Metode penaksiran inferensi-bayes (IB)

8.12 Metode penaksiran inferensi-bayes (IB)

8.12.1 Dasar pendekatan

Tamin (1998c) mengembangkan metode penaksiran inferensi-bayes (IB) dengan dasar pemikiran mengkalibrasi parameter sedemikian rupa sehingga simpangan atau

Model transportasi berdasarkan data arus lalulintas

didapat dari data pengamatan ( Vˆ ) memberikan harga yang minimum. l

Metode penaksiran IB menggunakan konsep peluang subjektif untuk mengukur tingkat kepercayaan suatu keadaan. Dengan pendekatan ini, pertimbangan subjektif yang berdasarkan intuisi, pengalaman, ataupun informasi tidak langsung, secara sistematis digabungkan dengan data hasil pengamatan untuk mendapatkan penaksiran tentang keadaan sebenarnya (sebaran posterior). Pendekatan ini mengasumsikan parameter model sebagai peubah acak. Dengan demikian harus ditetapkan suatu fungsi sebaran yang menggambarkan tingkat kepercayaan parameter yang tidak diketahui. Para pembaca yang ingin mendapatkan penjelasan lebih rinci mengenai teori dasar metode IB dapat dilihat pada subbab 5.7.6.6 buku ini.

8.12.2 Penerapan metode IB

Metode pendekatan ini menggabungkan secara sistematis pertimbangan subjektif (prior) dengan data pengamatan (fungsi kemiripan) untuk mendapatkan penaksiran baru (posterior). Untuk fungsi kemiripannya, diasumsikan data volume arus

lalulintas ( Vˆ ) adalah sampel acak yang mengikuti sebaran Poisson dengan nilai l

rata-rata yang belum diketahui adalah τ l V l . Koefisien τ l mewakili faktor sampel untuk data arus lalulintas atau bagian kecil dari populasi data arus lalulintas yang

diamati.

Jadi [ Vˆ ] adalah pengamatan sejumlah peubah acak yang tersebar secara Poisson l dengan rata-rata τ l V l . Asumsi data arus lalulintas hasil pengamatan [ Vˆ ] l didasarkan pada keadaan praktis yang ditemui sehari-hari. Matriks [ Vˆ ] yang l

tersebar secara Poisson juga didapatkan dalam pengamatan kejadian yang saling tidak bergantungan dalam suatu selang waktu tertentu.

Penggunaan parameter τ l memungkinkan penerapan faktor sampel yang berbeda untuk setiap data arus lalulintas. Karena itu, dalam model ini juga dimungkinkan

penggunaan beberapa teknik pengambilan sampel yang berbeda. Bentuk yang paling banyak digunakan adalah pengambilan sampel secara acak dengan menggunakan satu nilai tunggal τ yang diterapkan untuk semua data arus lalulintas

(sampel seragam). Dengan hipotesis bahwa setiap data arus lalulintas, nilai Vˆ l

didapatkan dari pengamatan kejadian yang mengikuti sebaran Poisson dengan rata-

rata τ l V l , maka peluang gabungan untuk mendapatkan [ Vˆ ] adalah: l

τ V . [] e []

L V ˆ l = Prob V ˆ

Konstanta normalisasinya menjadi:

414 Ofyar Z Tamin, Perencanaan dan pemodelan transportasi

 . f () τ l V l d( . τ l V l ) 

 Karena persamaan (8.99) suatu konstanta, untuk selanjutnya hanya ditulis dengan

‘k’ saja. Bagian sebaran awal (prior) atau sebaran peluang parameter dinyatakan dengan f( τ l V l ) yang akan dibahas berikut ini.

Informasi awal adalah suatu fungsi sebaran parameter untuk menggambarkan tingkat kepercayaan parameter yang tidak diketahui. Jika tidak ada informasi awal parameter tersebut, diasumsikan sebaran awal seragam, yaitu:

f( τ l V l ) = 1,0 (8.100) Dengan fungsi kemiripan sama dengan persamaan (8.98) dan k sebagai konstanta

normalisasi, maka ‘sebaran τ l V l yang baru’ adalah:

IB = k .  ( τ l

() τ l V l

Sesuai dengan ide dasar metode inferensi-bayes (IB), metode ini akan mencari nilai parameter yang memaksimumkan fungsi peluang gabungan posterior yang dinyatakan oleh persamaan (8.101), sehingga menghasilkan sebaran V l yang paling

sesuai dengan MAT hasil pengamatan ( Vˆ ). Dengan mengambil bentuk logaritma l

naturalnya, fungsi tujuan metode ini menjadi:

memaksimumkan IB ( τ l V l )= ∑ ( log e k + V ˆ l log e () τ l V l − τ l V l − log e V ˆ l ! ) (8.102)

Dengan mengembangkan lebih lanjut persamaan (8.102) dan menghilangkan bagian konstanta, akan didapat:

memaksimumkan IB ( τ l V l ) = ( V ∑ ˆ l log e V l − τ l V l )

Untuk nilai persentase sampel yang sangat kecil, ( τ <<1), dapat dilihat bahwa nilai suku kedua dari fungsi tujuan persamaan (8.103) sangat kecil sehingga dapat diabaikan. Akhirnya, fungsi tujuan metode penaksiran IB dapat dituliskan sebagai:

memaksimumkan IB ( τ l V l ) = ∑ ˆ ( l V log e V l )

Dengan memasukkan persamaan (8.52) ke persamaan (8.104), akhirnya fungsi tujuan untuk metode penaksiran IB dapat dinyatakan sebagai persamaan (8.105) dengan parameter yang tidak diketahui b k , α k , dan β k (untuk k = 1,...,K):

memaksimum kan

IB = ∑  V l . log e  ∑∑ T id . p id  

Model transportasi berdasarkan data arus lalulintas

Untuk mendapatkan satu set parameter b k , α k , dan β k dari model GO yang memaksimumkan persamaan (8.105), tiga set persamaan (8.106) berikut dibutuhkan:

∂ IB   

 ∂ T id

= fb k = ∑   ∑∑

   ∑∑ ( T id .   p id  

= f α k = ∑   ∑∑

   k  

. p id  . 

 ∑∑ ( T id . p id ) 

= f β k = ∑   ∑∑

 i  d  ∂ β k

. p id  . 

   ∑∑ ( T id . p id ) 

Persamaan (8.106) adalah sistem 3K persamaan simultan dengan 3K parameter yang tidak diketahui b k , α k , dan β k untuk ditaksir dengan syarat L ≥ 3K. Metode Newton − Raphson dengan teknik eliminasi matriks Gauss − Jordan digunakan untuk memecahkan persamaan (8.106).