Model Prosiding SNMPM UNDIP 2015

2. Model

Matematika dan AnalisisKestabilan 2.1 Model Penghilangan Polutan Anorganik dengan Jamur Dalam proses pemodelan, kita menganggap bahwa populasi jamur digunakan untuk menghilangkan polutan anorganik berasal dari badan air. Misalkan adalah konsentrasi polutan anorganik yang ada didalam badan air dengan tingkat . Misalkan adalah konsentrasi polutan anorganik yang berkurang karena adanya jamur. adalah kepadatan biomassa populasi jamur yang digunakan untuk menghilangkan polutan anorganik yang disertakan dengan tingkat . Diasumsikan bahwa adalah konsentrasi nutrisi yang disediakan dengan tingkat .C adalah konsentrasi oksigen terlarut yang dipasok dengan tingkat .Selanjutnya, diasumsikan bahwa tingkat kepadatan biomassa populasi jamur yang dapat menyerap polutan diberikan oleh Michaelis-Menten, + . Selanjutnya, adalah tingkat konsentrasi dari racun yang merusak kepadatan biomassa populasi jamur. Ditemukan bahwa populasi jamur yang telah mati masih memiliki kemampuan untuk menyerap ion logam. Oleh karena itu, diasumsikan dalam proses pemodelan bahwa populasi jamur yang mati masih akan terus menyerap racun. menunjukkan tingkat interaksi antara populasi jamur dan konsentrasi nutrisi untuk pertumbuhan populasi jamur. Selanjutnya, diperoleh model matematika penghilangan polutan anorganik dengan menggunakan jamur [1] yang berbentuk sistem dinamik seperti dibawah ini. = −∝ − − + , = + − , = − − + − , = − − , = − − − . 2.1 dengan 0 = 0, 0 0, 0 = 0, 0 0, 0 0 2.2 Analisis Kestabilan Dengan menyelesaikan persamaan 2.1 diperoleh 1 titik kesetimbangan ∗ ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ yang mengikuti : ∗ = ∗ ∗ ∗ , ∗ = + ∗ , ∗ = , − ∗ ∗ − ∗ ∗ + ∗ - , ∗ ∗ + ∗ + ∗ . Untuk mencari kestabilannya akan digunakan teorema berikut : Teorema 2.1[1] Titikkeseimbangan ∗ adalah stabil lokal. Bukti : Untukmembuktikanteoremaini, kitamempertimbangkanmatriks Jacobianyang sesuaidenganmodel2.1 disekitar ∗ . ∗ − 0 = 1 2 2 2 3 −4 − −4 5 5 4 − − − 6 −7 −7 − − 5 − 4 − ∗ − ∗ − 8 9 9 9 : Dari matriksJacobian diatas, nilaieigendiberikanolehpersamaanberikut : + ; + 6 + + 6 + = = 0 2.2 Dengan menggunakan teoremaRouth- Hurtwizke2.2, semuanilaieigennegatifdenganketentuanseb agaiberikut : , 6 , 6 − 6 − Dapat dilihat bahwa kondisi diatas terpenuhi, sehingga ∗ stabil asimtotik lokal.

3. Simulasi Numerik