BAB III KEGIATAN BELAJAR 2 PEMBELAJARAN PERKALIAN DAN PEMBAGIAN
BILANGAN BULAT SERTA PERMASALAHANNYA
A. Kompetensi dan Indikator
Kompetensi: • Mengalikan bilangan bulat
• Membagi bilangan
bulat Indikator
• Mampu melakukan perkalian dua bilangan bulat positif
• Mampu melakukan perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
• Mampu melakukan perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif
• Mampu melakukan perkalian dua bilangan bulat negatif
• Mampu melakukan pembagian dua bilangan bulat positif
• Mampu melakukan pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif
• Mampu melakukan pembagian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif
• Mampu melakukan pembagian dua bilangan bulat negatif
B. Uraian Materi
Materi yang akan dibahas dalam Kegiatan Belajar 2 ini dapat dikatakan sebagai materi pengayaan. Namun hal ini perlu Anda
pelajari pu1a dengan sungguh-sungguh. Di samping sebagai materi tambahan, juga berguna untuk memperluas wawasan pengetahuan
Anda, sehingga Anda sendiri nantinya punya cukup bekal untuk menyampaikan pengetahuan ini kepada siswa agar tidak terjadi
penyampaian konsep yang tidak pada tempatnya. Seperti halnya pada waktu membahas operasi penjumlahan
dan pengurangan, maka untuk mengenalkan konsep operasi hitung
perkalian dan pembagian pada sistem bilangan bulat juga dilakukan melalui 3 tahap, yaitu: tahap pengenalan konsep secara konkret,
tahap pengenalan konsep secara semi konkret dan tahap pengenalan konsep secara abstrak. Selanjutnya karena materi yang
ada pada kegiatan belajar ini sifatnya pengayaan, maka pembahasannya diarahkan ke dalam tahap yang ketiga, sedangkan
untuk tahap pertama dan tahap kedua dapat Anda pelajari, pada bahan pendukung. Namun, agar materi yang Anda pelajari ini dapat
diterima secara berkesinambungan sebelum melanjutkan pembahasan materi yang ada dalam bahan ajar ini, ada baiknya
Anda pelajari terlebih dahulu bahasan materi yang ada dalam bahan pendukung.
C. Operasi hitung perkalian bilangan bulat Pengenalan konsep secara konkret.
Sebelum membahas perkalian bilangan bulat, cobalah Anda kaji kembali pengertian tentang perkalian bilangan Asli dan Cacah, dan
sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilangan Asli dan Cacah yang mungkin pernah Anda ajarkan kepada siswa Anda di SD kelas rendah.
Pada operasi perkalian bilangan cacah, telah diketahui bahwa “3 x 4” yang dibaca tiga kali empat diartikan sebagai “4 + 4 + 4” sedangkan “4
x 3” yang dibaca empat kali tiga diartikan sebagai “3 + 3 + 3 + 3”. Dari uraian yang singkat ini, dapat kita tekankan bahwa sebenarnya
perkalian pada suatu bilangan dapat diartikan sebagai penjumlahan berulang. Berarti, untuk mencari hasil dari a x b sama halnya dengan cara
menunjukkan penjumlahan b + b + b + ... + b sebanyak a kali. Berpedoman pada prinsip tersebut, maka dapatlah diperlihatkan bentuk -
bentuk peragaan perkalian bilangan-bilangan bulat menggunakan garis bilangan dengan berbagai kemungkinannya, yaitu:
1. Jika a x b dengan a 0 dan b 0, maka prinsip kerja yang harus dijalankan adalah:
a. Pasang model mobil pada skala 0 dan menghadap ke kanan
bilangan positif. b. Langkahkan model mobil maju sebanyak a langkah, dan setiap
langkah sebanyak b skala c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya
Langkah Peragaan: Contoh 1: 3 x 2 = ... ?
2. Jika a x b dengan a 0 dan b 0, maka prinsip kerja yang harus dijalankan adalah:
a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan negatif.
b. Langkahkan model mundur sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b satuan.
c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya.
Contoh 2: 3 x -2 = … ? Arah mobil menghadap ke kanan dan
gerakannya maju 3 kali, tiap gerakan 2 satuan.
3 4
2 1
5 6
7
Arah mobil menghadap ke kanan dan gerakannya mundur 3 kali, tiap gerakan 2 satuan.
-3 -2 -4
-5 -1
-6
2. Jika a x b dengan a 0 dan b 0, maka prinsip kerja yang harus
dijalankan adalah: a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan negatif
b. Langkahkan model maju sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b satuan
c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya Contoh 3: - 3 x 2 = …
. 3. Jika a x b dengan a O dan b 0, maka prinsip kerja yang harus
dijalankan adalah: a. Pasang model pada skala 0 dan
menghadap ke bilangan negatif.
b. Langkahkan model mundur sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b satuan
c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya. Contoh: -3 x -2 = ...
-5
Arah mobil menghadap ke kiri dan gerakannya maju 3 kali, tiap gerakan 2 satuan.
-3 -2
-4 -1
-6
3 4
2
1
5 6
7
1. Perkalian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Positif Menggunakan Pola Bilangan
Mengalikan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif caranya sama seperti: pada waktu melakukan perkalian pada
bilangan - bilangan Asli dan Cacah sebagai berikut: a . 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 1 2 .
b . 4 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 1 2 . c.
3 x 7 = 7 + 7 + 7 = 21. Dari contoh tersebut, dapatlah disimpulkan bahwa:
Hasil kali dua buah bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.
2. Perkalian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif
Pada subbahasan di atas telah dijelaskan bahwa 3 x 4 sama artinya dengan penjumlahan berulang terhadap bilangan 4 sebanyak
3 kali, atau 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 1 2 . Selanjutnya dengan menggunakan pengertian tersebut, cobalah Anda kerjakan soal-soal
perkalian berikut: 3 x - 4 ; 4 x - 3 ; dan 2 x - 8 . Silakan Kemudian bandingkan lah jawaban Anda dengan keterangan
berikut: a . 3 x - 4 sama artinya dengan -4 + - 4 + - 4 = - 1 2 ,
jadi: 3 x - 4 = - 1 2 . b . 4 x - 3 sama artinya dengan -3 + -3 + -3 + -3 = -11,
Arah mobil menghadap ke kiri dan gerakannya mundur 3 kali, tiap gerakan 2 satuan.
jadi 4 x - 3 = - 1 2 . c . 2 x - 8 sama artinya dengan -8 + -8 = -16,
jadi 2 x - 8 = - 1 6 . Dari keterangan serta penjabaran contoh di atas, memberi
petunjuk kepada kita bahwa hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.
3. Perkalian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Positif
Pada sub bahasan ini masih akan membicarakan perkalian antara bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, tetapi
dengan penempatan yang berbeda. Artinya kita akan mencari tahu bagaimanakah cara menghitung soal seperti: - 4 x 2 ; - 5 x 2 ; -
6 x 2 , dan seterusnya dengan posisi bilangan negatif letaknya pada bilangan pertama.
Tentunya proses pengerjaannya tidak dapat dilakukan menggunakan prinsip penjumlahan berulang seperti contoh di atas.
Lalu, bagaimana caranya? Pandang bentuk perkalian - perkalian berikut:
4 x 2 = 8 3 x 2 = 6
2 x 2 = 4 1 x 2 = 2
0 x 2 = 0 -1 x 2 = ...
-2 x 2 = ... -3 x 2 = ...
-4 x 2 = ....
Simpulan: -2
Amati hasilnya, perhatikan
polanya, dengan pola tersebut
jawablah pertanyaan apa
yang dapat kamu simpulkan
-2 -2
-2 berkurang 2
-2
Hasilkali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat .... ?
Untuk dapat melengkapi hasil perkalian di atas, amati dan kajilah keterangan berikut:
Perhatikan perkalian-perkalian pada contoh di atas. Dalam kelompok tersebut terlihat bahwa dari urutan teratas sampai urutan di bawahnya,
bilangan pengali selalu berkurang 1 dari 4 ke 3 berkurang l, dari 3 ke 2 berkurang 1, dan seterusnya. Sedangkan bilangan yang dikalinya tetap,
yaitu 2. Hasil-hasil perkalian dari urutan yang teratas ke urutan berikutnya selalu berkurang 2 dari 8 ke 6 berkurang 2, dari 6 ke 4 berkurang 2,
dan seterusnya. Dengan memperhatikan pola atau aturan yang terlihat dari perkalian di
atas, maka dapatlah kita tentukan hasil kali bilangan-bilangan yang ada di bawah garis putus-putus, yaitu:
-1 x 2 = -2 di dapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu 0, dikurang 2
-2 x 2 = -4 di dapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu -
2, dikurang 2. -3 x 2 = -6
di dapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu - 4, dikurang 2
- 4 x 2 = -8 di dapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu -
6, dikurang 2. Dan jika perkalian ini diteruskan, maka akan selalu menghasilkan
bilangan bulat negatif. Dari pola-pola di atas maka kita dapat menarik suatu kesimpulan,
yaitu: hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat
positif adalah bilangan bulat negatif.
Selanjutnya kita dapat menyelesaikan soal-soal seperti: 1. -4 x 6 = -24.
2. -5 x 7 = -35. 3. -3 x 9 = -27.
4. -2 x 8 = -16.
4. Perkalian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Negatif
Pada subbahasan ini kita akan membahas bagaimana menentukan proses penyelesaian soal-soal seperti -1 x -2, -2 x -
2, -3 x -2 dan seterusnya. Gunakan pola-pola perkalian seperti pola di atas:
4 x -2 = -8 3 x -2 = -6
2 x -2 = -4 1 x -2 = -2
0 x -2 = 0 -1 x -2 = ...
-2 x -2 = ... -3 x -2 = ...
Simpulan: Hasilkali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif adalah
bilangan bulat ....? positif
Dari pola-pola tersebut apa yang dapat Anda simpulkan? Ya, kesimpulan yang dapat diperoleh adalah: hasil kali dua buah bilangan
bulat negatif merupakan bilangan bulat positif. Dengan demikian kita dapat menyelesaikan soal-soal seperti:
1
.
-7 x -3 = 21 4. -8 x -7 = 56
2
.
-4 x -5 = 20 5. -6 x -5 = 30
3. -9 x -6 = 54 6. -15 x -20 = 300
Lengkaplah semua perkalian yang mungkin pada bilangan- bilangan bulat, sehingga dengan mudah kita dapat menghitung hasil
kali sebarang dua buah bilangan bulat. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa:
Amati hasilnya, perhatikan
polanya, dengan pola tersebut
jawablah pertanyaan apa
yang dapat kamu simpulkan
bilangan bulat positif x bilangan bulat positif _ bilangan bulat positif. bilangan bulat positif x bilangan bulat negatif _ bilangan bulat
negatif. bilangan bulat negatif x bilangan bulat positif _ bilangan bulat negatif. bilangan bulat negatif x bilangan bulat negatif _
bilangan bulat positif.
D. Operasi Pembagian Pada Bilangan Bulat
Operasi pembagian pada dasarnya sama dengan mencari faktor bilangan yang belum diketahui. Karenanya bentuk pembagian dapat
dipandang sebagai bentuk operasi perkalian dengan salah satu faktor nya belum diketahui. Sebagai contoh, kalau dalam perkalian 3 x 4 = n, maka
tentu nilai n = 12. Dalam pembagian hal tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk 12 : 3 = n atau 12 : 4 = n. Dari bentuk ini, bagaima7akah proses
mencari nilai n-nya? Seperti halnya pada operasi hitung penjumlahan, pengurangan, dan
perkalian, maka pada operasi hitung pembagian pada bilangan bulat pada tahap pengenalan konsep secara konkret juga dapat di dekati dengan
menggunakan alat peraga balok garis bilangan. Selanjutnya, untuk memperagakan hasil pembagian bilangan bulat dengan menggunakan
balok garis bilangan ini, prinsip kerja yang harus diperhatikan adalah: Untuk menuju bilangan yang akan dibagi misal a, dengan skala sebesar
bilangan pembaginya misal b, berapa langkahkah kita dapat menjalankan model, baik maju maupun mundur agar dapat sampai ke
bilangan a. Posisi awal model tergantung pada bilangan pembaginya. Bila bilangan
pembaginya merupakan bilangan positif b 0, maka posisi awal model. “menghadap ke bilangan positif. Sebaliknya, bila bilangan pembaginya
merupakan bilangan negatif b 0, maka posisi awal model “menghadap ke bilangan negatif.
Bilangan yang merupakan hasil pembaginya ditentukan dari jumlah langkah, sedangkan jenis bilangannya ditentukan oleh “gerakan maju atau
mundurnya model”. Bila model bergerak maju dengan jumlah langkah
tertentu, maka hasil baginya merupakan bilangan positif yang besarnya sesuai dengan jumlah langkah yang terjadi. Selanjutnya, bila model
bergerak mundur dengan jumlah langkah tertentu, maka hasil baginya merupakan bilangan negatif yang besarnya sesuai dengan langkah yang
terjadi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan peragaan beberapa contoh berikut. Sementara itu, untuk kelancaran memahami proses kerja alat ini,
banyak - banyaklah berlatih dengan contoh-contoh yang Anda buat sendiri. .
a. - 6 : 2 =....? .
1. Dari soalnya diketahui b 0, berarti posisi awal model menghadap
ke bilangan positif pada skala 0. 2. Untuk sampai ke bilangan -6
model bergerak mundur sebanyak 3 langkah dengan
masing-masing langkah sebanyak 2 skala bilangan pembaginya 2.
3. Hasil dari – 6 : 2 = -3 diperlihatkan oleh mundurnya model sebanyak
3 langkah. b. – 6 : -2 = ....?
1. Dari soalnya diketahui b 0, bernrti posisi awal model menghadap
ke bilangan negatif pada skala 0. 2. Untuk sampai ke bilangan -6
model bergerak maju sebanyak 3
langkah dengan masing-masing langkah sebanyak 2 skala bilangan pembaginya -2.
3. Hasil dari -6 : -2 = 3 diperlihatkan oleh majunya model sebanyak 3 langkah.
Selanjutnya, dalam tahap pengenalan konsep secara semi konkret, seperti halnya pada operasi-operasi sebelumnya maka pada
operasi pembagian pun prosesnya diarahkan kepada bagaimana “menggunakan garis bilangan.
Demikian uraian singkat bagaimana seharusnya menanamkan konsep operasi hitung pembagian bilangan bulat dalam tahap konkret
dan semi konkret. Selanjutnya, uraian berikut akan dipaparkan bagaimana seharusnya kita menanamkan konsep operasi hitung
pembagian pada bilangan bulat secara semi abstrak atau abstrak. Coba Anda perhatikanlah bentuk-bentuk perkalian berikut:
- 3 x a =15. - 4 x b = I2.
- 7 x c = 28. Yang menjadi pertanyaannya adalah, berapakah nilai a, b, c dari
perkalian-perkalian tersebut. Untuk mencari nilai a, sama artinya dengan mencari jawab
pertanyaan berikut: 1 Bilangan manakah yang jika dikalikan dengan 3 menghasilkan
15, atau 2 Berapakah nilai 15: 3?
Dua pertanyaan di atas, tentunya menghasilkan bilangan yang sama. Jadi bila dalam pertanyaan pertama sudah pasti
bilangan yang dimaksud 5, berarti pula nilai dari 15 : 3 = 5 p a = S. Bagaimana dengan nilai b dan c?
Uraian di atas memberikan petunjuk kepada kita bahwa membagi 15 dengan 3 sama artinya dengan mencari bilangan yang
harus dikalikan 3 untuk memperoleh 15. Dengan demikian dapat lah dikatakan bahwa “pembagian merupakan operasi kebalikan dari
perkalian”. Jadi, 15: 3 = 5
⇔ 3 x 5 =15. Berarti 12: 4 = n
⇔ 4 x n = 12 dan 12: 3= n ⇔ 3 x n = 12 Dari bentuk 4 x n = 12 didapat n = 3, sehingga 12 : 4 = 3
sedangkan dari bentuk 3 x n = 12 didapat n = 4, sehingga 12 : 3 = 4.
Hitunglah pembagian bilangan-bilangan bulat berikut: a. 40: -8 =...
c. -72: -9 = …
b. -48:6 =... d 45:5 =...
Penyelesaian a. 40: -8 = -5, sebab -5 x -8 = 40
b. -48: 6-= -8, sebab -8 x b = - 48 c. -72: -9 = 8,
sebab 8 x -9 = -72 d. 45: 5 = 9,
sebab 9 x 5 = 45
E. Rangkuman
Kategori