Anindita Henindya P. Model Dinamik Dengan Kontrol Pada Populasi Penderita Diabetes Melitus
glukosa dalam mengendalikan banyaknya penderita diabetes dengan komplikasi dan
tanpa komplikasi. 2. Model Dinamik dengan Kontrol pada
Populasi Penderita Diabetes Melitus
Model dinamik dengan kontrol pada populasi penderita diabetes melitus
dapat dikonstruksi dengan memperhatikan skema perpindahan antar kelas sebagai
berikut:
Gambar 1. Skema perpindahan antar kelas pada model dinamik dengan kontrol pada
populasi penderita diabetes mellitus dari Gambar 1, modelnya adalah
1
dengan = banyaknya individu pra diabetes
.
= banyaknya individu yang menderita diabetes tanpa komplikasi.
= banyaknya individu yang menderita diabetes dengan komplikasi.
= banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit diabetes dengan komplikasi.
= kasus baru diabetes mellitus.
= laju kematian alami = laju komplikasi yang disembuhkan
= laju penderita diabetes dengan komplikasi menjadi cacat
= laju kematian akibat komplikasi
= peluang berkembangnya individu pra diabetes
menjadi individu
penderita diabetes tanpa komplikasi.
= peluang berkembangnya individu penderita
diabetes tanpa
komplikasi menjadi
individu penderita
diabetes dengan komplikasi.
= peluang berkembangnya individu pra diabetes
menjadi individu
penderita diabetes dengan komplikasi.
= peluang individu sembuh menjadi individu pra diabetes.
= kontrol pengobatan. = kontrol terapi diet glukosa.
Asumsi-asumsi yang digunakan adalah
1. Penderita diabetes melitus dengan
komplikasi dapat sembuh. 2.
Penderita diabetes melitus yang sembuh dapat menjadi individu pra diabetes.
3. Kematian pada penderita pra-diabetes
dan diabetes tanpa komplikasi hanya berupa kematian alami.
4. Kematian pada penderita diabetes
dengan komplikasi berupa kematian alami dan kematian akibat komplikasi.
5. Laju kematian alami sama di setiap
kelas. 6.
Peluang perkembangan individu dari satu
tahap ke
tahap lain
tidak bergantung umur, jenis kelamin, dan
status sosial. 7.
Populasi penduduk bersifat tertutup dalam pengertian bahwa terjadinya
pertambahan atau pengurangan jumlah penduduk melalui emigrasi dan imigrasi
diabaikan.
3. Analisis Kontrol Optimal 3.1
Fungsional Objektif
Performance Index
Tujuan dari permasalahan optimasi kontrol optimal yang akan dibentuk adalah
menimalkan banyaknya penderita diabetes tanpa komplikasi dan dengan komplikasi
untuk meningkatkan banyaknya individu sembuh.
Fungsional objektifnya
dirumuskan sebagai berikut:
∫
70
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
Anindita Henindya P. Model Dinamik Dengan Kontrol Pada Populasi Penderita Diabetes Melitus
dengan sistem persamaan 1 sebagai kendala, sedangkan
dan adalah
konstanta bobot yang bersesuaian dengan penderita diabetes tanpa komplikasi dan
dengan komplikasi. Konstanta dan
adalah bobot sebagai faktor penyeimbang dari
dan ,
adalah waktu awal, adalah waktu akhir. Kemudian dicari
sehingga berlaku 3
dengan {
[ ]}.
3.2
Penyelesaian Kontrol Optimal
Langkah awal untuk menentukan kontrol optimal
adalah membentuk
fungsi Hamiltonian. Dalam persoalan ini kasus
tetap dan bebas adalah syarat
dari kondisi transversal dengan kontrol terbatas
dapat dibentuk
fungsi Hamiltoniannya sebagai berikut.
4 dengan
5 sama dengan ruas kanan dari
sistem 1, adalah variabel
costate
variabel keadaan bantu. Persamaan
costate
dan kondisi stasioner diperoleh dengan menggunakan
prinsip minimum Pontryagin sebagai berikut.
a. Persamaan
Costate
6 7
8
9
b. Kondisi Stationer
[ ]
10 [
] 11
Karena , sehingga berdasarkan
teori kontrol optimal dengan variabel kontrol terbatas [3] diperoleh
{ [
] [
] [
] 12
atau dapat ditulis sebagai
[ ]
Demikian pula
karena ,
sehingga diperoleh
13
atau dapat ditulis sebagai
[ ]
4. Simulasi Numerik
Persamaan 1 diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode
Runge Kutta orde 4 dan didiskritisasi menggunakan pendekatan beda maju pada
persamaan
state
1 serta pendekatan beda mundur pada persamaan
costate
6-9. Simulasi mengunakan data dari RS Kariadi
periode bulan Januari-Desember tahun 2014 dengan nilai parameter-parameter
seperti berikut:
Parameter Nilai Parameter Nila
i 274
0,69 0,014
0,57 0,347
0,74 0,5
0,013
Tabel 1. Nilai parameter untuk simulasi
numerik
71
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
Anindita Henindya P. Model Dinamik Dengan Kontrol Pada Populasi Penderita Diabetes Melitus
dan orang,
orang, orang,
serta dan
. Nilai
, ,
dan diberikan syarat
yaitu dan
, ,
, . Dipilih
.
Gambar 2. Grafik simulasi pada kelas pra diabetes
Gambar 3. Grafik simulasi pada kelas diabetes tanpa komplikasi
Gambar 4. Grafik simulasi pada kelas diabetes dengan komplikasi
Gambar 5. Grafik simulasi pada kelas sembuh
recovered
Gambar 6. Grafik simulasi untuk kontrol
Gambar 7. Grafik simulasi untuk kontrol Pada Gambar 6. terlihat bahwa
banyaknya kontrol pengobatan pada
awal waktu sampai akhir waktu
bulan bernilai yang artinya pemberian pengobatan tidak bekerja secara
efektif untuk mengendalikan banyaknya
72
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
Anindita Henindya P. Model Dinamik Dengan Kontrol Pada Populasi Penderita Diabetes Melitus
penderita diabetes tanpa komplikasi dan dengan komplikasi. Pada Gambar 7.
banyaknya kontrol terapi diet glukosa
pada awal waktu sampai mendekati
bulan adalah maksimum sebesar 1, kemudian tepat pada akhir waktu
bulan pemberian kontrol mencapai nilai 0. Artinya pemberian kontrol terapi diet
glukosa bekerja secara efektif untuk mereduksi banyaknya penderita diabetes
tanpa komplikasi dan dengan komplikasi serta
mengakibatkan bertambahnya
individu yang sembuh. Dampak pemberian kontrol untuk tiap kelas dapat dilihat lebih
jelas pada Gambar 2-Gambar 5. 5. Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan, hasil kontrol yang optimal pada model dinamik
dengan kontrol pada populasi penderita diabetes melitus adalah
[ ]
[ ]
Simulasi numerik memperlihatkan bahwa pada saat bobot yang bersesuaian
dengan penderita
diabetes tanpa
komplikasi, bobot
yang bersesuaian
dengan penderita
diabetes dengan
komplikasi, bobot
penyeimbang dari
kontrol pengobatan
serta bobot
penyeimbang dari kontrol terapi diet glukosa semuanya bernilai sama maka
pengontrolan yang
diterapkan dapat
mereduksi banyaknya penderita diabetes tanpa komplikasi dan dengan komplikasi
serta mengakibatkan banyaknya individu sembuh bertambah. Oleh karena itu,
strategi penggunaan kontrol adalah dengan memberikan kontrol yang sesuai sehingga
hasil yang didapat optimal yaitu mampu mereduksi banyaknya jumlah penderita
diabetes tanpa dan dengan komplikasi. 6. Daftar Pustaka
[1] Endang Lanywati. 2001.
Diabetes Melitus Penyakit Kencing Manis
. Yogyakarta: Kanisius.
[2] Boutayeb, A., Boutayeb, W. and Lamlili, M. 2014. Optimal Control
Approach to the Dynamics of a Population
of Diabetics.
International Journal of Applied Mathematical Sciences
856: 2773 –
2782. [3] Kamien, M. I. And Schwartz, N. L.
1991.
Dynamic Optimization
. e.guigon.free.frrscbookKamienSch
wartz91.pdf . Diakses pada 3 Februari
2015.
73
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
74
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9
FUNGSI POTENSIAL LISTRIK PADA PERMUKAAN BUMI DENGAN BEBERAPA LAPISAN
Aini Suri Talita
1
, Sri Mardiyati
2 1
Fakultas Ilmu Komputer dan Teknologi Industri, Universitas Gunadarma, ainisuristaff.gunadarma.ac.id
2
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia, sri_mathsci.ui.ac.id
Abstrak. Metode resistivitas listrik merupakan salah satu metode eksplorasi yang dapat digunakan untuk menyelidiki kondisi material di bawah permukaan medium berlapis, termasuk di bawah
permukaan bumi, dengan cara mengalirkan arus listrik buatan. Arus listrik dialirkan pada permukaan bumi dengan menggunakan elektroda listrik. Sedangkan potensial listrik diukur dengan menggunakan
alat voltmeter pada elektroda potensial. Fungsi potensial listrik perlu diketahui secara eksplisit untuk mendapatkan nilai teoritis dari potensial listrik sebagai data pembanding dari data sebenarnya. Fungsi
potensial listrik tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan sifat-sifat vektoris potensial listrik dan konsep persamaan differensial parsial dan syarat batas. Pada makalah ini diturunkan fungsi dari
potensial listrik pada permukaan bumi dengan beberapa lapisan dengan memanfaatkan sifat vektoris potensial listrik serta konsep persamaan differensial dan syarat batas.
Keywords: Fungsi potensial listrik, resistivitas listrik, arus listrik, persamaan differensial parsial, beda potensial listrik
Abstract. Electrical resistivity method is one of the exploration methods that can be used to investigate the condition of the material below the surface of layered medium, including below the surface of the
earth, by injecting electric current into the surfaces. Electric current is applied to the surface of the earth by using electric electrode, while the electric potential is measured by using a voltmeter on the
electrode potential. Electric potential function should be explicitly defined in order to obtain the theoretical value of the electric potential as comparative data. The electric potential function can be
derived by using the vector properties of electric potential and the concept of partial differential equations and boundary conditions. This paper derived the electric potential function on the surface of
the Earth with multiple layers by utilizing the vector properties of electric potential and the concept of differential equations and boundary conditions.
Keywords: Electric potential function, electrical resistivity, electric current, partial differential equation, electric potential difference
1. Pendahuluan
