PENDAHULUAN Prosiding SNMPM UNDIP 2015

APLIKASI METODE DEKOMPOSISI LU DI BIDANG GEOTHERMAL Widowati 1 , Ririn Sulpiani 2 1,2 Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Prof Soedharto SH Tembalang Semarang UniversitasDiponegoro wiwied.mathundipgmail.com 1 , ririn sulpianigmail.com 2 Abstrak. Permasalahan nyata dibidang sains dan teknologi dapat direpresentasikan dalam persamaan matematika begitu pula dibidang geothermal. Pada kawasan manifestasi panas bumi Gedong songo, Gunung Ungaran, Semarang, telah dilakukan penelitian mengenai perubahan suhu dan aliran fluida dengan metode pengukuran suhu permukaan dangkal, ketinggian, dan spontaneous-potential. Kemudian dari data tersebut dikaji hubungan antara suhu dan ketinggian dengan spontaneous-potential dalam bentuk persamaan regresi linear ganda dengan n parameter. Dalam rangka menentukan nilai parameter dari persamaan regresi dapat digunakan metode dekomposisi LULower-Upper. Pada metode ini, sistem persamaan linear ditulis kedalam bentuk matriks dengan matriks koefisien berukuran nxn dapat difaktorkan atau didekomposisikan menjadi matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas. Selanjutnya nilai parameter dapat dicari dengan substitusi maju dan mundur. Dari sini diperoleh hubungan positif antara perubahan suhu terhadap spontaneous- potential . Nilai parameter mengindikasikan bahwa semakin tinggi nilai suhu semakin tinggi pula nilai spontaneous-potential. Hal ini menunjukkan bahwa kawasan geothermal Gedongsongo, Gunung Ungaran, Semarang merupakan daerah permeable tinggi dan pada daerah tersebut terdapat fumarol. Kata Kunci : dekomposisi LU, suhu, spontaneous-potential, model regresi, geothermal

1. PENDAHULUAN

Pada saat ini bahan bakar minyak dan bahan bakar gas semakin langka, hal ini dikarenakan pemakaian energi tersebut yang semakin meningkat dan belum diimbangi dengan ketersediaan sumber energi tersebut. Hal ini akan terus terjadi karena bahan bakar-bahan bakar tersebut sifatnya yang tidak terbarukan. Oleh karena itu diperlukan sumber energi alternatif yang masih cukup menjanjikan kemanfaatannya untuk mengatasi kelangkaan dan semakin mahalnya bahan bakar minyak bumi dan gas. Salah satu sumber energi alternatif adalah energi yang berasal dari geothermal panasbumi[1]. Di Kawasan Gedongsongo, Kecamatan Sumowono, Kabupaten Semarang, Jawa Tengah yang terletak ± 1370 m di atas permukaan laut terdapat manifestasi panas bumi ditandai dengan sumber air panas dan fumarol [2]. Adanya manifestasi ini membuat peneliti tertarik untuk mengkaji lebih lanjut ditinjau dari bidang ilmu matematika. Penelitian telah dilakukan guna mengeksplorasi potensi panas bumi yang ada dengan metode spontaneous- potential SP [3,4,5]. Di daerah manifestasi panas bumi Gedongsongo terdapat aliran fluida yang muncul ke permukaan sebagai manifestasi panas bumi seperti fumarol, air panas dan daerah alterasi [2]. Selanjutnya, tentang pemodelan matematika sistem panas bumi dengan pemodelan komputasi berdasarkan data geofisika [6,7]. Dalam Paper ini hubungan suhu dan ketinggian terhadap spontaneous-potensial akan dikemukakan secara matematis dengan data yang diperoleh dari penelitian 29 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 di kawasan manifestasi geothermal di daerah Gedongsongo melalui model regresi berganda, dan akan dijelaskan bagaimana cara menentukan parameter- parameter pada persamaan model regresi berganda. Dalam penentuan parameter- parameter persamaan regresi digunakan metode kuadrat terkecil yang menghasilkan sistem persamaan linear SPL. Selanjutnya, akan dikaji bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linear. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier ini digunakan metode dekomposisi LU. 2. METODE DEKOMPOSISI LU Dalam rangka merepresentasikan hubungan antara suhudan ketinggiandengan spontaneous-potential, digunakan model matematika dalam bentuk persamaan regresi linear ganda. Secara umum dalam regresi linear ganda hubungan antara variabel bebas X k dan variable tak bebas Y dituliskan dalam bentuk sebagai berikut, misalkan dari sampel penelitian diperoleh data {Y i , X 1i , X 2i , …, X ki } untuk i=1,..., n, maka penaksir model regresi linear gandanya adalah = + + + ⋯ + dengan , , ..., adalah parameter. Kemudian dengan metode kuadrat terkecil diperoleh sistem persamaan linear seperti di bawah ini n + ∑ + ∑ + ⋯ + ∑ = ∑ ∑ + ∑ + ∑ + ⋯ + ∑ = ∑ , ⋮ ∑ + ∑ + ∑ + ⋯ + ∑ = ∑ 1 Dalam rangka penyederhanaan penulisan dan tanpa mengurangi keumuman sistem persamaan linier1 dituliskan dalam bentuk persamaan matriks [8], = dimana, = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ , = ⋮ , = ⋮ 2 Dalam hal ini, adalah matriks koefisien non singular, adalah vektor dengan komponen variabel { , , … , } , dan Q adalah vektor dengan komponen variabel { , , … , }. Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan beberapa metode dekomposisi LU. Matriks berukuran nxn dapat didekomposisikan menjadi matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U [9], yaitu = Pendekomposisiannyasebagaiberikut. ⋯ ⋯ .. .. .. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ .. = 1 0 ⋯ 0 , 1 0 ⋯ 0 , .. , , .. , 1 .. , ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∙∙ 1 . . . ⋯ . 0 . . ⋯ . ∙∙ ∙∙ . ∙∙ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ . ∙∙ . 3 Matriks diagonal bawah semua diagonal utamanya adalah 1, sedangkan matriks tidak ada aturan tertentu pada diagonal utamanya dapat dilihat seperti pada persamaan 3 diatas. Berdasarkan persamaan 3 sistem persamaan lineardapat dituliskan kembali menjadi = = Definisikan = , sehingga = Kemudian, tentukan nilai , , … , dengan menggunakan teknik substitusi mundur backward substitution sebagai berikut. 30 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 = . . . ⋯ . 0 . . ⋯ . ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ . ⋮ = ⋮ 4 Selanjutnya, dengan menggunakan teknik substitusi maju forward substitusion diperoleh , , … , seperti di bawah ini. = 1 0 ⋯ 0 , 1 0 ⋯ 0 ⋮ , ⋮ , ⋮ , ⋮ ⋯ ⋮ 1 ⋮ = ⋮ 5

3. ALGORITMA METODE