Simulasi Numerik Prosiding SNMPM UNDIP 2015

2. Model

Matematika dan AnalisisKestabilan 2.1 Model Penghilangan Polutan Anorganik dengan Jamur Dalam proses pemodelan, kita menganggap bahwa populasi jamur digunakan untuk menghilangkan polutan anorganik berasal dari badan air. Misalkan adalah konsentrasi polutan anorganik yang ada didalam badan air dengan tingkat . Misalkan adalah konsentrasi polutan anorganik yang berkurang karena adanya jamur. adalah kepadatan biomassa populasi jamur yang digunakan untuk menghilangkan polutan anorganik yang disertakan dengan tingkat . Diasumsikan bahwa adalah konsentrasi nutrisi yang disediakan dengan tingkat .C adalah konsentrasi oksigen terlarut yang dipasok dengan tingkat .Selanjutnya, diasumsikan bahwa tingkat kepadatan biomassa populasi jamur yang dapat menyerap polutan diberikan oleh Michaelis-Menten, + . Selanjutnya, adalah tingkat konsentrasi dari racun yang merusak kepadatan biomassa populasi jamur. Ditemukan bahwa populasi jamur yang telah mati masih memiliki kemampuan untuk menyerap ion logam. Oleh karena itu, diasumsikan dalam proses pemodelan bahwa populasi jamur yang mati masih akan terus menyerap racun. menunjukkan tingkat interaksi antara populasi jamur dan konsentrasi nutrisi untuk pertumbuhan populasi jamur. Selanjutnya, diperoleh model matematika penghilangan polutan anorganik dengan menggunakan jamur [1] yang berbentuk sistem dinamik seperti dibawah ini. = −∝ − − + , = + − , = − − + − , = − − , = − − − . 2.1 dengan 0 = 0, 0 0, 0 = 0, 0 0, 0 0 2.2 Analisis Kestabilan Dengan menyelesaikan persamaan 2.1 diperoleh 1 titik kesetimbangan ∗ ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ yang mengikuti : ∗ = ∗ ∗ ∗ , ∗ = + ∗ , ∗ = , − ∗ ∗ − ∗ ∗ + ∗ - , ∗ ∗ + ∗ + ∗ . Untuk mencari kestabilannya akan digunakan teorema berikut : Teorema 2.1[1] Titikkeseimbangan ∗ adalah stabil lokal. Bukti : Untukmembuktikanteoremaini, kitamempertimbangkanmatriks Jacobianyang sesuaidenganmodel2.1 disekitar ∗ . ∗ − 0 = 1 2 2 2 3 −4 − −4 5 5 4 − − − 6 −7 −7 − − 5 − 4 − ∗ − ∗ − 8 9 9 9 : Dari matriksJacobian diatas, nilaieigendiberikanolehpersamaanberikut : + ; + 6 + + 6 + = = 0 2.2 Dengan menggunakan teoremaRouth- Hurtwizke2.2, semuanilaieigennegatifdenganketentuanseb agaiberikut : , 6 , 6 − 6 − Dapat dilihat bahwa kondisi diatas terpenuhi, sehingga ∗ stabil asimtotik lokal.

3. Simulasi Numerik

105 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Dalam rangkamemverifikasikelayakandarihasilana lisiskami mengenaikeberadaan ∗ dankondisistabilita syang sesuai, selanjutnyadilakukanbeberapaperhitungan model secaranumerikdenganmemilihnilai parameter berikut. Untuk simulasi ini, diambilnilaiparameter darihasil penelitian [2,5,7]. Tabel 2.1 nilai Parameter Parameter Nilai Parameter 500 A. B 0.5 B C 1 A B 1 1 A 50 A B 1 B C 0.01 B C 4000 A 100 A 0.005 A B 50 A 0.5 B C 20 A B 0.1 B C 0.01 A B 0.25 0.1 Nilaiawal yang digunakanuntuksimulasiadalah 0 = 4000, 0 = 0, 0 = 100, 0 = 200, 0 = 1000.Dari nilai parameter diatas, diperolehtitik kesetimbangan ∗ dengan nilai ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ sebagaiberikut : ∗ = 990 A , ∗ = 300 A , ∗ = 7 A , ∗ = 92 A , ∗ = 185 A . Grafik solusi dari sistem dinamik non linear 2.1 yang menyatakan perubahan konsentrasi polutan anorganik, tingkat konsentrasi poltan yang terserap oleh jamur, biomassa jamur, tingkat konsumsi nutrisi dan konsentrasi oksigen terlarut terhadap waktu diberikan pada gambar berikut : Gambar 3.1Perubahan konsentrasi polutan terhadap waktu Gambar 3.2 Perubahan konsentrasi polutan yang diserap jamur terhadap waktu Gambar 3.3 Perubahan biomassa jamur terhadap waktu 106 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Gambar 3.4 Perubahan konsentrasi nutrisi terhadap waktu Gambar 3.5 Perubahan konsentrasi oksigen terlarut terhadap waktu Dari Gambar 3.1 terlihat konsentrasi polutan semakin lama semakin meningkat, kemudian berhenti bertambah pada saat t=10. Dari Gambar 3.2 dapat dilihat bahwa tingkat konsentrasi yang terserap oleh jamur semakin lama semakin bertambah. Hal itu menunjukan bahwa semakin lama jumlah polutan dibadan air semakin berkurang karena terserap oleh jamur. Dari Gambar 3.3 dapat dilihat bahwa biomassa jamur pada awalnya semakin bertambah kemudian pada saat t=3 mulai mengalami penurunan, tapi pada saat t=10 jumlahnya mulai stabil dan tidak mengalami penurunan maupun peningkatan lagi. Dari Gambar 3.4 dapat dilihat bahwa konsentrasi nutrisi yang dikonsumsi mengalami penurunan sampai pada saat t=6 mulai stabil dan tidak mengalami penurunan lagi. Dari Gambar 3.5 dapat dilihat bahwa tingkat konsentrasi oksigen terlarut semakin lama semakin mengalami penurunan.

4. Kesimpulan Analisis