29
Bilangan Bulat
c. Sifat perpangkatan bilangan berpangkat Perhatikan perpangkatan bilangan bulat berpangkat berikut.
2 3 2
2 2
2 faktor 2 faktor
2 faktor 6 faktor
6
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 u
u u u u u u
u u u u u
Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat positif maka
faktor faktor
faktor faktor
faktor faktor
... ...
... ...
... ...
...
m n m
m m
n m
m m
n m
n
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
u
u u u
u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u
.
m n
p
u
p
m n
= p
m
u
n
d. Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagian Perhatikan uraian berikut.
5
u
2
3
= 10
3
= 10
u
10
u
10 = 1.000 5
u
2
3
= 5
3
u
2
3
= 125
u
8 = 1.000 2
u
3
2
= 6
2
= 36 2
u
3
2
= 2
2
u
3
2
= 4
u
9 = 36 Berdasarkan uraian di atas, dapat kita tuliskan sebagai berikut.
Jika m bilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat maka
faktor faktor
faktor
... ...
... .
m m
m m
m m
m m
m
p q p q
p q p q
p p
p q q
q p
q p q
p q
u u u u u u u
u u u u u u u u
u u
Berpikir kritis
Diskusikan dengan temanmu.
Tunjukkan berlakunya sifat p : q
m
= p
m
: q
m
dengan p, q bilangan bulat dan m bilangan
bulat positif.
30
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
Sederhanakan bentuk pangkat berikut.
a. 4
4
u
4
2
: 4
3
b. 8
4
u
4
2
: 2
9
Penyelesaian:
a. 4
4
u
4
2
: 4
3
= 4
4
u
4
2
: 4
3
= 4
4 + 2
: 4
3
= 4
6
: 4
3
= 4
6 – 3
= 4
3
b. 8
4
u
4
2
: 2
9
= 8
4
u
4
2
: 2
9
= 2
3 4
u
2
2 2
: 2
9
= 2
12
u
2
4
: 2
9
= 2
12 + 4
: 2
9
= 2
16
: 2
9
= 2
16 – 9
= 2
7
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Tentukan hasilnya. a. 9
2
f. 2
3
u
2
4
b. 11
3
g. –5
2
u
–5
3
c. –6
3
h. –3
2 3
d. –13
2
i. –2
2 2
e. –4
3
j. –3
u
–5
2
2. Sederhanakan bentuk pangkat berikut. a. 4
5
u
4
3
f. y
5
u
y
8
: y b. –6
9
: 6
4
g. –3
5 4
c. 5
u
–5
4
u
5
8
h. –2
5
u
–2
3 2
d. 8
9
: 8
3
: 8
2
i. 4
6
: 4
3 4
e. x
7
: x
3
u
x
6
j. –z
3 5
u
–z
2 4
3. Dengan menggunakan sifat perpang- katan suatu perkalian atau pembagian
bilangan bulat, sederhanakan bentuk pangkat berikut.
a. 3
u
4
5
d. 4
u
2
3
: 3
4
b. 6 : 2
4
e. –4 : 2
2
u
4
2
c. –2
2
u
3
3 2
4. Tentukan bentuk berikut ke dalam bilang- an berpangkat dengan bilangan pokok 2.
a. 4
u
32
u
64 b. 128
u
2
3
u
2
2
: 256
u
2
2
u
2 c. 256 : 2
3
: –2
2
d. 16
u
64 : 32
31
Bilangan Bulat
3. Kuadrat dan Akar Kuadrat serta Pangkat Tiga dan Akar Pangkat Tiga
a. Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulat Kalian telah mengetahui bahwa a
2
= a
u
a di mana
a
2
dibaca a kuadrat atau a pangkat dua. Jika a = 2 maka a
2
= 2
u
2 = 4. Hal ini dapat ditulis
2
4 2.
a 4
dibaca akar pangkat dua dari 4 atau akar kuadrat dari 4
. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.
a
2
= b sama artinya dengan .
b a
Tentukan nilai berikut ini. 1.
16 2.
169 3.
2
25 4.
1.225
Penyelesaian:
1.
2
16 4, karena 4
4 4 16 u
2.
2
169 13, karena 13 = 13 13 = 169
u 3.
2
25 = 25 25 = 625
u 4. Untuk mengetahui nilai
1.225 , tentukan letak bilang-
an 1.225 terlebih dahulu. Bilangan 1.225 terletak di antara 30
2
= 900 dan 40
2
= 1.600. Jadi, 1.225
terletak di antara nilai 30 dan 40. Bilangan bulat antara 30 dan
40 yang kuadratnya bersatuan 5 adalah 35. Jadi, 1.225
= 35, karena 35
2
= 35
u
35 = 1.225.
Berpikir kritis
Diskusikan dengan temanmu.
Misalkan a
2
= b. Buktikan bahwa
a =
b
atau a =
b
.
b. Pangkat tiga dan akar pangkat tiga Di bagian depan telah dijelaskan bahwa operasi perpangkatan
merupakan perkalian berulang dengan unsur yang sama. Hal ini juga berlaku pada bilangan berpangkat tiga.
a
3
= a
u
a
u
a Bentuk a
3
disebut pangkat tiga dari a. Jika a = 2 maka a
3
= 2
3
= 2
u
2
u
2 = 8. Hal ini dapat ditulis pula bahwa
3
8 = 2
dan dibaca akar pangkat tiga dari 8 = 2. a
3
= b sama artinya dengan
3
b = a
Tentukan nilai dari akar berikut.
1.
u 75
45
2.
u
3 3
5 9 3 81 3.
2 3
729 4.
u
5 4 3
2
6 2
a a b
b a b
5.
u u
3 3
2 4
3 2
x x
y y
x y
32
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
Tentukan nilai berikut ini. 1.
3
64 2.
3
216 3. –9
3
4.
3
3.375
Penyelesaian:
1.
3
64 = 4, karena 4
3
= 4
u
4
u
4 = 64 2.
3
216 = –6, karena –6
3
= –6
u
–6
u
–6 = –216
3. –9
3
= –9
u
–9
u
–9 = –729 4. Untuk mengetahui nilai dari
3
3.375 , tentukan letak
bilangan 3.375 terlebih dahulu. Bilangan 3.375 terletak di antara bilangan 10
3
= 1.000 dan 20
3
= 8.000. Bilang- an bulat antara 10 dan 20 yang nilai pangkat tiganya
bersatuan 5 adalah 15. Karena 15
3
= 15
u
15
u
15 = 3.375 maka
3
3.375 = 15.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
Berpikir kritis
Berdasarkan contoh di atas, simpulkan mengenai pangkat tiga suatu bilangan bulat negatif. Bandingkan dengan kesimpulan
berikut. Hasil pangkat tiga bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat
negatif pula. Apakah kamu berkesimpulan sama? Diskusikan dengan temanmu.
2. Tentukan nilai akar kuadrat berikut. a.
2 2
8 7 11 3
b.
2 2
5 4 10 2
c.
2 2
10 12 9
4
d.
2 2
3 4
19 5
1. Tentukan nilai akar berikut. a.
36 g.
3
64 b.
64 h.
3
125 c.
81 i.
3
512 d.
529 j.
3
1.000 e.
1.156 k.
3
1.728 f.
7.921 l.
3
3.375
33
Bilangan Bulat
3. Hitunglah nilai berikut ini. a.
3 3
6
x y
z u u
b.
3 2
3 2 2
: x y
xy c.
3 6
2 4
3
3 x y x y
u d.
3 3
3 2
2
: 2
x x y
x y y
u
F. OPERASI HITUNG CAMPURAN PADA
BILANGAN BULAT Dalam menyelesaikan operasi hitung bilangan bulat, terda-
pat dua hal yang perlu kalian perhatikan, yaitu 1. tanda operasi hitung;
2. tanda kurung. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat
terdapat tanda kurung, pengerjaan yang berada dalam tanda kurung harus dikerjakan terlebih dahulu.
Apabila dalam suatu operasi hitung bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat
operasi hitung berikut. 1. Operasi penjumlahan + dan pengurangan – sama kuat,
artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
2. Operasi perkalian
u
dan pembagian : sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.
3. Operasi perkalian
u
dan pembagian : lebih kuat daripada operasi penjumlahan + dan pengurangan –, artinya operasi
perkalian
u
dan pembagian : dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan + dan pengurangan –.
Tentukan hasil dari operasi hitung berikut ini.
a. 24 + 56
u
42 – 384 : 12 b. 28
u
364 + 2.875 : 9.756 – 9.742 c. 80 : 11 – 7
u
–4 d. –8 + 5
u
36 : 6 – 9
Penyelesaian:
a. 24 + 56
u
42 – 384 : 12 = 24 + 56
u
42 – 384 : 12 = 24 + 2.352 – 32
= 2.376 – 32 = 2.344
b. 28
u
364 + 2.875 : 9.756 – 9.742 = 28
u
3.239 : 14 = 90.692 : 14 = 6.478
