Komplemen Suatu Himpunan OPERASI HIMPUNAN

184 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1 Untuk setiap himpunan A dan B berlaku sifat komutatif irisan A ˆ B = B ˆ A. Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa A ˆ B = {3, 4} dan B ˆ C = {4, 5}, sehingga A ˆ B ˆ C = {3, 4} ˆ {4, 5, 6} = {4} A ˆ B ˆ C = {1, 2, 3, 4} ˆ {4, 5} = {4} Tampak bahwa A ˆ B ˆ C = A ˆ B ˆ C. Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan. Jika A = {1, 2, 3, 4} maka A ˆ A = {1, 2, 3, 4} ˆ {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} = A Jadi, A ˆ A = A. Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan. Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku a. sifat identitas irisan A ˆ S = A himpunan S disebut elemen identitas pada irisan b. sifat komplemen irisan A ˆ A C = ‡ . Coba buktikan sifat-sifat di atas dengan berdiskusi bersama temanmu. Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dan gabungan dua himpunan. Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan C = {3, 6, 7}, diperoleh B ‰ C = {3, 4, 5, 6, 7}, A ˆ B = {3}, dan A ˆ C = {3}. Dengan demikian diperoleh A ˆ B ‰ C = {1, 2, 3} ˆ {3, 4, 5, 6, 7} = {3} A ˆ B ‰ A ˆ C = {3} ‰ {3} = {3} Tampak bahwa A ˆ B ‰ C = A ˆ B ‰ A ˆ C. Secara umum berlaku sebagai berikut. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A ˆ B ‰ C = A ˆ B ‰ A ˆ C Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan. Berpikir kritis Diskusikan dengan temanmu. Dengan cara yang sa- ma seperti pada sifat- sifat irisan himpunan, tunjukkan berlakunya sifat-sifat gabungan himpunan berikut. a Sifat komutatif gabungan: A ‰ B = B ‰ A. b Sifat asosiatif ga- bungan: A ‰ B ‰ C = A ‰ B ‰ C. c Sifat idempotent gabungan: A ‰ A = A. d Sifat identitas ga- bungan: A ‰ ‡ = A. ‡ disebut elemen identitas pada gabungan himpunan. e Sifat komplemen gabungan: A ‰ A C = S. Untuk setiap himpunan A, B, dan C, tunjukkan berlakunya sifat distri- butif gabungan terha- dap irisan: A ‰ B ˆ C = A ‰ B ˆ A ‰ C. 185 Himpunan b. Sifat-sifat selisih himpunan Di depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} B = {1, 2, 3, 6} C = {1, 2, 4, 8} maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12} = ‡ A – ‡ = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – ‡ = {1, 2, 3, 4, 6, 12} = A. Tampak bahwa A – A = ‡ dan A – ‡ = A. Karena A – ‡ = A, maka ‡ adalah identitas pada selisih himpunan . Sekarang, perhatikan bahwa B ˆ C = {1, 2}, A – B = {4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh A – B ˆ C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2} = {3, 4, 6, 12} A – B ‰ A – C = {4, 12} ‰ {3, 6, 12} = {3, 4, 6, 12} Tampak bahwa A – B ˆ C = A – B ‰ A – C. Secara umum berlaku sebagai berikut. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A – B ˆ C = A – B ‰ A – C Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan. Dengan cara yang sama seperti di atas, buktikan bahwa pada selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadap gabungan . Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku A – B ‰ C = A – B ˆ A – C Diskusikan hal ini dengan temanmu.