KONSTRUKSI MODEL KONTROL OPTIMAL

STRATEGI KONTROL OPTIMAL DAN SOLUSI NUMERIK UNTUK EPIDEMIK DBD PADA POPULASI MANUSIA DAN VEKTOR Titi Indah Lestari 1 , Kartono 2 , R. Heru Tjahjana 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Abstract. Dengue Haemorraghic Fever DHF is a desease which is spread by mosquitoes. To see the flow of the spread of Dengue virus, a mathematical model of the human population and vector population was established. The human population consists of Susceptible class, Exposed class, Infected class, and Recovered class, while the vector population consists of Susceptible class and Infected class. To control the spread of DHF desease, an optimal control strategy is required in the form of prevention control and treatment control that is applied in these SEIR-SI model. The results of numerical simulations carried out by the method of Fourth Order Runge-Kutta using MATLAB shows that application of the two controls is very influential to lower the Exposed and Infected human population, and reduce the Infected vector populatio. Keywords: SEIR-SI model, Dengue Haemorraghic Fever, Optimal Control, Runge Kutta Fourth Order, MATLAB 1. PENDAHULUAN Demam Berdarah Dengue DBD merupakan salah satu penyakit yang ditularkan oleh nyamuk Aedes aegypti. Upaya yang dilakukan untuk memberantas perkembangan penyakit ini diantaranya program 3M menguras, menutup, dan mengubur, pengobatan pada individu terinfeksi, dan pemberantasan populasi vektor dengan insektisida. Sebelumnya skripsi yang membahas tentang wabah penyakit sudah pernah ditulis oleh Setyawan 2011 yang membahas penyebaran penyakit campak dan demam berdarah Dengue untuk dianalisis kestabilannya [1], dan Arimbi 2014 mengenai penyebaran virus Dengue pada populasi manusia dan perantara untuk dicari solusi numeriknya [2]. Pembahasan mengenai kontrol optimal juga telah ditulis oleh Jonner et al 2012 yang membahas kontrol optimal vaksinasi model epidemiologi tipe SIR [3]. Pada tugas akhir ini penulis tertarik untuk menentukan strategi kontrol optimal untuk pengendalian epidemik DBD dan solusi numeriknya.

2. KONSTRUKSI MODEL KONTROL OPTIMAL

Simbol M diberikan untuk populasi manusia dan P untuk populasi perantara nyamuk Aedes aegypti. Populasi manusia diklasifikasikan menjadi 4 kelas. Diberikan notasi untuk kelas susceptible, untuk kelas exposed, untuk kelas infected , dan untuk kelas recovered. Sedangkan pada populasi perantara diklasifikasikan menjadi 2 kelas. Diberikan notasi untuk kelas susceptible dan untuk kelas infected [4]. Diagram perpindahan antar kelas penyebaran virus Dengue pada populasi manusia dan nyamuk digambarkan pada Gambar berikut Gambar 2.1 Transfer dinamik antar kelas pada populasi manusia dan perantara ′ t S M t E M t E M M µ t M α 1 − t I M ′ ′ t R M ′ t S M M µ t I M M µ 52 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Dengan menerapkan dua perlakuan kontrol yaitu 0 ≤ ≤ 1 ∶ kontrol pencegahan berupa kampanye pengendalian 3M dan pemberantasan populasi perantara dengan insektisida, dan 0 ≤ ≤ 1 ∶ Pengobatan pada individu terinfeksi, maka model matematika kontrol optimal yang berhasil direkontruksi adalah sebagai berikut = 1 − − + 1 − + = 1 − − + + = − + + = + − − 1 + , = − + 1 − , = 1 − + − Parameter yang digunakan didapat dari data Kelurahan Tembalang 2014, data Puskesmas Rowosari 2014, serta hasil wawancara dengan Dr. Ir. Martini, M. Kes 2015 Tabel 2.1 Definisi parameter yang digunakan dalam simulasi Asumsi- asumsi yang digunakan adalah : Populasi tertutup, artinya pada populasi manusia maupun populasi nyamuk dewasa tidak ada proses emigrasi dan imigrasi; Laju pertumbuhan pada manusia adalah laju pertumbuhan Logistik, sedangkan laju pertumbuhan pada nyamuk adalah laju pertumbuhan Malthusian; Penyakit menular melalui kontak langsung antara nyamuk dewasa yang terinveksi dengan manusia rentan, antara manusia yang terinfeksi dengan nyamuk dewasa yang rentan terinfeksi, dan melalui nyamuk betina ke telurnya; Tingkat kontak langsung antara nyamuk dewasa dengan manusia dipengaruhi oleh besarnya peluang transmisi virus Dengue dan banyaknya gigitan yang dilakukan oleh satu ekor nyamuk dewasa per hari; Populasi nyamuk Susceptible dan populasi nyamuk Infected mempunyanyi laju pertumbuhan alami yang sama; Nyamuk dewasa yang menggigit dan menghisap darah manusia hanya nyamuk dewasa betina.

2.1 Penyelesaian Kontrol Optimal

Diformulasikan fungsi obyektif J yang meminimalkan jumlah manusia terinfeksi dan biaya penerapan kontrol { , } sebagai berikut = 01 2 3 ,2 4 5 6 + 6 + 6 7 8 3 9 2 dimana 6 adalah konstanta bobot yang bersesuaian dengan manusia terinfeksi. 6 dan 6 7 adalah konstanta yang disesuaikan dengan kuadrat kontrol sebagai penyeimbang dari dan , dengan syarat 6 + 6 + 6 7 = 1 dan 6 6 6 7 . = 0 adalah waktu awal, dan adalah waktu akhir. Selanjutnya bentuk fungsi Lagrangian sebagai berikut ; = 6 + 6 + 6 7 3 Bentuk Hamiltonian H dari masalah tersebut adalah = ; + = + + = + = 7 + = + = ? + , + = , 4 Definisi Parameter Notasi Nilai Laju pertumbuhan alami pada populasi manusia 0,0088 Laju kematian alami populasi manusia 0,0042 Laju kematian manusia karena DBD 0,0625 Laju dimana individu exposed menjadi individu infected 0,62 Laju kesembuhan penyakit 0,94 Laju kesembuhan dari individu bergejala 0,58 Peluang dari sembuh menjadi rentan kembali 0,9 Laju pertumbuhan alami populasi nyamuk 0,4 Laju kematian alami populasi nyamuk 0,48 Tingkat kontak langsung nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan ′ 1,05 Tingkat kontak langsung manusia terinfeksi dengan nyamuk rentan ′ 0,45 Banyaknya gigitan yang dilakukan satu ekor nyamuk terinfeksi per hari A 1,4 Banyaknya gigitan yang dilakukan satu ekor nyamuk rentan per hari A + 0,6 Peluang transmisi virus Dengue dari nyamuk ke manusia B 0,75 Peluang transmisi virus dari manusia ke nyamuk B 0,75 53 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 dimana = , untuk i=1,2,3,4,5,6 adalah variabel adjoint yang ditentukan dengan menyelesaikan persamaan Co-state menggunakan prinsip minimum Pontryagin [5]: =C = − DE D+ = −= 1 − 2 + = + = − = 1 − =C = − DE D = = + + − = 7 − = = 7 C = − DE D = −6 + = 7 − = + = 7 + + = ? − = 1 − = C = − DE D = −= + = + 5 = ? C = − DE D+ , = = ? − + = ? − = 1 − = C = − DE D , = = − = 1 − + = − 1 − yang memenuhi kondisi transversalitas = G C = 0, untuk i=1,2,3,4,5,6. Kondisi optimal diperoleh melalui DE D2 3 = 0 ⟹ 26 + = − = + = ? − = − = = 0 6 DE D2 4 = 0 ⟹ 26 7 + −= 7 + = = 0 Sehingga didapatkan solusi optimal ∗ = J 4 ∗ KJ 3 ∗ L , M , + N J O ∗ KJ P ∗ L , M + , NJ O , Q 4 7 ∗ = J R KJ S T Q R

2.2 Simulasi Numerik

Selanjutnya persamaan 1 diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode Runge Kutta orde-4 dengan menghitung step-size h terlebih dahulu [6][7]. Batas waktu t yang digunakan untuk simulasi numerik yaitu 0 ≤ ≤ 12, sehingga batas bawah U = 0 dan batas atas A = 12. Iterasi dilakukan sebanyak V = 120, sehingga ℎ = XKY Z = K9 9 = 0,1 8 Diskritisasi pada model penyebaran virus Dengue dengan kontrol dilakukan pada persamaan state 1 dan persamaan co- state 5, dengan syarat keadaan akhir bebas Free End-Point [8] dimana keadaan awal tetap, yaitu 0 = 0,9897; 0 = 0,0047; 0 = 0,0029; 0 = 0,0027; 0 = 0,5; dan 0 = 0,5; sedangkan nilai keadaan akhir bebas, yaitu = 12 = 0, = 12 = 0, = 7 12 = 0, = 12 = 0, = ? 12 = 0, dan = 12 = 0. Pada hasil simulasi akan dianalisis pengaruh penerapan kontrol saja dan kontrol saja pada model penyebaran virus Dengue. 3. HASIL SIMULASI Pada tabel 2. jumlah proporsi populasi manusia + + + saat = 12 dengan kontrol dan mengalami kenaikan, dari 0,9073 menjadi 0,9565 kenaikan sebesar 5,4. Hal ini menunjukan bahwa penerapan kontrol dan dapat mengurangi risiko kematian akibat virus Dengue. Berbeda dengan jumlah populasi nyamuk + pada = 12 dengan kontrol, proporsinya mengalami penurunan dari 0,3829 menjadi 0,2187 penurunan sebesar 42,9. Hal ini menunjukkan penerapan kontrol dan dapat mengurangi jumlah populasi nyamuk perantara virus Dengue, serta dapat menurunkan jumlah penderita pada populasi manusia kelas Infected. Pada Tabel 3. jumlah proporsi populasi manusia + + + saat = 12 dengan kontrol mengalami kenaikan, dari 0,9073 menjadi 0,9540 orang kenaikan sebesar 5,2. Hal ini menunjukan bahwa penerapan kontrol dapat mengurangi risiko kematian akibat virus Dengue. Jumlah populasi nyamuk + pada = 12 dengan kontrol, proporsinya mengalami penurunan dari 0,3829 menjadi 0,2210 penurunan sebesar 42,3. Hal ini menunjukkan penerapan kontrol sangat berpengaruh mengurangi jumlah populasi nyamuk perantara virus Dengue , tetapi tidak dapat meminimalkan jumlah penderita pada populasi manusia kelas Infected. 54 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Tabel 2.2 Proporsi awal dan proporsi akhir pada populasi manusia dan perantara tanpa kontrol dan dengan kontrol , dengan 6 = 0,7; 6 = 0.2; dan 6 7 = 0,1 Proporsi pada 9 = 0 Proporsi pada = 12 Tanpa Kontrol Dengan Kontrol dan 0,9897 0,5245 0,8699 0,0047 0,1269 0,0314 0,0029 0,0816 0,0207 0,0027 0,1743 0,0345 Jumlah 1 0,9073 0,9565 0,5 0,1156 0,1820 0,5 0,2673 0,0367 Jumlah 1 0,3829 0,2187 Gambar 3.1Grafik simulasi model penyebaran virus Dengue pada populasi manusia dan vektor dengan dan menggunakan 6 = 0,7; 6 = 0,2; dan 6 7 = 0,1. Pada Tabel 2.4 jumlah proporsi populasi manusia + + + saat = 12 dengan kontrol mengalami kenaikan, dari 0,9073 menjadi 0,9605 kenaikan sebesar 5,9. Hal ini menunjukan bahwa penerapan kontrol dapat mengurangi risiko kematian akibat virus Dengue. Jumlah populasi nyamuk + pada = 12 dengan kontrol, proporsinya mengalami peningkatan tajam dari 0,3829 menjadi 0,6719 kenaikan sebesar 75,5. Hal ini menunjukkan penerapan kontrol saja tidak dapat mengurangi jumlah populasi nyamuk perantara virus Dengue dan tidak cukup untuk meminimalkan jumlah penderita DBD. Tabel 2.3 Proporsi awal dan proporsi akhir pada populasi manusia dan perantara tanpa kontrol dan dengan kontrol dengan 6 = 0,8 dan 6 = 0,2 Gambar 3.2 Grafik simulasi model penyebaran virus Dengue pada populasi manusia dan vektor dengan saja dengan bobot 6 = 0,8 dan 6 = 0,2. 2 4 6 8 10 12 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 waktu bulan ju m la h i n d iv id u S u s c e p ti b le Grafik simulasi model pada individu Susceptible dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 waktu bulan ju m la h i n d iv id u E x p o s e d Grafik simulasi model pada individu Exposed dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 waktu bulan ju m la h i n d iv id u I n fe c te d Grafik simulasi model pada individu Infected dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 waktu bulan ju m la h i n d iv id u R e c o v e re d Grafik simulasi model pada individu Recovered dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 waktu bulan ju m la h v e k to r S u s c e p ti b le Grafik simulasi model pada vektor Susceptible dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 waktu bulan ju m la h v e k to r In fe c te d Grafik simulasi model pada vektor Infected dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 waktu bulan ju m la h i n d iv id u S u s c e p ti b le Grafik simulasi model pada individu Susceptible dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 waktu bulan ju m la h i n d iv id u E x p o s e d Grafik simulasi model pada individu Exposed dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 waktu bulan ju m la h i n d iv id u I n fe c te d Grafik simulasi model pada individu Infected dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 waktu bulan ju m la h i n d iv id u R e c o v e re d Grafik simulasi model pada individu Recovered dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 waktu bulan ju m la h v e k to r S u s c e p ti b le Grafik simulasi model pada vektor Susceptible dengan kontrol tanpa kontrol 2 4 6 8 10 12 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 waktu bulan ju m la h v e k to r In fe c te d Grafik simulasi model pada vektor Infected dengan kontrol tanpa kontrol Proporsi pada 9 = 0 Proporsi pada = 12 Tanpa Kontrol Dengan Kontrol 0,9897 0,5245 0,7225 0,0047 0,1269 0,0499 0,0029 0,0816 0,1540 0,0027 0,1743 0,0276 Jumlah 1 0,9073 0,9540 0,5 0,1156 0,1465 0,5 0,2673 0,0745 Jumlah 1 0,3829 0,2210 55 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNDIP 2015, ISBN: 978-979-097-402-9 Tabel 2.4 Proporsi awal dan proporsi akhir pada populasi manusia dan perantara tanpa kontrol dan dengan kontrol dengan 6 = 0,9 dan 6 7 = 0,1 Proporsi pada 9 = 0 Proporsi pada = 12 Tanpa Kontrol Dengan Kontrol 0,9897 0,5245 0,3412 0,0047 0,1269 0,2092 0,0029 0,0816 0,1761 0,0027 0,1743 0,2340 Jumlah 1 0,9073 0,9605 0,5 0,1156 0,0925 0,5 0,2673 0,5794 Jumlah 1 0,3829 0,6719 Gambar 3.3 Grafik simulasi model penyebaran virus Dengue pada populasi manusia dan vektor dengan saja

4. KESIMPULAN