Pemecahan metode penaksiran

8.15 Pemecahan metode penaksiran

8.15.1 Pendahuluan Selama sepuluh tahun pertama penelitian pemodelan untuk daerah perkotaan,

kemajuan dalam pengembangan metode kalibrasi parameter model sangat lambat. Terdapat beberapa alasan yang menyebabkannya, tetapi yang terpenting adalah banyaknya model daerah perkotaan yang diusulkan telah dirumuskan dalam bentuk sistem persamaan tidak-linear, padahal pada saat itu pengetahuan mengenai teknik kalibrasi sistem persamaan tidak-linear masih belum cukup berkembang.

Karena proses kalibrasi adalah dasar paling utama dalam perancangan model, pembuat model harus mengerti dasar penurunan model, terutama struktur dan kepekaan setiap peubahnya. Selain itu, pengalaman yang didapatkan dalam penelitian dapat digunakan untuk mengevaluasi penyebab dan batasannya yang mungkin dapat menjadi bahan penelitian selanjutnya atau bahan yang harus diperhatikan oleh pengguna model tersebut. Biasanya, metode analitis dapat digunakan untuk mengkalibrasi model yang mempunyai hubungan linear dalam parameternya.

Bentuk model tidak-linear biasanya lebih sulit sehingga beberapa model terpaksa dijadikan linear dengan prosedur transformasi yang sering disebut intrinsically linear. Beberapa model tidak-linear lainnya yang tidak dapat ditransformasi disebut intrinsically non-linear.

420 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

8.15.2 Beberapa metode kalibrasi

Seperti yang telah diterangkan sebelumnya, pemilihan metode kalibrasi yang tepat merupakan hal yang terpenting yang perlu diperhatikan dalam pengembangan suatu model. Perbandingan kinerja beberapa metode kalibrasi akan dijelaskan berikut ini.

Batty (1976) dalam buku- nya melaporkan perbandingan antara lima buah metode kalibrasi kemiripan- maksimum, dilihat dari segi konvergensi yang dimulai dari nilai awal parameter yang sama, yaitu nol.

8.15.2.1 Perbandingan beberapa metode kalibrasi

Metode kalibrasi yang diuji adalah metode iterasi-orde-pertama, Newton − Raphson, pencarian-langsung (Fibonacci), pencarian-berurutan (Simplex), dan pencarian- kuadratis (Powell). Untuk diskusi yang lebih rinci untuk setiap metode kalibrasi, pembaca yang berminat disarankan membaca Batty (1976) dan Wilson and Kirkby (1980).

Pada gambar 8.3, waktu dan batas konvergen dirajah, memperlihatkan bahwa tingkat konvergensi sangat beragam antara berbagai metode kalibrasi yang digunakan dan juga tingkat batas konvergen berbeda bagi setiap metode.

− 1 − Contohnya, sampai dengan batas konvergen 10 2 dan 10 , metode Newton − Raphson dan metode Fibonacci merupakan metode yang paling efisien;

sedangkan jika di bawah 10 − 2 , metode Newton − Raphson yang paling efisien. Batas konvergen dikatakan dipenuhi jika besarnya perbedaan antara nilai parameter yang

− lama dengan yang baru lebih kecil dari yang telah ditetapkan, katakanlah 10 1 .

Gambar 8.3 Perbandingan grafis antara lima metode solusi Sumber: Batty (1976)

Dari perbandingan kinerja waktu proses komputer dari beberapa metode kalibrasi tidak dapat ditemukan metode kalibrasi yang terbaik; sehingga, dapat disimpulkan bahwa strategi yang terbaik hanya bisa

8.15.2.2 Metode kalibrasi hibrid

Model transportasi berdasarkan data arus lalulintas

Proses pencarian bisa dimulai dengan menggunakan metode iterasi-orde-pertama atau metode Fibonacci sampai dengan tingkat konvergen 10 − 1 dicapai; kemudian, − proses pencarian diganti dengan metode Newton 4 − Raphson sampai pada batas 10

dicapai, dan akhirnya pencarian diselesaikan dengan metode algoritma Powell atau metode Simplex. Beberapa strategi hibrid dapat digabungkan dari beberapa prosedur pencarian yang tersedia, dan strategi tersebut kemudian dapat diuji pada penelitian lebih lanjut.

Terdapat beberapa batasan pada setiap metode kalibrasi yang harus dipertimbangkan dalam merencanakan strategi hibrid. Proses metode iterasi-orde- pertama tidak efisien untuk nilai awal parameter yang rendah serta tidak terdapat jaminan bahwa metode Fibonacci akan konvergen. Metode Newton − Raphson dan metode algoritma Powell akan divergen jika dimulai dari nilai awal yang tidak tepat.

Tetapi, metode Simplex tidak mempunyai satu pun masalah yang disebutkan di atas sehingga metode kalibrasi ini dapat digunakan sebagai alternatif jika prosedur tersebut divergen atau konvergen dengan waktu yang sangat lambat. Sebagai

kesimpulan, metode Newton − Raphson adalah metode sangat efisien, dengan syarat nilai awalnya cukup baik. Karena itu, tidaklah terlalu berlebihan jika metode ini sering digunakan untuk mengkalibrasi parameter model untuk daerah perkotaan.

Beberapa perbandingan juga dilakukan oleh Batty (1976) antara metode Newton − Raphson dengan metode Simplex. Metode Newton − Raphson terlihat enam kali lebih cepat jika dibandingkan dengan metode Simplex. Tetapi, metode Newton − Raphson hanya akan bisa dimulai dari nilai awal yang baik, sedangkan metode Simplex dapat dimulai dari nilai berapa saja.

Oleh karena itu, Batty (1976) menyarankan penggunaan strategi hibrid; pada awalnya digunakan metode Simplex, dan untuk solusi akhir digunakan metode Newton − Raphson.

Pendekatan yang mirip dengan metode Newton − Raphson dipilih oleh Tamin (1988abcd) untuk mengkalibrasi parameter model kebutuhan akan transportasi dengan data arus lalulintas. Metode Newton − Raphson tersebut dijelaskan secara lebih rinci berikut ini.

8.15.3 Metode Newton − Raphson

Pertimbangkan kita mempunyai dua persamaan simultan yang masing-masing mempunyai dua parameter yang tidak

8.15.3.1 Kasus satu-tujuan-perjalanan

diketahui µ dan τ .

f () µ , τ = 0

g () µ , τ = 0

422 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

Metode Newton − Raphson kemudian digunakan untuk mendapatkan nilai µ dan τ dari persamaan (8.117). Asumsikan µ 0 dan τ 0 adalah pendekatan solusi dan anggaplah µ 0 +h dan τ 0 +p merupakan solusi sebenarnya sehingga:

Ide utama yang mendasari metode Newton − Raphson adalah bahwa fungsi f dan g yang diminimumkan akan didekati secara lokal dengan fungsi kuadrat; fungsi kuadrat tersebut kemudian diminimumkan.

Jadi, pada nilai µ 0 and τ 0 , kita dapat mendekati fungsi f dan g dengan menggunakan deret Taylor hanya sampai penurunan pertama. Dengan mengikuti teori deret Taylor dan menggunakan turunan pertamanya untuk h dan p (yaitu untuk r = 1), maka persamaan (8.118) dapat ditulis kembali sebagai:

f ()( µ , τ = f µ 0 , τ 0 ) + ∑  . + .

deret Taylor (8.119)

Untuk r = 1:

Persamaan (8.120) adalah dua persamaan linear simultan dengan parameter h dan p yang tidak diketahui yang akan dipecahkan untuk mendapatkan nilai h 0 dan p 0 sehingga ( µ 0 +h 0 ) dan ( τ 0 +p 0 ) adalah solusi yang lebih baik. Proses tersebut diulangi sampai nilai h 0 dan p 0 sangat kecil; identifikasi sudah konvergen.

Metode ini dapat dikembangkan untuk memecahkan beberapa set parameter µ k dan τ k , untuk K tujuan pergerakan atau

8.15.3.2 Kasus K-tujuan-perjalanan

(jenis komoditas dalam pergerakan barang) yang bergerak di dalam daerah kajian, dari beberapa persamaan simultan yang dibentuk untuk tujuan tersebut (1 ≤ k ≤ K).

Seperti pada kasus satu-tujuan-perjalanan (k = 1), solusi unik untuk µ k dan τ k bisa didapat dari 2K persamaan simultan linear yang dinyatakan dengan persamaan (8.121).

Model transportasi berdasarkan data arus lalulintas

Agar lebih mudah dipecahkan, persamaan (8.121) dituliskan dalam bentuk matriks:

 f 1 µ 1 ... f 1 µ K

f 1 τ 1 ... f 1 τ K   h 1 

 f K µ 1 ... f K µ 1 f K τ 1 ... f K τ K   h K   − f . K =   (8.122)

g 1 µ 1 ... g K µ 1 g 1 τ 1 ... g 1 τ 1   p 1 

  − g K   Semua fungsi dan turunan parsial pertama dari persamaan (8.122) dievaluasi pada

  g K µ 1 ... g K µ K g K τ 1 ... g K τ K     p K  

( µ 0 , τ 0 ) yang merupakan vektor dengan K komponen dengan f 1 µ K berarti turunan parsial dari f 1 untuk µ K ,( δ f 1 / δ µ K ). Setelah menentukan nilai awal yang baik ( µ 0 , τ 0 ), semua fungsi dan turunan parsial pertama dari persamaan (8.122) dapat dihitung.

Teknik eliminasi matriks Gauss − Jordan kemudian digunakan untuk memecahkan persamaan (8.122) untuk mendapatkan h 1 ,...,h K ,p 1 ,...,p K . Jadi, nilai yang baik untuk ( µ 0 , τ 0 ) adalah:

I + 1 I untuk k = 1, . . . . K (8.123)

Proses ini diulangi terus sampai nilai h k dan p k cukup kecil, yang menyatakan kondisi konvergen. Permasalahan utama yang ditemui dalam penggunaan metode Newton − Raphson adalah bagaimana mendapatkan nilai awal yang baik bagi setiap parameter model yang tidak diketahui; dengan kata lain, metode akan gagal mencapai kondisi konvergen.

Untuk mendapatkan uraian yang lebih jelas tentang metode Newton − Raphson, pembaca disarankan membaca Fröberg (1974) dan Luenberger (1984).

424 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

8.15.4 Teknik eliminasi matriks Gauss − Jordan

Pertimbangkan sejumlah N persamaan linear simultan seperti di bawah ini:

A 11 X 1 + A 12 X 2 + A 13 X 3 + ....=A 1,N+1

A 21 X 1 + A 22 X 2 + A 23 X 3 + ....=A 2,N+1

A 31 X 1 + A 32 X 2 + A 33 X 3 + ....=A 3,N+1

A N1 X 1 + A N2 X 2 + A N3 X 3 + ....=A N,N+1 Tujuan utama sekarang adalah mendapatkan solusi dari N persamaan linear

simultan. Persamaan (8.124) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks berikut:  A 11 A 12 A 13 . . . A 1 N   X 1   A 1 , N + 1 

Dengan menggunakan teknik eliminasi matriks Gauss − Jordan, persamaan (8.125) dapat dieliminasi dengan cara tertentu sehingga akhirnya didapat:

Seterusnya, nilai dari B 1 ,B 2 ,B 3 ,...,B N merupakan penyelesaian dari N persamaan linear simultan. Bagan alir dari teknik eliminasi matriks Gauss − Jordan dapat dilihat pada gambar 8.4.

Model transportasi berdasarkan data arus lalulintas

DO 60 J=L,N+1

DO 10 I=1, N+1 A(I,J)=A(I,J)-SxA(L,J) DO 20 J=1,N+1

YES

60 CONTINUE READ A(I,J)

50 CONTINUE

20 CONTINUE 10 CONTINUE

30 CONTINUE

DO 30 L=1,N

DO 70 I=1,N

R = A(L,L)

PRINT I, A(I,N+1)

DO 40 J=L,N+1

70 CONTINUE

A(L,J) = A(L,J)/R

DO 50 I=1,N

S=A(I,L)

Gambar 8.4 Bagan alir teknik eliminasi matriks Gauss − Jordan Sumber: Tamin (1985,1988a)