Model stokastik

7.4 Model stokastik

Banyak ahli transportasi berpendapat bahwa model pemilihan rute sangat berguna jika dapat mencerminkan perilaku setiap pemakai jalan sehingga kualitas keputusan para ahli dapat diperbaiki dan biaya dapat berkurang. Pada suatu sistem jalan raya, khususnya pada saat volume arus lalulintas mendekati kapasitas, banyak terdapat rute alternatif lain yang bervariasi, tergantung pada jarak. Model yang lebih realistis yang disebut model banyak-rute menyebarkan arus yang ada ke rute tersebut dengan memperhatikan kecenderungan setiap pengendara dalam memilih rute.

Pengendara diasumsikan akan mengambil rute tercepat, tetapi tidak yakin mana rute tercepat itu. Cerminan waktu tempuh untuk setiap rute yang dianggap pengendara sebagai rute tercepat dihasilkan dengan seleksi secara acak sebaran yang mempunyai rata-rata waktu tempuh sebenarnya dari rute tersebut. Hanya satu rute yang akan digunakan antara setiap pasangan zona i dan d; penjumlahan arus lalulintas antara zona i dan d menghasilkan tingkat keacakan pembebanan tersebut.

Sebuah contoh dalam Black (1981) mengilustrasikan prinsip yang melatarbelakangi metode ini. Model ini masih mengabaikan hubungan antara arus dengan biaya, tetapi telah memperhitungkan variasi antara persepsi perseorangan terhadap waktu tempuh. Model stokastik ini berbeda dengan model all-or-nothing karena dalam model ini pemakai jalan disebarkan kepada beberapa pemilihan rute.

Beberapa model yang termasuk dalam model stokastik adalah model Burrell (1968), model Sakarovitch (1968), dan model Dial (1971). Ketiganya masih mengabaikan efek kemacetan, tetapi lebih realistis jika dibandingkan dengan model all-or-nothing karena memberikan sebaran yang lebih baik yang memungkinkan perbedaan persepsi antara pengendara dapat diperhitungkan.

7.4.1 Model Burrell

Burrell (1968) mengusulkan suatu model untuk kasus banyak-rute; mungkin merupakan model yang paling sering digunakan di Inggris. Pada model ini diasumsikan bahwa biaya perjalanan untuk setiap ruas jalan dalam jaringan disebar sekitar nilai rata-rata biaya perjalanan. Beberapa asumsi yang mendasari pengembangan metode ini adalah sebagai berikut.

• Untuk setiap ruas jalan, kita harus dapat membedakan biaya objektif sebagaimana dipersepsikan oleh pengamat dan biaya subjektif seperti yang diinginkan oleh pengendara. Selanjutnya, diasumsikan terdapat sebaran biaya persepsi untuk setiap ruas dengan biaya objektif sebagai rataan, seperti terlihat pada gambar 7.8. Model tersebut mendefinisikan nilai rataan biaya tersebut disertai bentuk sebaran biaya untuk setiap ruas jalan di sekitar nilai rataan tersebut.

Biaya perjalanan untuk setiap ruas jalan kemudian dapat dihasilkan dengan mengambil sampel acak dari sebaran biaya itu. Bilangan acak, misalnya dengan sebaran merata digunakan untuk mendapatkan biaya untuk setiap ruas secara berulang-ulang. Model tersebut kemudian menemukan dan

294 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi 294 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Gambar 7.8

Sebaran biaya persepsi pada suatu ruas jalan

• Sebaran biaya persepsi diasumsikan tidak saling berkorelasi. •

Pengendara diasumsikan memilih rute yang meminimumkan biaya menurut persepsinya, yang bisa didapat sebagai penjumlahan biaya setiap ruasnya.

Penjelasan umum tentang algoritma yang digunakan akan diterangkan berikut ini. Tentukan sebaran (termasuk parameter dispersi σ ) untuk biaya persepsi setiap ruas jalan. Pisahkan populasi yang akan bergerak untuk setiap pasangan asal − tujuan menjadi N segmen; setiap segmen diasumsikan mempunyai biaya persepsi yang

sama.

1 buat n = 0;

2 buat n = n + 1;

3 untuk setiap pasangan asal − tujuan (i − d): •

hitung biaya persepsi untuk setiap ruas jalan dengan mengambil sampel dari sebaran biaya persepsi dengan menggunakan bilangan acak;

buat rute dengan biaya persepsi minimum dari i ke d dan bebankan T id /N

ke rute tersebut yang akhirnya menghasilkan besar arus pada setiap ruas jalan.

4 Jika n = N, stop; jika tidak, kerjakan tahap (2). Banyak hal yang dapat dilakukan untuk mengurangi waktu komputasi, misalnya:

• bentuk suatu set baru biaya secara acak per simpul asal, bukan untuk setiap pasangan i − d;

• gunakan N sama dengan 3 atau 5 dan bentuk satu set biaya secara acak untuk setiap matriks, bukan untuk setiap pasangan i − d atau simpul asal;

• gunakan nilai N yang kecil (misalnya 1). Selanjutnya, MAT dibagi menjadi N bagian, dan setiap bagian dibebankan

mengikuti setiap rute yang dijelaskan sebelumnya. Ini dilakukan sebanyak N kali sampai seluruh MAT telah dibebankan ke jaringan. Cara ini ternyata merupakan

Model pemilihan rute 295 Model pemilihan rute 295

Pendekatan seperti ini memerlukan simulasi untuk mengurangi jumlah rute terbaik lainnya. Jika kita membutuhkan jumlah rute yang banyak, nilai N dan/atau parameter dispersi ( σ ) dari sebaran biaya perlu diperbesar. Pendekatan Burrell mempunyai keuntungan dalam menghasilkan rute yang murah, bukan rute yang mahal: jika suatu rute mahal, rute tersebut cenderung tidak akan murah sebagai hasil variasi stokastik biaya.

Walaupun penggunaan sebaran seragam sangat efisien dalam hal waktu komputer, tetapi tidak begitu realistis. Fungsi yang lebih baik, tetapi membutuhkan waktu yang lebih lama dalam hal waktu komputasi, adalah sebaran normal dengan variansi yang proporsional dengan rata-rata biaya objektif.

Dalam metode Monte Carlo, hasil akhir tergantung pada bilangan acak yang digunakan dalam simulasi. Memperbesar nilai N akan memperkecil masalah. Tetapi, terdapat beberapa kesukaran yang ditemui dalam pendekatan ini.

• Biaya persepsi tidak saling tergantung karena setiap pengendara mempunyai persepsi yang berbeda. Asumsi biaya persepsi yang saling tidak tergantung menghasilkan perpindahan antara rute sejajar yang dihubungkan dengan jalan samping.

• Tidak ada hal yang pasti mengenai efek kemacetan. Sebagai kompensasi, metode ini sering menghasilkan penyebaran pergerakan yang

pantas, biasanya mudah diprogram, dan tidak memerlukan penaksiran hubungan Arus − Kecepatan.

7.4.2 Model Sakarovitch

Pendekatan yang berbeda dalam menentukan banyak-rute antar-pasangan-zona dikembangkan oleh Sakarovitch (1968). Beliau mengembangkan algoritma dalam menentukan rute terbaik yang lebih dari satu rute (katakan terdapat N rute terbaik) dalam setiap pasangan zona di dalam suatu daerah kajian. MAT kemudian dibagi menjadi N bagian dengan proporsi terbesar dibebankan ke rute tercepat dan seterusnya, sampai proporsi yang terkecil dibebankan pada rute yang terpanjang. Prosedur ini diulangi sebanyak N kali sampai akhirnya semua MAT dibebankan pada jaringan.

7.4.3 Model stokastik-proporsional

Dial (1971) mengusulkan model banyak-rute yang berdasarkan peluang; pergerakan pada setiap titik simpul disebarkan ke semua ruas yang mungkin dalam bentuk peluang yang lebih diarahkan pada rute termurah. Model Dial menghasilkan iklim yang baik bagi para peneliti dan praktisi perencanaan transportasi karena algoritma yang dikembangkan Dial mempunyai keuntungan dibandingkan dengan model all- or-nothing karena mengalokasikan pergerakan pada beberapa alternatif rute sedemikian rupa, tergantung pada panjang (biaya) rute.

296 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Kondisi ini digunakan jika setiap alternatif rute dari zona i ke zona d dialokasikan kepada peluang yang akan digunakan oleh pengendara antara dua zona. Bila digabung, peluang setiap alternatif rute akan menjadi satu. Metode pembebanan Dial didasarkan pada kenyataan bahwa rute yang lebih panjang mempunyai peluang lebih kecil dibandingkan dengan rute yang lebih pendek. Rute yang lebih pendek mempunyai kemungkinan lebih besar untuk digunakan. Kemungkinan pemilihan rute r diperlihatkan dengan model berikut ini:

exp ( − 1 . t r )

prob ( r ) = N (7.14)

∑ exp ( − a . t r )

prob(r) = peluang memilih rute r

t r = waktu tempuh pada rute r

N = jumlah rute alternatif

a = parameter yang akan dikalibrasi Jika a = 0, semua rute alternatif akan mempunyai peluang yang sama untuk dipilih.

Jika nilai a makin besar, rute yang lebih pendek akan mulai dipilih. Tetapi, jika nilai a sangat besar, hanya rute tercepat saja yang terpilih (misalnya: nilai a yang besar akan menghasilkan solusi yang mirip dengan solusi hasil pembebanan all-or- nothing).

Secara eksplisit, semua metode ini berdasarkan pada algoritma pembebanan yang membagi pergerakan yang tiba pada suatu simpul ke simpul lainnya yang memungkinkan. Pada kasus pembebanan all-or-nothing, semua pergerakan hanya menggunakan satu simpul saja. Sering implementasi metode ini memutarbalikkan masalah; proses pembagian pergerakan pada suatu simpul sebenarnya didasari dari mana pergerakan tersebut datang, bukan ke mana pergerakan tersebut akan pergi.

Pertimbangkan simpul B pada gambar 7.9; terdapat beberapa titik masuk yang mungkin yang dinyatakan dengan A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4, dan A 5 untuk pergerakan dari i ke

d.

Gambar 7.9

Simpul B dan ruas jalan masuk Faktor fungsi pembagi (f i ) didefinisikan sebagai:

Model pemilihan rute 297 Model pemilihan rute 297

0 ≤ f i ≤ 1 jika

d A i menyatakan biaya minimum dari simpul asal i ke simpul A i . Kondisi pertama mensyaratkan bahwa f i sama dengan nol jika simpul A i berada pada posisi lebih

jauh dari asal dibandingkan dengan posisi B. Pergerakan T B yang melalui simpul B dibagi melalui persamaan:

Prosedur pembebanan sekarang ekivalen dengan metode Cascade (all-or-nothing). Implementasi ide tersebut berbeda karena adanya faktor fungsi pembagi f i . Metode satu-rute yang diusulkan oleh Dial (1971) mensyaratkan:

f i = exp ( − Ωδ d i )

δ d i adalah biaya tambahan akibat perbedaan selama perjalanan dari simpul asal ke simpul B via simpul A i dibandingkan dengan via rute biaya minimum. Dalam hal ini, jika A i berada di antara rute biaya minimum, δ d i sama dengan nol dan f i = 1.

Simpul lainnya yang terletak pada rute yang lebih mahal mempunyai nilai δ d i > 0

dan nilai f i <

1. Dalam kasus ini, rute yang lebih pendek lebih menguntungkan dibandingkan dengan rute yang lebih mahal.

Dial menjelaskan algoritma dua-kali-lewat yang secara efektif menggunakan formulasi logit dalam membagi pergerakan dari i ke d di antara rute yang memungkinkan:

T id exp ( − Ω C idr )

T idr =

exp ( − Ω C idr )

Parameter Ω dapat digunakan untuk mengontrol penyebaran pergerakan di antara rute yang ada. Algoritma yang digunakan meliputi prosedur lewat-maju dan lewat- mundur.

1 Lewat-maju Pada prosedur ini, tetapkan setiap simpul A dalam urutan yang semakin membesar dari d A dan tetapkan bobot untuk setiap ruas keluar (A,B) sehingga w (A,B) =W A exp( −Ωδ d (A,B) ) jika d A < d B atau nol; jika tidak, W A adalah bobot akumulatif pada simpul A yang secara definisi adalah:

W A = ∑ w ( A' , A ) dan W I = 1 (A’ adalah pendahulu A).

2 Lewat-mundur Prosedur ini identik dengan algoritma lewat-sekali, tetapi dengan menggunakan bobot w (A,B) untuk mengerjakan proses pemisahan pergerakan, bukan menggunakan faktor fungsi pembagi f i .

298 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Contoh 7.3 Pertimbangkan masalah sebuah kota yang dilayani oleh empat buah rute seperti terlihat pada gambar 7.10. Asumsikan terdapat 4.000 kendaraan yang bergerak dari A ke B dan semua rute kira-kira mempunyai biaya yang sama.

Dalam kasus ini, algoritma Dial membagi 4.000 kendaraan tersebut sebagai berikut: 1.000 kendaraan melalui rute 2 dan 1.000 kendaraan menggunakan tiga rute lainnya (rute 1, 3, dan 4). Banyak pengendara menganggap masalah ini satu dengan dua buah alternatif saja yaitu: jalan rute 2 atau rute 1. Algoritma Dial mendapat kesulitan pada saat mempertimbangkan setiap rute yang memungkinkan, meskipun permutasi dan kombinasi dari ruas yang ada mungkin berbeda dengan persentase yang kecil. Dalam hal ini, Dial mengabaikan korelasi antarrute yang sama.

Kota yang dilayani oleh jalan pintas dan jalan tembus

Secara praktis, Dial cenderung mengalokasikan pergerakan lebih pada jaringan jalan yang berkepadatan tinggi dan ruas jalan yang berjarak pendek, bukan pada jaringan jalan yang berkepadatan rendah dan ruas jalan yang berjarak jauh. Hal lain, strategi kodifikasi jaringan juga mempengaruhi alokasi pergerakan. Prosedur ini membutuhkan proses komputasi yang lebih rumit dibandingkan dengan metode all- or-nothing. Beberapa spesifikasi dibutuhkan dalam model ini, yaitu:

• model harus mempunyai peluang yang lebih besar dari nol bagi semua ruas jalan yang pantas dan peluang sama dengan nol bagi ruas jalan yang tidak sesuai.

• semua rute yang mungkin, yang mempunyai panjang yang sama, mempunyai peluang yang sama.

• jika terdapat dua atau lebih rute yang mungkin, yang mempunyai panjang yang berbeda-beda, maka rute yang lebih pendek mempunyai peluang yang lebih besar.

• pengguna dapat menentukan peluang pengalihan rute. Penggunaan kata ‘peluang’ dalam model Dial dikecam oleh Florian and Fox

(1976) yang cenderung menggunakan kata ‘proporsi’, misalnya: proporsi pergerakan yang menggunakan ruas tertentu. Selain itu, telah dibuktikan juga bahwa anomali dalam pemilihan rute yang dihasilkan oleh algoritma Dial berkaitan dengan aksioma Independence-from-Irrelevant-Alternatives (IIA).

Model pemilihan rute 299

Hal yang sangat menarik dari model Dial adalah pasangan zona; jika rute bertambah panjang, rute tersebut akan menjadi kurang diminati serta pengguna model mempunyai fasilitas untuk mengkalibrasi algoritma sesuai dengan keperluannya. Robillard (1974b) mengembangkan suatu prosedur dengan menggunakan prinsip kemiripan-maksimum untuk mengkalibrasi parameter model Dial dengan menggunakan data arus lalulintas.

Tetapi, prosedur yang diusulkan mempunyai beberapa kerugian. Pertama, algoritma harus diterapkan untuk setiap pengulangan dalam prosedur pencarian yang dibutuhkan untuk memecahkan persamaan kemiripan-maksimum-tidak-linear. Hal ini menyebabkan biaya operasi sangat mahal untuk jaringan berskala medium. Kedua, data harus banyak, seperti dibutuhkannya data arus lalulintas untuk setiap ruas jalan.

Fisk (1977) berkesimpulan bahwa mungkin dapat dihasilkan parameter model Dial dengan menggunakan metode penaksiran kemiripan-maksimum tanpa proses yang berulang-ulang seperti yang telah dilakukan oleh Robillard (1974b). Juga, algoritma yang diusulkan oleh Fisk tersebut mengurangi kebutuhan akan data dan waktu komputasi.

Salah satu penyederhanaan yang dilakukan oleh hampir semua model pemilihan rute yang digunakan dalam perencanaan transportasi adalah adanya asumsi arus lalulintas kondisi tunak, yaitu arus lalulintas selalu konstan sepanjang waktu. Biasanya input arus yang konstan tersebut adalah arus pada jam sibuk atau rata-rata jam sibuk. Robillard (1974a) mengusulkan modifikasi model Dial yang memperhitungkan aspek dinamis dari pola arus lalulintas. Algoritma dari model modifikasi ini menggunakan secara berulang-ulang algoritma pada kondisi tunak serta prosedur transformasi Fourier.

Semua model pemilihan rute yang telah dijelaskan dalam subbab 7.3 masih mengabaikan efek kemacetan. Tetapi, model ini jauh lebih realistis jika dibandingkan dengan model all-or-nothing karena dapat menyebarkan pergerakan pada sistem jaringan dan memperhitungkan perbedaan persepsi antarpengendara.

7.4.4 Model perilaku-kebutuhan-akan-transportasi

Awal perkembangan metode perilaku-kebutuhan-akan-transportasi timbul dari dalil perilaku yang sederhana. Pertama, dalil ini menyatakan bahwa seseorang memilih rute dari beberapa rute alternatif berdasarkan perbandingan tingkat pelayanan yang diberikan sistem transportasi dan sistem aktivitas yang tergantung pada sifat seseorang. Kedua, dalil tersebut menyatakan bahwa keputusan yang diambil seseorang dapat dimodelkan dengan menggunakan peluang pemilihan, dan peluang ini harus sesuai dengan teori dasar peluang seperti yang ditunjukkan pada persamaan berikut.

0<p i

k < 1 untuk semua i dan k (7.19)

k = 1 untuk semua i (7.20)

k = peluang orang i memilih alternatif k n i = semua set alternatif yang tersedia untuk rute i

300 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Keputusan yang diambil manusia merupakan peluang alamiah, tetapi pengambilan keputusan ini didasari oleh pertimbangan manfaat. Manfaat setiap alternatif memberikan dasar untuk memperkirakan peluang pemilihan setiap alternatif. Dalam pendekatan psikologi untuk teori perilaku perjalanan, diasumsikan alternatif j mempunyai kegunaan U ij , yang merupakan fungsi dari sifat alternatif X j , dan sifat perorangan S i , seperti yang ditunjukkan pada persamaan berikut:

(7.21) Semakin tinggi manfaat suatu rute dibandingkan dengan rute lain, semakin tinggi

U ij = U ( X j , S i )

pula peluang orang yang memilih rute tersebut. Karena peluang pemilihan rute berbanding lurus dengan manfaatnya, maka perbandingan peluang sebagai perbandingan manfaat dapat dinyatakan sebagai berikut:

dengan: P i

a dan P b = peluang orang i memilih alternatif a dan b Tanpa kehilangan sifat-sifatnya, bentuk fungsi dapat diasumsikan sebagai bentuk

eksponensial, seperti yang diperlihatkan pada persamaan berikut:

U ( X j , S i ) = exp { V ( X j , S i ) }

(7.23) Tetapi, persamaan dapat juga dinyatakan dengan persamaan berikut:

a exp { V ( X a , S i ) }

P b exp { V ( X b , S i ) }

Jika hanya terdapat dua alternatif dalam kumpulan alternatif yang ada, berdasarkan teori peluang, maka peluang orang i memilih alternatif a dan b berturut-turut adalah sebagai berikut:

exp { V ( X a , S i )

exp { V ( X a , S i ) } + exp { V ( X b , S i ) }

(7.25a)

exp { V ( X b , S i )

exp { V ( X a , S i ) } + exp { V ( X b , S i ) }

(7.25b)

atau:

exp { V ( X a − X b , S i ) }

1 + exp { V ( X a − X b , S i ) }

(7.26a)

1 + exp { V ( X a − X b , S i ) }

(7.26b)

Persamaan di atas disebut sebagai model logit-biner standar. HSU (1983) memakai persamaan ini dengan mengasumsikan fungsi manfaat sebagai berikut:

F(X a − X b ,S i ) = F(X) (7.27)

Model pemilihan rute 301 Model pemilihan rute 301

(7.28) Q i = koefisien yang diperkirakan (diperoleh melalui analisis regresi-linear)

F(X) = Q 0 +Q 1 X 1 +Q 2 X 2 +Q 3 X 3 + ... + Q K X K

X i = peubah keterangan yang dihitung dari kombinasi peubah rute dan pengendara