BAB II KEGIATAN BELAJAR 1 PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DI SDMI
DAN PERMASALAHANNYA
A. Kompetensi dan Indikator
Kompetensi: 1. Mengenal
bilangan bulat
2. Melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat
3. Melakukan operasi perkalian dan pembagian bilangan bulat pengayaan
Indikator • Mampu mengenal bilangan bulat dalam kehidupan
sehari-hari • Mampu melakukan penjumlahan dan pengurangan
bilangan bulat dengan menggunakan manik- manik • Mampu melakukan penjumlahan dan pengurangan
bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan
• Mampu melakukan perkalian dan pembagian bilangan bulat dengan menggunakan pola bilangan
• Mampu perkalian dan pembagian bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan
B. Uraian Materi
Uraian dalam Kegiatan Belajar I diawali dengan membahas bagaimana menerapkan konsep bilangan bulat dengan pendekatan
sebagai berikut. Pembahasan bilangan bulat integers tidak bisa
dipisahkan dari uraian tentang bilangan asli Natural Number dan
bilangan Cacah Counting Numbers. Jadi sebelum membahas kajian
bilangan bulatnya, akan disinggung terlebih dahulu tentang pembentuk
bilangan bulat dari proses operasi hitung pada bilangan asli dan cacah.
Masih ingatkah Anda pada waktu pertama kali mengenal bilangan, atau bagaimana kita memperkenalkan bilangan ini kepada anak kita.
Tentunya kita sepakat salah satu caranya adalah dengan menggunakan jari-jemari anak tersebut dalam mengenalkan bilangan
satu, dua, tiga dan seterusnya. Jadi yang kita kenalkan ini sebenarnya adalah bilangan asli.
Selanjutnya akan kita kaji proses pembentukan bilangan bulat dengan memperluas himpunan bilangan asli dan cacah. Pada
himpunan bilangan asli, kita dapat melakukan proses perhitungan yang menghasilkan bilangan asli pula, misal: 4 + 5 = 9. kita ketahui bahwa 4
dan 5 merupakan bilangan asli, sedangkan hasil penjumlahan tersebut, yaitu 9 juga merupakan anggota dari himpunan bilangan asli.
Jadi pada kalimat penjumlahan 4+5= ... , hasilnya adalah bilangan 9. berarti pada bilangan asli a dan b selalu ada bilangan asli c untuk
melengkapi kalimat a + b=...... sehingga menjadi a + b = c. Jadi, kalimat - kalimat penjumlahan, 4 + 5 = ...; 4 + 3 =... ; 6 + 5
=.... selalu dapat dilengkapi oleh bilangan asli, yaitu 9, 7 dan 11, sehingga bentuk kalimat lengkapnya menjadi 3 + 5= 8, 4 + 3 =7, dan 6
+ 5 = 11. Sekarang, perhatikanlah kalimat yang berbentuk ”a + ... = b”,
dengan a dan b bilangan asli. apakah kalimat tersebut selalu dapat dilengkapi oleh bilangan asli? Bagaimana menurut pendapat Anda?
Belum tentu, pendapat Anda benar sekali bahwa kalimat a + ... =b tidak selalu dapat dilengkapi bilangan asli. Misalkan untuk bentuk
kalimat 6 + ... = 4 lalu dengan bilangan yang bagaimana kita dapat melengkapi kalimat tersebut agar menjadi kalimat yang benar. Sebagai
solusinya, maka kita perlu memperluas himpunan semua bilangan asli agar jawaban dalam kalimat tersebut termuat dalam himpunan
bilangan yang baru ini. Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah, bagaimana cara
memperluas himpunan bilangan asli tersebut agar kita dapat
melengkapi bentuk - bentuk kalimat seperti 6 + ... = 4; 5 + ... = 2; 7 + ... = 5; dan sebagainya .
Sekarang perhatikanlah kalimat yang membentuk a + ... = b di atas. jika a = 4 dan b = 9 a b , maka bentuk kalimat 4 + ... = 9 solusinya
berupa bilangan asli 5, dan untuk mendapatkan bilangan 5 ini dapat diperoleh dengan mengubah kalimat 4 + ... = 9 menjadi 9 - 4 dengan
mengenalkan suatu operasi pengurangan - yang solusinya juga 5, sehingga 4 + 5 = 9 sama artinya dengan 9 - 4 = 5.
Lalu, bagaimana proses menentukan bentuk pelengkap dari a + ... =b atau a - b = ... jika a = 9 dan b = 4 a b ? Tentunya solusi dari
kalimat tersebut bukanlah merupakan bilangan asli. Bentuk kalimat - kalimat seperti inilah yang akan memperluas himpunan semua
bilangan asli. Tentunya Anda telah mengenal bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5... atau yang kita kenal sebagai bilangan cacah , dan jika disajikan ke
dalam garis bilangan dapat Anda lihat pada gambar 2.1 di bawah ini.
Gambar 2.1 Pada garis bilangan di atas kalau mobil bergerak maju dari 0 nol ke
kanan sebanyak 4 langkah, maka mobil akan sampai pada bilangan 4 lihat gambar 2.2
.
Gambar 2.2 Selanjutnya, kalau mobil bergerak lagi maju dari bilangan 4 ini
sebanyak 2 langkah ke kanan, maka mobil akan sampai pada bilangan 6 lihat gambar 2. 3.
3 4
2 1
5 6
7
3 4
2 1
5 6
7
Gambar 2.3 Sekarang, kalau mobil bergerak mundur dari bilangan 5 ke kiri
sebanyak 4 langkah, maka mobil akan sampai pada bilangan 1 lihat gambar 2.4
Gambar 2.4 Lalu bagaimana kalau mobil bergerak mundur sebanyak 2 langkah dari
bilangan 0 nol . Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka garis bilangan harus diperpanjang ke kiri.
Gambar 2.5 Kemudian kita harus melengkapi terlebih dahulu bilangan - bilangan di
sebelah kiri 0 pada garis bilangan di atas, yaitu dengan kajian sebagai berikut .
3 4
2 1
5 6
7
3 4
2 1
5 6
?
3 4
2 1
5 6
7
Bila mobil bergerak ”maju ” ke kanan 1 langkah maka bilangan yang dituju sama dengan bilangan tempat mobil mulai bergerak di ”tambah”
1. Contoh: Jika mobil bergerak maju 1 langkah ke kanan dari bilangan 2
maka mobil akan sampai pada bilangan 2 + 1 = 3. Sebaliknya kalau mobil bergerak ”mundur” ke arah kiri 1 langkah ,
maka bilangan yang dituju sama dengan bilangan tempat mobil mulai bergerak ”dikurangi” 1.
Contoh : Jika kita melangkah mundur 1 langkah ke kiri dari bilangan 4, maka kita akan sampai pada bilangan 4 - 1 = 3.
Jika Anda sudah paham dengan dua prinsip di atas selanjutnya kita mlengkapi garis bilanganya.
Kalau mobil bergerak mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak 1 langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 1 atau
0 – 1.
Gambar 2.6 Kalau mobil bergerak mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak 2
langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 2 atau 0 - 2 .
0– 1
3 4
2 1
5 6
7
Gambar 2.7 Selanjutnya kalau mobil bergerak m
undur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak 3 langkah , tentunya bilangan yang dituju sama dengan 0
dikurangi 3 atau 0 - 3.
Gambar 2.8 Untuk memudahkan penulisan pada garis bilangan berdasarkan
kesepakatan para ahli matematika 0 - 1, 0 - 2, 0 - 3 dan seterusnya ditulis sebagai negatif 1, negatif 2, negatif 3 ditulis -1, -2, -3, ... dan
seterusnya. Jadi, 0 – 1 = 1, 0 – 2 = - 2, 0 – 3 = - 3. dan seterusnya. Dengan demikian kita mendapatkan bilangan – bilangan baru dari
perluasan bilangan asli, yaitu: -1, -2, -3, -4, -5....sehingga bentuk garis bilanganya menjadi
Gambar 2.9 Jadi bilangan – bilangan yang terdapat pada garis bilangan pada
gambar 2.9 di atas disebut sebagai himpunan bilangan bulat yang ditulis B = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ... } .
Berarti pada bilangan bulat terdiri dari :
3 4
2 1
-2 -1
-3 -4
0– 2
3 4
2 1
5 6
7
7
0–3 3
4 2
1 5
1. Bilangan – bilangan yang bertanda negatif {-1, -2, -3, -4, ... } yang selanjutnya disebut bilangan bulat negatif.
2. Bilangan 0 nol , dan 3. Bilangan – bilangan yang bertanda positif { 1, 2, 3, 4, ... } yang
selanjutnya disebut bilangan bulat positif. Jadi, dengan adanya himpunan bilangan bulat maka bentuk solusi
dari kalimat – kalimat 6 + ... = 4; 5 + ... = 2; 7 + ... = 5; dan 9 + ... = 4 dapat ditentukan dengan cara atau langkah – langkah sebagai berikut :
Bentuk 6 + ... = 4 dapat ditulis sebagai 4 – 6 = ... dan untuk mendapatkan hasil ini, Anda dapat lihat dalam peragaan berikut Lihat
gambar 2.10.
Gambar 2.10 Keterangan :
− Mula-mula dari skala 0 mobil bergerak maju sebanyak 4 langkah sampai berhenti di skala 4. hal ini untuk menunjukkan bilangan
positif 4. − Kemudian dari skala 4 tersebut mobil bergerak mundur sebanyak 6
langkah sampai berhenti di skala -2 dengan arah mobil tetap mengarah ke bilangan positif mengapa?.
− jadi bilangan -2 inilah yang merupakan bentuk selesaian dari kalimat
− 6 + ... = 4, yaitu : 6 + -2 = 4 atau 4 – 6 = -2.
Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bentuk selesaian dari kalimat – kalimat 5 + ... = 2 ; 7 + ... = 5; dan 9 + ...= 4,
yaitu -3, -2, -5.
3 4
2 1
-2 -1
-3 -4
Dalam kehidupan sehari – hari, tentunya anda pernah mendengar pertanyaan – pertanyaan berikut :
1. hutang 50 rupiah ; 2. enam derajat di bawah nol;
3. 150 meter di bawah nol; 4. mengalami kerugian sebesar Rp 1. 500, 00;
5. turun harga sebesar Rp 125, 00 Sebenarnya pertanyaan di atas merupakan bentuk aplikasi dari
bilangan bulat negatif dalam kehidupan sehari – hari. Hutang 50 rupiah menyatakan -50; enam derajat di bawah nol menyatakan -6, 150 meter
di bawah permukaan laut menyatakan -150, mengalami kerugian sebesar Rp. 1.500,00 menyatakan -1500, dan turun harga sebesar Rp
125, 00;menyatakan – 125. Jadi perluasan himpunan bilangan asli menjadi bilangan bulat
bukan hanya sekedar memenuhi kebutuhan kalimat – kalimat yang berbentuk a + ... = b, dengan a b melainkan untuk keperluan proses
penghitungan yang lebih luas lagi dalam kehidupan nyata, seperti : untuk melakukan pembukuan, pemasaran, perdagangan, industri, dan
iptek. Selain itu tumbuh pula untuk melakukan proses hutang piutang, maju – mundur , atas bawah seperti pernyataan – pernyataan di atas.
Dalam proses pembelajaran matematika di SDMI perlu dijelaskan bahwa keberadaan bilangan negatif memang perlu,
misalkan untuk mengetahui kedalaman laut, pengukuran suhu temperatur yang negatif setelah diukur dengan termometer, dan lain
sebagainya yang ada kaitannya dengan bilangan bulat.
Operasi Hitung pada Bilangan Bulat
Menurut kurikulum KTSP Depdiknas, 2006 bilangan bulat baru diperkenalkan pada siswa SDMI di kelas IV semester 2 pada siswa yang
masih dalam taraf berpikir konkret. Ini berarti pendekatan yang harus
dilakukan harus sesuai dengan tingkat perkembangan mental anak di usianya.
Banyak permasalahan yang muncul pada sistem bilangan bulat bagi siswa–siswa SDMI kelas IV, misalkan pada waktu mereka akan
melakukan operasi hitung seperti : 4 + -7 ; -6 + 9; -3 – -6 2 – 7 ; dan sebagainya. Masalah yang muncul dalam kaitannya dengan soal –
soal tersebut adalah bagaimana memberikan penjelasan dan cara menanamkan pengertian operasi tersebut secara konkret, karena kita tahu
bahwa pada umumnya siswa berpikir dari hal – hal yang bersifat konkret menuju hal – hal yang bersifat abstrak.
Untuk mengenalkan konsep operasi hitung pada sistem bilangan bulat dapat dilakukan melalui 3 tahap, yaitu :
Tahap 1: pengenalan konsep secara konkret, Tahap 2: pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak,
Tahap 3: pengenalan konsep secara abstrak.
Tahap Pengenalan Konsep Secara Konkret
Alat peraga manik – manik pendekatannya menggunakan konsep himpunan. Seperti kita ketahui bahwa ada himpunan, kita dapat
menggabungkan atau memisahkan dua himpunan yang dalam hal ini anggotanya berbentuk manik – manik . bentuk alat ini dapat berupa
bulatan – bulatan lingkaran. Alat ini biasanya terdiri dari dua warna, satu warna untuk menandakan bilangan positif misal kuning, sedangkan
warna lainya untuk menandakan bilangan negatif misal merah
Warna kuning mewakili bilangan Warna
merah mewakili
bilangan Positif
negatif
Dalam alat ini bilangan nol netral diwakili oleh dua buah manik – manik dengan warna berbeda yang dihimpitkan, sehingga membentuk
sepasang manik-manik misal warna kuning-merah, dua pasang manik- manik, dan seterusnya
atau
Netral = bernilai 0
atau
atau Menggambarkan bilangan
positif +5
Menggambarkan bilangan negatif 5 -5
Bentuk netral ini dipergunakan pada saat kita akan melakukan operasi pengurangan
a – b dengan b a atau b 0. selanjutnya, dalam
menggunakan alat peraga ini dalam hal ini untuk melakukan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan harus memperhatikan beberapa
prinsip kerjanya, yaitu : Dalam
operasi hitung,
proses penggabungan dalam konsep himpunan dapat diartikan sebagai
penjumlahan , sedangkan proses
permisahan dapat diartikan sebagai pengurangan. Berarti, kalau kita
menggabungkan sejumlah manik – manik ke dalam kelompok manik – manik lain sama halnya dengan melakukan
penjumlahan . Namun
demikian, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam melakukan proses penjumlahan, yaitu :
1. jika
a 0 dan b 0 atau a 0 dan b 0, maka gabungkanlah sejumlah
manik-manik ke dalam kelompok manik – manik lain yang warnanya sama.
2. jika a 0 dan b 0 atau sebaliknya, maka gabungkanlah sejumlah
manik – manik yang mewakili bilangan positif ke dalam kelompok manik – manik yang mewakili bilangan negatif.. Selanjutnya, lakukan
proses ” pemasangan” di antara kedua kelompok manik – manik tersebut agar ada yang menjadi netral.bernilai nol.. Melalui proses ini
akan menyisakan manik – manik dengan warna tertentu yang tidak mempunyai pasangan yang merupakan hasil penjumlahannya.
Selanjutnya, kalau kita melakukan proses pemisahan sejumlah manik – manik keluar dari kelompok manik – manik, maka sama halnya
dengan melakukan pengurangan, yaitu : 1. jika
a 0 dan b 0 tetapi a b, maka pisahkanlah secara langsung
sejumlah b manik – manik yang berjumlah a .
2. jika a 0 dan b 0 tetapi a b maka sebelum memisahkan sejumlah
b manik – manik yang nilai bilanganya lebih besar dari a, terlebih
dahulu Anda harus menggabungkan sejumlah manik – manik yang bersifat netral ke dalam kelompok manik – manik
a, dan banyaknya
tergantung pada seberapa kurangnya manik – manik yang akan dipisahkan .
3. jika a 0 dan b 0, maka sebelum memisahkan sejumlah b manik –
manik yang bernilai negatif, terlebih dahulu anda harus menggabungkan sejumlah manik – manik yang bersifat netral dan
banyaknya tergantung dari besarnya bilangan pengurangan b .
4. jika a 0 dan b 0, maka sebelum melakukan proses pemisahan
sejumlah b manik – manik yang bernilai positif dari kumpulan manik –
manik yang bernilai negatif, terlebih dahulu anda harus menggabungkan sejumlah manik – manik yang bersifat netral ke dalam
kumpulan manik – manik a, dan banyaknya tergantung pada seberapa
besarnya bilangan b.
5. jika
a 0 dan b 0 tetapi a b, maka sebelum melakukan proses
pemisahan sejumlah b manik – manik yang bilanganya lebih kecil dari
a, terlebih dahulu anda harus melakukan proses penggabungan
sejumlah manik – manik yang bersifat netral ke dalam kumpulan manik – manik
a, dan banyaknya tergantung dari seberapa kurangnya manik
– manik yang akan dipisahkan. 6. jika
a 0 dan b 0 tetapi a b, maka pisahkanlah secara langsung
sejumlah b manik – manik keluar dari kelompok manik – manik yang
berjumlah a.
C. Latihan
Kategori