Metode penaksiran entropi-maksimum (EM)

8.13 Metode penaksiran entropi-maksimum (EM)

Tamin (1998e) telah mengembangkan penggunaan pendekatan entropi-maksimum untuk mengkalibrasi parameter model gravity. Pendekatan ini akan dikembangkan lebih jauh untuk dapat digunakan dalam mengkalibrasi parameter model kebutuhan akan transportasi dari data arus lalulintas. Pembaca yang ingin mengetahui secara rinci teori dasar metode penaksiran entropi-maksimum sangat disarankan untuk membaca subbab 5.7.6.7 buku ini. Wilson (1970) memperlihatkan bahwa jumlah status mikro W{V l } yang terkait dengan status meso V l adalah sebagai berikut.

W [] V l =

Asumsi dasar pendekatan ini adalah peluang sebaran [V l ] yang terjadi sebanding dengan jumlah status yang ada dalam sistem tersebut yang mendukung terbentuknya sebaran [V l ]. Jadi, jika W[V l ] adalah jumlah cara yang dianut setiap individu untuk mengatur dirinya sehingga dihasilkan sebaran [V l ], maka peluang [V l ] yang terjadi sebanding dengan W[V l ].

Karena diasumsikan bahwa seluruh status mikro berpeluang sama, maka status meso yang paling memungkinkan adalah status yang dapat dihasilkan dengan sebanyak mungkin cara. Karena itu, yang dibutuhkan adalah suatu teknik yang dapat mengidentifikasi nilai [V l ] yang memaksimumkan W[V l ] yang dinyatakan dengan persamaan (8.107). Untuk lebih mudahnya, kita akan memaksimumkan

416 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi 416 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

log e W = log e = log e V T ! − ∑ log e V! l

X, persamaan (8.108) dapat disederhanakan menjadi:

Dengan menggunakan pendekatan Stirling log e X! ≈ Xlog e X −

log e W = log e V T ! − ∑ ( V l log e V l − V l )

Karena merupakan konstanta, log e V T ! dapat dihilangkan dari proses optimasi. Dengan menghilangkan faktor log e V T !, persamaan (8.109) berubah menjadi persamaan (8.110) yang biasa disebut fungsi entropi.

log e W’ = − ∑ ( l V log e V l − V l )

Dengan memaksimumkan persamaan (8.110) dengan batasan yang ditentukan dari pengetahuan status makro, dihasilkan model yang dapat memperkirakan status meso yang paling mungkin (dalam kasus ini berupa data arus lalulintas V l ). Kunci utamanya adalah bagaimana mengidentifikasi deskripsi status mikro, meso, dan makro yang cocok beserta batasan makro yang harus dipenuhi oleh solusi permasalahan optimasi tersebut. Dalam beberapa kasus, terdapat beberapa informasi tambahan dalam bentuk informasi awal status meso, misalnya data arus lalulintas

hasil observasi ( Vˆ ). Untuk itu, fungsi tujuan berubah menjadi: l

log e W’’ = − 

V l log e  l  − V l + V ˆ l ∑ 

Persamaan (8.111) merupakan fungsi tujuan yang cukup menarik karena jika semua nilai V l = V ˆ l maka log e W’’ akan bernilai nol dan selalu akan bernilai negatif jika terdapat perbedaan di antaranya. Semakin besar perbedaannya, semakin kecil pula

nilai log e W’’. Karena itu, log e W’’ merupakan fungsi tujuan yang baik untuk

melihat besarnya perbedaan antara V l dengan Vˆ . Ide utama metode penaksiran l

entropi-maksimum adalah mengkalibrasi parameter model yang tidak diketahui dengan memperkecil perbedaan antara hasil pemodelan dengan data pengamatan. Secara matematis, fungsi tujuan metode penaksiran entropi-maksimum (EM) dapat dituliskan sebagai berikut:

memaksimumkan E 1 = log e W’’ = −  V l log e   − V l + V ˆ l ∑ 

 Dengan memasukkan persamaan (8.52) ke persamaan (8.112), akhirnya fungsi

tujuan untuk metode penaksiran EM dapat dinyatakan sebagai persamaan (8.113) dengan parameter yang tidak diketahui b k , α k , dan β k (untuk k = 1,...,K):

Model transportasi berdasarkan data arus lalulintas

id . p id

maksimum E 1 = − ∑  ∑∑ T id . p id . log e 

l  i d  ∑∑ V ˆ l   i d 

T id . p id .  + V ˆ l 

 (8.113) Untuk mendapatkan satu set parameter b k , α k , dan β k dari model GO yang memaksimumkan persamaan (8.113), tiga set persamaan (8.114) berikut dibutuhkan:

∑∑ l T

= fb k = − ∑  ∑∑

 ∂ b k

∑∑ T id . p id  

. p id .  log e  ∂

= f α k = − ∑  ∑∑

 α k

∑∑ i d  

 ∂ T id

= f β k = − ∑  ∑∑

  Persamaan (8.114) adalah sistem 3K persamaan simultan dengan 3K parameter

yang tidak diketahui b k , α k , dan β k untuk ditaksir dengan syarat L ≥ 3K. Metode Newton − Raphson dengan teknik eliminasi matriks Gauss − Jordan digunakan untuk memecahkan persamaan (8.114).