untuk setiap matriks
fuzzy persegi A = [a
ij
] berlaku A0 = [
∑ 0 ]
= [ maks {min{ , 0}} ]
= [ ] = A,
dan 0A = [
∑ ]
= [ maks {min{0, }} ]
= [ ] = A
Dengan demikian matriks 0 merupakan elemen
penyerap terhadap
operasi pergandaan pada M. ■
Teorema berikut merupakan hasil utama pada makalah ini.
Teorema 9 Misalkan M adalah himpunan semua matriks fuzzy persegi, maka M
merupakan semiring terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan
Bukti: Perhatikan bahwa
Menurut Lemma 4 sudah diuraikan bahwa M merupakan monoid terhadap operasi
penjumlahan, menurut Lemma 5 dijelaskan bahwa M merupakan monoid komutatif
terhadap operasi penjumlahan, Lemma 6 menjelaskan bahwa M merupakan monoid
terhadap operasi pergandaan, sementara Lemma 7 menguraikan bahwa berlaku sifat
distributive pergandaan terhadap operasi penjumlahan pada M, dan menurut Lemma
8 sudah diuraikan juga bahwa elemen identitas penjumlahan merupakan elemen
penyerap terhadap operasi pergandaan pada M. Dari uraian-uraian tersebut dapat
disimpulkan bahwa M merupakan suatu semiring terhadap operasi penjumlahan
dan pergandaan. ■ Untuk selanjutnya, semiring pada Teorema
9 ini cukup dinamakan sebagai semiring matriks fuzzy persegi.
4. KESIMPULAN
