Pendekatan pemrograman-matematika

7.6.1 Pendekatan pemrograman-matematika

Pertimbangkan beberapa perilaku kondisi keseimbangan Wardrop, khususnya tentang semua rute yang digunakan (untuk pasangan Asal − Tujuan tertentu) yang mempunyai biaya perjalanan yang sama dan minimum; serta rute yang tidak digunakan yang mempunyai biaya perjalanan yang lebih mahal (minimal sama). Hal ini dapat ditulis sebagai berikut:

idr } adalah set rute yang memenuhi prinsip I Wardrop dan semua biaya perjalanan dihitung setelah T idr dibebankan. Dalam kasus ini, arus lalulintas dihasilkan oleh:

l = ∑∑∑ T idr δ idr

dan biaya sepanjang rute dapat dihitung sebagai:

idr = ∑ δ idr c l ( V l )

Walaupun Wardrop telah mengeluarkan prinsip keseimbangannya pada tahun 1952, baru 4 tahun kemudian ada tanggapan dari Beckman et al (1956) yang mengusulkan kerangka kerja yang berbasis pemrograman-matematika. Setelah itu,

Model pemilihan rute 315 Model pemilihan rute 315

Beckman et al (1956) menggunakan pendekatan pemrograman-matematika dan menyebutkan bahwa mendapatkan biaya perjalanan dan volume lalulintas yang sesuai dengan Prinsip Keseimbangan I dari Wardrop adalah ekivalen dengan permasalahan matematis yang meminimumkan suatu fungsi tujuan dengan batasan perilaku arus lalulintas. Permasalahan tersebut dapat ditulis:

Z {} T idr = ∑∫ C l ( V ). d V (7.36)

meminimumkan

dengan batasan:

T id = ∑ T idr dan T idr > 0 (7.37)

l = ∑∑ ( T id . δ idr )

1 jika ruas l digunakan oleh rute r antara i dan d

δ l idr =

0 jika sebaliknya T idr = pergerakan dari zona i ke zona d yang menggunakan rute r. δ l

idr = proporsi pergerakan dari zona i ke zona d yang menggunakan rute r dan ruas jalan l

C l (V)= hubungan matematis antara arus lalulintas dan biaya. Fungsi tujuan di atas berkaitan dengan total luas daerah yang berada di bawah kurva

hubungan biaya − arus untuk semua ruas jalan dalam jaringan tersebut. Mengapa fungsi tujuan yang perlu diminimumkan agar didapat keseimbangan Wardrop adalah salah satu hal utama yang akan kita bicarakan. Meskipun begitu, mula-mula kita harus mempertimbangkan perilaku umum pemrograman-matematika tersebut.

Batasan (7.37) telah diperkenalkan untuk meyakinkan bahwa kita akan bekerja pada ruang solusi yang diinginkan; misalnya nilai arus T idr yang harus selalu positif. Peranan batasan kedua (besarnya pergerakan positif) memang penting, tetapi tidak begitu perlu pada saat sekarang ini.

Van Vliet (1979) menunjukkan bahwa fungsi tujuan Z selalu cembung jika fungsi biaya C l (V) meningkat dengan meningkatnya arus. Nguyen (1974) mengusulkan suatu algoritma yang efisien untuk memecahkan permasalahan matematis tidak- linear. Van Vliet and Dow (1979) juga mengusulkan algoritma yang didasari model pembebanan-berulang dengan nilai t ditentukan untuk meminimumkan fungsi tujuan Z untuk setiap pengulangan.

Sejak tahun 1980, penelitian secara aktif sudah dilakukan untuk memperbaiki model pemilihan rute khususnya dalam pengembangan model keseimbangan (sebagai

316 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi 316 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Dapat diperlihatkan bahwa fungsi tujuan Z adalah cembung karena turunan pertama dan keduanya mempunyai nilai positif:

 ∑∫ C l ( V ). d V 

∂ T idr

∂ T idr   l 0  

= ∑ C l ( V ).

d V    d V l  0  ∂ T idr  

Tetapi, dari persamaan (7.34)

idr

T idr

Sekarang, karena V l hanya tergantung pada T idr jika rutenya menggunakan ruas tersebut, maka:

 ∑∫ C l ( V ). d V  = C l ( V l )

Oleh karena itu,

[ C l ( V l ) δ idr = C idr

idr

dan turunan kedua dari Z terhadap arus lalulintas:

∑ C l ( V l ) δ idr

Persamaan ini akan sama atau lebih besar dari nol jika turunan hubungan biaya − arus juga positif atau nol. Ini merupakan persyaratan umum yang menjamin proses konvergensi untuk mendapatkan solusi yang unik dari kondisi keseimbangan Wardrop. Artinya, di dalam kurva biaya − arus tidak boleh ada bagian yang menyebabkan biaya berkurang bila arus meningkat.

Karena permasalahan yang dinyatakan oleh persamaan (7.36) − (7.37) adalah permasalahan optimasi yang mempunyai batasan, maka solusinya bisa didapat dengan menggunakan metode Lagrange. Metode Lagrange ditulis sebagai:

L ( { T idr φ , id } ) = Z ( {} T idr ) + ∑∑ φ id [ T id − T idr ]

Model pemilihan rute 317 Model pemilihan rute 317

akan mendapatkan batasan tersebut. Dengan membuat turunan terhadap T idr dan menyamakannya dengan nol (untuk optimasi), dihasilkan persamaan:

− φ id = C idr − φ id

∂ T idr

∂ T idr

Di sini kita mempunyai dua kemungkinan mengenai nilai * T

idr pada kondisi

optimum. Jika T idr = 0 , maka

≥ 0 karena fungsi tersebut adalah cembung.

∂ T idr

Jika T idr ≥ 0 , maka:

∂ T idr

Hal ini dapat ditranslasikan menjadi kondisi berikut pada kondisi optimum:

id ≤ c idr untuk semua idr dengan T idr = 0

φ id = c idr untuk semua idr dengan T idr > 0

Dengan kata lain, * φ id harus sama dengan biaya perjalanan sepanjang rute dengan nilai T idr positif dan harus kurang dari (atau sama dengan) biaya sepanjang rute lainnya (misalnya T *

idr = 0). Oleh karena itu, φ id harus sama dengan biaya minimum

perjalanan pergerakan dari i ke d; * φ id = id c . Dalam hal ini, satu set T idr yang meminimumkan persamaan (7.39) mempunyai perilaku berikut:

idr ≥ untuk semua T idr = 0

c idr = untuk semua T idr > 0

Oleh karena itu, solusinya menghasilkan kondisi yang sesuai dengan prinsip keseimbangan I Wardrop.

Contoh 7.7 Pertimbangkan lagi kasus suatu pasangan antarzona dengan dua buah rute alternatif pada contoh 7.4. Gambar 7.14 memperlihatkan hubungan biaya − arus. Daerah yang diarsir adalah fungsi tujuan yang kita ingin minimumkan. Sudah tentu, salah satu cara untuk meminimumkan luas daerah tersebut adalah dengan menjamin

tidak ada arus V 1 =V 2 = 0, tetapi solusi ini tidak begitu menentukan. Yang kita inginkan adalah solusi yang sesuai untuk total pergerakan (2.000

kendaraan), dan hal ini dapat ditunjukkan pada gambar 7.15; kedua fungsi biaya − arus disajikan dalam bentuk yang saling berlawanan pada sumbu x dan dipisahkan oleh total pergerakan yang harus dibagi antara kedua ruas jalan tersebut. Dengan mudah dapat dilihat pada gambar 7.15a bahwa jumlah daerah yang berada

di bawah kurva biaya − arus akan minimum pada kondisi C 1 =C 2 ; setiap keberangkatan dari titik ini akan menambahkan luas daerah arsiran baru seperti terlihat pada gambar 7.15b.

318 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Gambar 7.14

Dua hubungan biaya − arus jalan pintas

dan jalan tembus Sumber: Ortuzar and

Keseimbangan pada suatu jaringan yang

(a)

(b)

sederhana V 1 V 2 V 1 V 2 Sumber: Ortuzar and Willumsen (1994)

Terlihat bahwa solusi keseimbangan menghasilkan arus sebesar 600 kendaraan yang akan melalui rute 1 dan 1.400 kendaraan yang menggunakan rute 2. Tidak ada salahnya mengamati bahwa biaya setiap rute adalah 22 menit dan total penggunaan jalan adalah 44.000 kendaraan-menit.

Dalam kasus pembebanan keseimbangan, kita mengabaikan beberapa isu penting; contohnya, masalah solusi yang unik; tampak hanya biaya setiap ruas jalan * c,

biaya perjalanan antarzona *

id c dan arus pada ruas l

V yang unik pada kondisi

optimum. Akan tetapi, besar arus pada rute * T

idr secara umum tidak selalu unik. Ini berarti masih terdapat beberapa kombinasi rute dan arus pergerakan lain yang akan menghasilkan arus dan biaya yang sama. Karena semua ruas yang digunakan (untuk setiap pasangan Asal − Tujuan) mempunyai biaya yang sama serta minimum, maka total biaya antarzonanya pun akan sama.

Hal ini dapat dengan mudah dilihat jika terdapat beberapa zona eksternal dari zona asal yang menghasilkan pergerakan ke persimpangan A dan keluar ke zona tujuan yang berbeda dengan persimpangan B; lihat gambar 7.5. Sebenarnya pergerakan ini

Model pemilihan rute 319 Model pemilihan rute 319