94
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
b. Perkalian dan pembagian Ingat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapat
dinyatakan sebagai berikut.
; untuk , a
c ac
b d b
d bd
u z
Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar. 2.
1 2
3 1
k k
3.
2 1
m n
m n
2.
2 2
2 2
1 2
1 1
2 3
3 1
3 1
3 1
1 2
6 2
3 2
3 1 2
6 2
3 7
2 3
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k k
k
3. 2
1 2
1 2
2 2
2 n m
m n m
n m
n m n
n m mn
m mn
n mn
mn mn
n mn
m mn
mn mn
n m
mn n
m mn
u u
Tentukan hasil perkalian pecahan bentuk aljabar
berikut.
1. 4
3 2
u ab
a 2.
1 1
u x
y y
x 3.
2
1 2
5 3
u x
x
Penyelesaian:
1. 4
4 2
3 2
3 2
3 ab
ab b
a a
u u
u 2.
1 1
1 1
1 1
u u
x y
x y
y x
y x xy
y x
xy xy
x y
xy
95
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
3.
2 2
3 2
1 2 12
5 3
5 3 2
2 15
2 1
15 u
u x
x x
x x
x x
x Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers
operasi kebalikan dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinya
dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.
untuk 0,
1 untuk
0, untuk
0, b
c ac
a a
b c
c b
b a
a a
c b
c b
b c
bc a c
a d
ad b
c b d
b c
bc u
z z
u z
z u
z z
: :
: Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan bentuk aljabar.
Sederhanakan pembagian pecahan aljabar berikut.
1. 4
2 3
9 p
q q
p :
2.
2
3 4
a c
b b
: 3.
2
ab b c
ac :
Penyelesaian:
1.
2 2
2 2
4 2
4 9
3 9
3 2
36 6
6 u
p q
p p
q p
q q
p q
p q
:
2.
2 2
2
3 3
4 4
12 12
u a
c a
b b
b c
b ab
bc ab
c :
3.
2 2
2 2
2
1 1
u ab b
ab ac
c ac
c b
a bc b c
a b
:
96
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan
bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar.
1 2
2 2
3 3
3
a a
b b
a a
a a
b b
b b
a a
a a
a b
b b
b b
§ · ¨ ¸
© ¹ § · u
¨ ¸ © ¹
§ · u u ¨ ¸
© ¹
sebanyak kali
... § · u u u u
¨ ¸ © ¹
n n
n n
a a
a a
a a
b b
b b
b b
Sederhanakan perpang- katan pecahan aljabar
berikut.
1.
3
3 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
x
2.
2 2
4 5
§ ·
¨ ¸
© ¹
y 3.
2
2 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
a b
4.
2
5 3
2 §
· ¨
¸ ©
¹ p
Penyelesaian:
1.
3 3
3 3
3 3
27 2
2 2
2 8
x x
x x
x §
· §
· § · §
· u
u ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹ © ¹ ©
¹
2.
2 2
2 2
4
4 4
4 16
5 5
5 25
§ ·
§ · §
· u
¨ ¸
¨ ¸ ¨
¸ ©
¹ ©
¹ © ¹
y y
y y
3.
2
2 2
2 2
2
2 1
2 1
2 1
2 1 2
1 4
2 2
1 4
4 1
a a
a b
b b
a a
b a
a a
a a
b b
§ ·
u ¨
¸ ©
¹
4.
2
2 2
5 3
5 3
5 3
2 2
2 5
3 5 3
4 25
15 15
9 4
25 30
9 4
p p
p p
p p
p p
p p
§ ·
u ¨
¸ ©
¹
Berpikir kritis
Tunjukkan berlakunya sifat perpangkatan
pecahan bentuk aljabar di samping.
Gunakan contoh yang mendukung.
97
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
3. Tentukan hasil kali pecahan aljabar berikut.
a. 3
2 u
q p
b. 3
2 5
u m
m n
n c.
2 2
9 6
4 3
u mn
kn k
m d.
2 1 3
u x
x y
z e.
3 1
1 2
u x
x x
y
f.
2 2
2
3 u
p q
p q
p q
4. Tentukan hasil bagi bentuk pecahan alja- bar berikut.
a. 4 12
x y
: d.
2 2
2
16 8
5 3
a b ab
c c
: b.
4 9
3 2
a b
b c
: e.
2
4 3
9 8
klm k m
l :
c.
2
8 6
15 mn
mn l
l :
f.
2 2
2 2
20 3
8 x y
xy z
z :
5. Selesaikan operasi perpangkatan pecah- an aljabar berikut.
a.
2
2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
x
e.
2
4 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
x y
y b.
3 2
3 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
x
f.
2 2
2 1
3 §
· ¨
¸ ©
¹ a
b
c.
2
4 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
x y
g.
3
3 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
a b
d.
3 2
5 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
y h.
2
2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
p q
pq 1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentuk
aljabar berikut. a.
2
2 , ,
4 pq
p q pq
z b.
2 3
3 , , ,
6 z
x yz x y z
xyz
c.
2
3 15
, , , z
x y
yz x y z
xyz
d.
2
6 4
8 , ,
2 z
xy xy
xz x z
xz
2. Sederhanakan penjumlahan dan pengu- rangan pecahan aljabar berikut.
a. 3
2 q
p b.
2
3 x
x x
y xy
c. 3
12 3
p p
d.
2
4 2
a a
a b
ab
e. x
y x
y x
y f.
7 3
10 10
b b
g. 12
9 x
x y
y h.
2
2 4
2 9
x xy
y y
i. 2
3 4
6 9
p q
q p
j. 4
3 5
12 3
12 m
m mn
n
98
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
D. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYE-
LESAIKAN MASALAH
Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima
tahun kemudian, usia ayah tiga kali usia anaknya.
Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya.
Penyelesaian:
Misalkan: umur ayah = x; umur anak = y,
sehingga diperoleh persamaan x
= 4y ..................................... i x
+ 5 = 3y + 5 ...................... ii Substitusi persamaan i ke persamaan ii, diperoleh
x + 5
= 3y + 5
4y + 5 = 3y + 5
4y + 5 = 3y + 15
4y – 3y = 15 – 5
y = 10
Untuk y = 10, maka x = 4y
x = 4
u
10
x = 40
Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10 tahun.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
2. Tiga tahun yang lalu jumlah umur seorang ibu beserta anak kembarnya
diketahui 35 tahun. Jika pada saat itu umur ibunya 29 tahun, berapa tahunkah
umur anak kembarnya sekarang? 1. Panjang suatu persegi panjang diketahui
3x + 2 cm dan lebarnya 2x – 3 cm. a. Tentukan keliling persegi panjang
dinyatakan dalam x. b. Jika kelilingnya 36 cm, tentukan
ukuran persegi panjang tersebut.
99
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
1. Variabel, konstanta, faktor, serta suku sejenis dan tak sejenis. – Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang
belum diketahui nilainya dengan jelas. – Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang
berupa bilangan dan tidak memuat variabel. – Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan
pangkat dari masing-masing variabel yang sama. – Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan
pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. 3. Pak Ketut melakukan suatu perjalanan
ke luar kota. Mula-mula ia mengendarai sepeda motor selama 2 jam dengan ke-
cepatan rata-rata 5x – 2 kmjam. Kemudian Pak Ketut melanjutkan perja-
lanan dengan naik bus selama 3 jam dengan kecepatan rata-rata 4x + 15
kmjam. Tentukan a. jarak yang ditempuh dalam x;
b. nilai x, jika jarak yang ditempuh 239 km.
4. Seekor kambing setiap hari menghabis- kan x + 2 kg ransum makanan, sedang-
kan seekor sapi setiap hari menghabis- kan 2x – 1 kg ransum makanan.
a. Nyatakan jumlah ransum makanan untuk seekor kambing dan seekor
sapi selama 1 minggu. b. Tentukan nilai x jika jumlah ransum
makanan yang habis dalam 1 minggu adalah 70 kg.
5. Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang
2x + 1 cm, lebar x + 5 cm, dan tinggi x
cm. Tentukan a. persamaan panjang kawat dalam x;
b. nilai x, jika panjang kawat seluruhnya = 104 cm.
Menumbuhkan inovasi
Amatilah lingkungan di sekitarmu. Buatlah contoh masalah sehari-hari yang berkaitan dengan
penggunaan operasi hitung bentuk aljabar. Selesaikanlah dan hasilnya ceritakan secara singkat di depan kelas.
100
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
2. Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.
3. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.
k ax = kax
k ax + b = kax + kb
4. Perkalian antara dua bentuk aljabar dinyatakan sebagai berikut. ax + b cx + d = acx
2
+ ad + bcx + bd ax + b cx
2
+ dx + e = acx
3
+ ad + bcx
2
+ ae + bdx + be x + a x – a = x
2
– a
2
5. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien suku- sukunya ditentukan dengan segitiga Pascal.
a + b
1
= a + b a + b
2
= a
2
+ 2ab + b
2
a + b
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
dan seterusnya 6. Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara
menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
7. Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor perseku-
tuan kecuali 1 dan penyebutnya tidak sama dengan nol. 8. Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan
aljabar diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya.
Setelah mempelajari mengenai Operasi Hitung Bentuk Aljabar
, materi manakah yang telah kalian pahami? Buatlah rangkuman dari materi yang telah kalian pahami. Catatlah materi
yang belum kalian pahami. Lalu, tanyakan pada temanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu. Berilah contoh masalah dalam
kehidupan sehari-hari beserta penyelesaiannya yang berkaitan dengan operasi hitung bentuk aljabar. Susunlah dalam sebuah
laporan dan kumpulkan kepada gurumu.
