85
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat
distributif seperti uraian berikut.
2 2
u u u u ax + b cx
d ax cx
d b cx
d ax cx
ax d b cx
b d acx
adx bcx
bd acx
ad bc x
bd Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku
tiga berlaku sebagai berikut. ax + b cx
2
+ dx + e
= ax
u
cx
2
+ ax
u
dx + ax
u
e + b
u
cx
2
+ b
u
dx + b
u
e = acx
3
+ adx
2
+ aex + bcx
2
+ bdx + be = acx
3
+ ad + bcx
2
+ ae + bdx + be
Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut da-
lam bentuk jumlah atau selisih.
1. 2x + 3 3x – 2 2. –4a + b 4a + 2b
3. 2x – 1 x
2
– 2x + 4 4. x + 2 x – 2
Penyelesaian:
1. Cara 1 dengan sifat distributif. 2x + 3 3x – 2 = 2x3x – 2 + 33x – 2
= 6x
2
– 4x + 9x – 6 = 6x
2
+ 5x – 6 Cara 2 dengan skema.
2x + 3 3x – 2 = 2x
u
3x + 2x
u
–2 + 3
u
3x + 3
u
–2 = 6x
2
– 4x + 9x – 6 = 6x
2
+ 5x – 6 2. Cara 1 dengan sifat distributif.
–4a + b 4a + 2b = –4a4a + 2b + b4a + 2b = –16a
2
– 8ab + 4ab + 2b
2
= –16a
2
– 4ab + 2b
2
Berpikir kritis
Coba jabarkan perkalian bentuk
aljabar ax + bcx
2
+ dx + e dengan menggunakan
sifat distributif. Bandingkan hasilnya
dengan uraian di samping.
86
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
Cara 2 dengan skema. –4a + b 4a + 2b
= –4a
u
4a + –4a
u
2b + b
u
4a + b
u
2b = –16a
2
– 8ab + 4ab + 2b
2
= –16a
2
– 4ab + 2b
2
3. Cara 1 dengan sifat distributif. 2x – 1 x
2
– 2x + 4 = 2xx
2
– 2x + 4 – 1x
2
– 2x + 4 = 2x
3
– 4x
2
+ 8x – x
2
+ 2x – 4 = 2x
3
– 4x
2
– x
2
+ 8x + 2x – 4 = 2x
3
– 5x
2
+ 10x – 4 Cara 2 dengan skema.
2x – 1 x
2
– 2x + 4
= 2x
u
x
2
+ 2x
u
–2x + 2x
u
4 + –1
u
x
2
+ – 1
u
–2x + –1 . 4 = 2x
3
– 4x
2
+ 8x – x
2
+ 2x – 4 = 2x
3
– 4x
2
– x
2
+ 8x + 2x – 4 = 2x
3
– 5x
2
+ 10x – 4 4. Cara 1 dengan sifat distributif.
x + 2 x – 2 = xx – 2 + 2x – 2 = x
2
– 2x + 2x – 4 = x
2
– 4 Cara 2 dengan skema.
x + 2 x – 2 = x
u
x + x
u
–2 + 2
u
x + 2
u
–2 = x
2
– 2x + 2x – 4 = x
2
– 4 Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan
seperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan.
87
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
c. 1
2 6
2 x
d. 2x + 3 e. –32a + 5
f. –pp
2
– 3 4. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagai
perkalian konstanta dengan bentuk aljabar.
a. 5x – 15y b. –2p + q – 3r
c. 3x
2
+ 9xy – 18xy
2
d. –4p + 8r
2
5. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabar berikut ini.
a. x + 2 x – 3 b. 2x – 3 x + 4
c. 4k + 1
2
d. 3m + 2n 3m – 2n e. 3 – a 5 + a
f. 2 + a a
2
– 2a + 1 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar
berikut. a. 8p – 3 + –3p + 8
b. 9m + 4mn + –12m – 7mn c. 2a
2
+ 3ab – 7 – 5a
2
+ 2ab – 4 d. 4x
2
– 3xy + 7y – 5x
2
+ 2xy – 4y e. –4p
2
+ 3pq – 2 – 6p
2
+ 8pq – 3 f. 12kl – 20mn –5kl – 3mn
2. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 4m – 5 – 6m + 8 b. 9p
2
– 4pq – q
2
– 4p
2
+ 5pq – 3q
2
c. 2–8a – 3b –4a + 9b d. 12x
3
– 9x
2
– 8 – 15x
3
+ 7x
2
+ 5 e. –34k
2
l + 3kl
2
+ 2–9k
2
l – 4kl
2
f. 53m
3
– 5m
2
+ m – 2m
3
+ 4m
2
– 9m
3. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabar berikut sebagai jumlah atau selisih.
a. –3a – 2b + 5 b. xyx
2
– 4
3. Perpangkatan
Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang
dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku
faktor
... u u u u
n
n
a a a a
a Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar.
Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakat bahwa secara umum bentuk perkalian x + a x – a = x
2
–a
2
? Diskusikan hal ini dengan temanmu.
Jumlah dua buah bilangan adalah 35.
Jika bilangan kedua adalah lima lebihnya
dari bilangan pertama, tentukan hasil kali
kedua bilangan itu.
88
Matematika Konsep dan Aplikasinya 1
Tentukan hasil perpang- katan bentuk aljabar beri-
kut.
1. 2p
2
2. – 3x
2
yz
3 3
3. –3p
2
q
2
Penyelesaian:
1. 2p
2
= 2p
u
2p = 4p
2
2. – 3x
2
yz
3 3
= –27x
6
y
3
z
9
3. –3p
2
q
2
= 9p
4
q
2
Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal.
Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua a + b
n
, dengan n bilangan asli. Perhatikan uraian berikut.
a + b
1
= a + b o
koefisiennya 1 1 a + b
2
= a + b a + b = a
2
+ ab + ab+ b
2
= a
2
+ 2ab+ b
2
o koefisiennya 1 2 1
a + b
3
= a + b a + b
2
= a + b a
2
+ 2ab + b
2
= a
3
+ 2a
2
b + ab
2
+ a
2
b + 2ab
2
+ b
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
o koefisiennya 1 3 3 1
dan seterusnya Adapun pangkat dari a unsur pertama pada a + b
n
dimulai dari a
n
kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a
1
pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b unsur kedua dimulai dengan
b
1
pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir b
n
pada suku ke-n + 1. Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran
bentuk aljabar a + b
n
di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga Pascal berikut.
1 1 1
1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 +
a b
+ a
b
1
+ a
b
2
+ a
b
3
+ a
b
4
+ a
b
5
+ a
b
6
Berpikir kritis
Pada bentuk aljabar berikut, tentukan
koefisien dari a. x
2
pada 2x – 5
2
; b. x
5
pada x – 3
5
; c. x
3
y pada 3x + 2y
4
; d. x
2
y
2
pada x + 2y
4
; e. a
3
pada 4 – 2a
4
.
Menumbuhkan ino- vasi
Jabarkan bentuk aljabar suku dua
a + b
n
dengan 7
d
n
d
10. Tentukan pola koefisien yang
terbentuk. Kemudian, tuliskan pola koefisien
tersebut dalam segitiga Pascal.
Diskusikan hal ini dengan temanmu.
Ceritakan hasilnya secara singkat di
depan kelas.
89
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan
yang berada di atasnya.
Jabarkan bentuk aljabar berikut.
a. 3x + 5
2
b. 2x – 3y
2
c. x + 3y
3
d. a – 4
4
Penyelesaian:
a. 3x + 5
2
= 13x
2
+ 2
u
3x
u
5 + 1
u
5
2
= 9x
2
+ 30x + 25 b. 2x – 3y
2
= 12x
2
+ 22x –3y + 1
u
–3y
2
= 4x
2
– 12xy + 9y
2
c. x + 3y
3
= 1x
3
+ 3
u
x
2
u
3y
1
+ 3
u
x
u
3y
2
+ 1
u
3y
3
= x
3
+ 9x
2
y + 27xy
2
+ 27y
3
d. a – 4
4
= 1a
4
+ 4
u
a
3
u
–4
1
+ 6
u
a
2
u
–4
2
+ 4
u
a
u
–4
3
+ 1
u
–4
4
= a
4
– 16
u
a
3
+ 6a
2
u
16 + 4a
u
–64 + 1
u
256 = a
4
– 16a
3
+ 96a
2
– 256a + 256
4. Pembagian
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk
aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
Sederhanakanlah pemba- gian bentuk aljabar berikut.
1. 3xy : 2y 2. 6a
3
b
2
: 3a
2
b 3. x
3
y : x
2
y
2
: xy 4. 24p
2
q + 18pq
2
: 3pq
Penyelesaian:
1.
3x y 2 y
3 faktor sekutu
2 x
y
2.
3 2 3 2
2 2
2
6 6
: 3 3
3 a b
a b a b
a b a b
2
2 3
ab a b
u
2
faktor sekutu 3 2
a b ab
