Penurunan model gravity dengan pendekatan entropi-maksimum

5.7.7 Penurunan model gravity dengan pendekatan entropi-maksimum

206 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Setelah penurunan heuristik model GR dengan analogi hukum gravitasi Newton disampaikan, sekarang ditunjukkan pula bahwa model tersebut dapat diturunkan dengan analogi fisika yang berbeda yang dikenal dengan entropi-maksimum (lihat contoh Wilson (1967,1970,1974) dan Wilson and Bennett (1985). Dalam bidang mekanika statistika dikenal konsep tentang metode penyusunan mikro tentang sistem tertentu seperti molekul gas.

Kunci pendekatannya adalah pendefinisian satu set peubah yang membentuk suatu ‘sistem’ dan melihat batasan yang mengaturnya. Satu set T id , atau [T id ] mewakili sebaran pergerakan. Dibutuhkan pendefinisian status sistem yang mewakili individu dalam bentuk mikro. Jadi, jika suatu sistem dibentuk dari berbagai individu, status sistem tersebut (contohnya, perjalanan untuk bekerja) adalah cara individu memutuskan perjalanannya secara konsisten. Hal yang penting untuk digarisbawahi di sini adalah bahwa tujuan utamanya sebaran pergerakan dalam tingkat ‘meso’, bukan status yang ada dalam sistem.

Asumsi dasar pendekatan ini adalah peluang sebaran [T id ] yang terjadi sebanding dengan jumlah status yang ada dalam sistem tersebut yang mendukung terbentuknya sebaran [T id ]. Jadi, jika w[T id ] adalah jumlah cara yang dianut setiap individu untuk mengatur dirinya sehingga dihasilkan sebaran [T id ], maka peluang [T id ] yang terjadi sebanding dengan w(T id ).

Dalam hal ini dirasakan perlu diperkenalkan batasan [T id ] lain sebagai tambahan batasan (5.22). Batasan tersebut berupa batas total biaya yang dilakukan oleh semua pergerakan di dalam daerah tersebut (C).

∑∑ T id . C id = C (5.108)

Jadi, berdasarkan asumsi dasar, sebaran yang paling memungkinkan adalah matriks [T id ] yang memaksimumkan entropi berikut ini:

w [] T id =

T id !

yang tergantung pada batasan (5.22) dan (5.108). Dengan melihat w[T id ] adalah jumlah status yang mendukung terjadinya sebaran [T id ], maka total jumlah status yang mungkin adalah:

W = ∑ w [] T id

T id

yang memenuhi batasan persamaan (5.22) dan (5.108). Akan tetapi, nilai maksimum w[T id ] mendominasi nilai penjumlahan sehingga [T id ], yang mengarah ke nilai maksimum, menjadi sebaran yang paling memungkinkan. Untuk mendapatkan nilai T id yang memaksimumkan w[T id ] seperti dalam persamaan (5.109) dan yang mempunyai batasan persamaan (5.22) dan (5.108), persamaan Lagrange (£) harus dimaksimumkan:

( 2 £= ) log

e W + ∑ Θ i ( O i − ∑ T id ) + ∑ Θ d ( D d − ∑ T id ) + φ ( C − ∑∑ T id . C id )

Model sebaran pergerakan 207

( 2 dengan ) Θ

i , Θ i dan φ adalah pengali Lagrange. Perhatikan bahwa dirasakan lebih mudah memaksimumkan log e W sehingga memungkinkan digunakannya pendekatan

Stirling:

e N! Log ≈ Nlog e N − N (5.112) untuk menghitung fungsi faktorial. Nilai T id yang memaksimumkan £ dan yang

menghasilkan sebaran [T id ] yang paling memungkinkan didapat sebagai hasil solusi dari:

∂ T id

beserta batasan persamaan (5.22) dan (5.108). Dengan menggunakan pendekatan Stirling (5.112) maka persamaan (5.113) dapat ditulis sebagai:

( 2 ) = − log

e T id − Θ i − Θ d − φ . C id

T id

yang selanjutnya menghasilkan:

id = exp ( − Θ i − Θ d − φ . C id )

(5.115) Persamaan (5.114) disubstitusikan ke dalam persamaan (5.22) untuk mendapat-

( 2 kan ) Θ

dan Θ i :

exp ( − Θ i ) = O i . ∑ exp ( − Θ d − φ . C id )

d 

exp ( − Θ d ) = D d . ∑ exp ( − Θ i − φ . C id )

 Untuk mendapatkan hasil akhir dalam bentuk yang lebih dikenal, nyatakan:

( 2 exp ) Θ

exp Θ d

d (5.118)

(5.119) dan dengan menggunakan persamaan (5.116) − (5.117) dapat dinyatakan bahwa: − 1 −  1   

T id = O i .D d .A i .B d .f id

A i = ∑ ( B d . D d . f id ) ; B d = ∑ ( A i . O i . f id )

 Jadi, sebaran pergerakan yang paling memungkinkan adalah sama dengan model

GR seperti dengan persamaan (5.21) − (5.22); penurunan rumus secara statistik ini merupakan dasar teori baru untuk model GR. Dapat dilihat bahwa C sebagai batasan biaya (5.108) pada dasarnya tidak perlu diketahui karena secara praktis persamaan ini tidak menghitung φ . Parameter ini bisa didapat dengan metode perhitungan biasa. Akan tetapi, jika C diketahui, persamaan (5.108) dapat dipecahkan secara numerik untuk mendapatkan φ .

208 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Teori statistik ini menyebutkan bahwa jika total pergerakan bangkitan dan tarikan untuk setiap zona untuk suatu kategori pergerakan orang yang homogen serta biaya perjalanan antarzona diketahui, termasuk total biaya perjalanan yang dilakukan untuk seluruh daerah kajian tersebut, maka akan terdapat sebaran pergerakan antarzona yang paling memungkinkan, dan sebaran pergerakan tersebut sama dengan yang dihasilkan oleh model GR.

Sebagai tambahan, model GR juga bisa diturunkan dengan menggunakan metode nilai rata-rata (Darwin − Fohler). Penurunan model GR dengan menggunakan metode nilai rata-rata ini dibahas dalam Maclean (1976) dan Wilson (1970,1974). Permasalahan ini ditekankan karena dimungkinkannya penggunaan analogi metode ‘Mekanika − Statistik Darwin − Fohler’ untuk menghitung nilai rata-rata T id , selain cara yang telah dikembangkan sebelumnya, yaitu cara peluang yang paling memungkinkan.

Ditekankan juga bahwa dalam menghasilkan metode GR, metode ini tidak tergantung pada pendekatan seperti yang dilakukan dalam metode entropi- maksimum. Akan tetapi, secara praktis metode entropi-maksimum tetap sering digunakan dalam penurunan berbagai macam pemodelan pada umumnya dan pemodelan transportasi pada khususnya.