3. Guru menulis kembali fakta hasil pengurangan dengan garis bilangan, dan menulis fakta penjumlahan serta meminta peserta
didik untuk mengamati hubungan kedua fakta tersebut sbb:
Pengurangan Penjumlahan
Dari hasil kolom 1 dan 2 didapat hubungan
pengurangan dan penjumlahan
1 2 3
1. 2 - 5 = ... 1. 2 + - 5 = ... 2. -2 - 5 = ..
2. 2 + -5 = .. 3. 2 - -5=
... 3. 2 + - 5 = ...
4. -2 - -5 = ...
4. -2 + 5 = ...
Peserta pelatihan diberi kesempatan untuk membuat simpulan tentang konsep pengurangan bilangan bulat bahwa
a - b = a + -b.
2. Tahap pengenalan Konsep secara semi konkretsemi abstrak
Pada tahap ini proses pengerjaan operasi hitung pada sistem bilangan bulat diarahkan kepada bagaimana menggunakan garis
bilangan. Untuk lebih jelasnya perhatikan prinsip kerja penggunaan garis bilangan, seperti pada pengenalan konsep secara konkret,
namun modelnya mobil-mobilan sudah tidak dipergunakan lagi tetapi cukup menggunakan garis berarah.
Selanjutnya akan dijabarkan bagaimana kita dapat menjumlahkan 2
bilangan bulat dengan pendekatan yang semi konkret atau semi abstrak ini dengan menggunakan garis bilangan dan sebaran penjumlahannya
mencakup: a. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif.
b. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif c. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif.
d. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif
TAHAP PENGENALAN KONSEP SECARA ABSTRAK
Penggunaan alat peraga manik-manik ataupun garis bilangan untuk melakukan operasi hitung bilangan bulat mempunyai
keterbatasan, karena tidak dapat menjangkau bilangan-bilangan yang cukup besar. Dengan demikian, kita harus dapat
menyampaikannya tanpa menggunakan alat bantu yang didahului oleh proses abstraksi. Setelah melalui proses abstraksi diharapkan
pada saat kita mengenalkan konsep operasi hitung secara abstrak kepada siswa tidak terlalu mengalami kendala yang berarti. Dari
segi mental siswa siap menerima pelajaran dalam tahap pengenalan konsep yang abstrak. Oleh karena itu, dalam uraian berikut akan
kita pelajari strategi yang diperlukan guna menyampaikan materi tersebut tanpa alat bantu.
Untuk memberikan pemahaman kepada anak, mereka diinstruksikan untuk melihat atau memperhatikan kembali hasil-hasil
penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat pada waktu mereka menggunakan alat bantu. Misalnya, untuk penjumlahan nya
diperlihatkan contoh-contoh seperti: a. 2 + 5 = 7.
b. 2 + - 5 = -3 atau - 5 + 2 = - 3. c. -2 + 5 = 3atau 5 + - 2 = 3.
d. - 2 + - 5 = - 7. Kemudian, informasikanlah kepada siswa Anda, bahwa dari
keempat hasil penjumlahan bilangan-bilangan di atas ada beberapa hal menarik yang bisa disimpulkan untuk melakukan ketepatan -
ketepatan, yaitu:
1. Dari soal butir a, dapatlah disimpulkan bahwa “jumlah dua buah bilangan bulat positif adalah positif lagi”. Adapun cara untuk
memperoleh hasilnya sama saja denga7 menjumlahkan kedua bilangan itu seperti penjumlahan biasa.
Misal: i 4 + 5 = 9 ii 6 + 17 = 23, dan sebagainya.
2. Dari butir b dan c, dapat lah disimpulkan bahwa “jumlah dua buah bilangan bulat, satu positif dan yang satunya lagi negatif
hasilnya dapat berupa bilangan bulat positif atau bilangan negatif, atau dapat pula menghasilkan bilangan 0 nol. Hal ini
tergantung dari bilangan-bilangan bulat yang dijumlahkan. Misal:
i 2 + -5 =-3 atau -5 + 2 = -3. Pada penjumlahan i, tampak bahwa
angka dari bilangan bulat negatifnya yaitu 5 lebih besar dari angka bilangan bulat
positif nya yaitu 2, sehingga hasil penjumlahan nya adalah selisih dari 5 dengan 2 yang ditandai negatif.
ii -2 + 5 =3 atau 5 + - 2 = 3 Pada penjumlahan ii, tampak bahwa
angka dari bilangan bulat positifnya yaitu S lebih besar dari angka bilangan bulat
negatifnya yaitu 2, sehingga hasil penjumlahan adalah selisih dari 5 dengan 2 yang ditandai positif.
Dengan menggunakan cara-cara tersebut, mantapkanlah pengetahuan siswa Anda dengan contoh-contoh soal yang
lain. iii 6 + -6 = 0 atau -6 + 6 = 0.
Pada penjumlahan yang bersifat khusus ini, tampak bahwa angka dari bilangan bulat positif maupun bilangan bulat
negatifnya aam7; sehingga hasil penjuml2han bilangan - bilangan itu sama dengan no. Ingat konsep tentang lawan
atau invers aditif pada sifat - sifat. penjumlahan bilangan bulat.
3. Dari soal butir d, dapatlah disimpulkan bahwa “jumlah dua buah bilangan bulat negatif adalah bilangan negatif lagi”. Sedangkan
cara untuk memperoleh hasilnya sama saja dengan menjumlahkan kedua angka tersebut dan hasilnya diberi tanda
negatif. Misal:
i - 6 + - 7= - 6 + 7 = 13.
ii - 11 + -19 = - 11 + 19
= - 30. iii
- 31 + - 4 = - 31 + 4 = - 35.
Sedangkan untuk bentuk pengurangan nya, dapat di
,
strategi dan pendekatan berikut: Pada waktu pengurangan dengan menggunakan alat bantu, sebaiknya contoh yang berpola
dan pada akhirnya dapat digunakan untuk merumuskan atau menetapkan suatu kesimpulan yang mengarah ke konsep
pengurangan pada sistem bilangan bulat. Misalnya dapat Anda sajikan beberapa contoh soal berikut, tentunya masih banyak
variasi contoh soal berpola yang dapat Anda berikan. 1. 4 - - 7 =...
2. 4 - - 6 =... 3. 4 - - 5 =...
4. 4 - - 4 =... 5. 4 - - 3 =...
Kemudian, Anda minta pula kepada siswa untuk membandingkan nya dengan peragaan-peragaan yang
menyangkut operasi penjumlahan berikut: 1. 4 +7 = ...
2. 4 + 6 =... 3. 4 + 5 =...
4. 4 + 4 =... 5. 4 + 3 = ...
Tentunya siswa Anda nantinya dapat melihat fakta bahwa basil yang didapat dari operasi-operasi hitung di atas adalah
bilangan-bilangan yang sama, yaitu 11, 10, 9, 8 dan 7. Kalau langkah-langkah pembelajaran seperti itu sudah dijalankan
dengan baik dan benar, setelah itu baru Anda dapat menegaskan kepada siswa suatu konsep pengurangan pada sistem bilangan
bulat, bahwa “mengurangi suatu bilangan bulat sama saja dengan menjumlahkan lawan dari bilangan yang mengurangi”,
dan secara matematis ditulis sebagai a - b = a +- b atau a - - b = a + b.
Setelah siswa diperkenalkan dengan konsep pengurangan yang seolah - olah didapatnya dari proses penemuan, maka di
dalam proses pembelajaran selanjutnya baru kita dapat meningkatkan proses berpikir anak ke jenjang: berpikir yang
lebih tinggi, yaitu memasuki tahap pengerjaan soal-soal atau ~ pengerjaan operasi hitung pengurangan bilangan tanpa
menggunakan alat peraga. Misalnya kita ingin menentukan hasil dari 5 dikurangi negatif 8 ditulis 5 - -8, maka dengan
menggunakan konsep pengurangan di atas kita dapat ubah penulisan 5 - - 8 menjadi 5 + 8. Ingat, lawan dari - 8 adalah 8.
Selanjutnya, dari bentuk yang terakhir ini dengan
mudah Anda dapat menentukan hasitnya secara matematis proses di atas dapat kita tulis sebagai berikut:
5 – -8 = 5 + 8 =
13 Contoh lainnya:
1. -11 – 19 = -11 + -19 = -30.
2. 5 - 8 = 5 + -8
= -3. 3. - 6 – 11 = -b + -11 _
= -17. Catatan:
Untuk dua contoh terakhir, proses penentuan hasilnya sama saja dengan cara pada waktu menjumlahkan
dua buah bilangan bulat tanpa alat bantu.
PERMASALAHAN DALAM PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DI SD
1. Kurang tepatnya memberikan pengertian bilangan bulat Pada umumnya, dalam buku-buku pelajaran di sekolah dasar
khususnya untuk kelas 4B banyak yang tidak memperhatikan bagaimana memberikan penjelasan atau pengertian adanya
bilangan bulat secara tepat. Misal, ada buku yang memberi ilustrasi anak berjalan maju untuk menandakan bilangan positif dan anak
mundur untuk bilangan negatif tanpa adanya penjelasan kenapa harus ada bilangan negatif. Atau ada pula buku yang memberi
ilustrasi anak berjalan ke kiri dari suatu pohon untuk menandakan bilangan negatif dan di sisi lain dari pohon tersebut diperlihatkan
anak sedang berjalan ke arah kanan untuk menandakan bilangan positif. Padahal untuk menjelaskan pengertian bilangan bulat
khususnya yang menyangkut bilangan yang negatif harus dikaitkan dengan jenis atau bentuk operasi pada bilangan asli seperti yang
disampaikan di awal pembahasan bahan ajar ini, sehingga anak akan mengerti kenapa harus ada bilangan negatif yang secara utuh
jika digabungkan dengan bilangan cacah menjadi bilangan bulat. Setelah pengertian ini diberikan, barulah dalam penjabaran
berikutnya dikaitkan dengan fakta-fakta yang ada dalam kehidupan
sehari-hari untuk menambah pemahaman anak terhadap bilangan bulat.
2. Sulitnya memberikan penjelasan bagaimana melakukan operasi hitung pada bilangan bulat secara konkret maupun secara abstrak
tanpa menggunakan alat bantu Untuk mengatasi hal ini, bacalah kembali uraian materi yang
menyangkut bahasan operasi hitung bilangan bulat baik yang terdapat dalam madul ini, maupun dalam bahan pendukung. Di
samping itu baca pula uraian materi yang menyangkut bahasan tentang penyampaian konsep operasi hitung tanpa alat bantu. Yang
terpenting, Anda harus mempunyai keinginan untuk mencoba menggunakan alat peraga dengan prinsip yang benar dan ini harus
Anda latih sendiri, serta harus banyak berbuat agar pembelajaran matematika menjadi pelajaran yang menarik dan tidak kering. Dan
jangan lupa, kaitkan lah setiap soal yang Anda sampaikan dengan persoalan dalam kehidupan sehari-hari walaupun tidak semuanya
dapat dilakukan.
Latihan
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakan lah latihan berikut
1 Jelaskan secara tepat, bagaimana memperagakan garis bilangan untuk menjelaskan bentuk operasi - 6 - - 8 dan -5 - 4
2 Jelaskan secara tepat, bagaimana memperagakan alat peraga manik - manik untuk menjelas4an bentuk operasi 4 - 7 dan -S + 8
3 Apa yang dapat Anda simpulkan tentang gerakan model pada garis bilangan dalam kaitannya dengan gerakan anak panah pada garis
bilangan? 4 Seorang guru sedang menjelaskan cara penggunaan garis bilangan
untuk mengerjakan operasi hitung 6 - -5 dan 5 - 9 dengan hasil peragaan nya sebagai Berikut:
Menurut Anda apakah peragaan tersebut sudah sesuai dengan prinsip penggunaan garis bilangan yang dikemukakan dalam modul ini?
Jelaskan 5 Seorang guru sedang memberikan beberapa contoh soal dengan
menggunakan garis bilangan untuk beberapa soal berikut: 1. 4 – 4 = 0
4. 4 -1 =... 7. 4 - - 2... 2. 4 – 3 =1
5. 4 – 0 =... 8. 4 - - 3... 3. 4 – 2 =2
6. 4--1 =... 9. 4 - - 4=... Untuk nomor 4 sampai 9 diperintahkan nya 6 orang siswa untuk
melanjutkan pengisiannya. Setelah itu diperintahkan pula beberapa siswa lainnya untuk menyelesaikan soal-soal berikutnya tanpa alat
bantu. 10. 4 + 1 =...
11. 4 + 2 =... 12. 4 + 3 =... Menurut Anda, konsep apakah yang hendak ditekankan oleh guru
tersebut. dan dalam tahap yang mana sebaiknya. konsep tersebut diperkenalkan kepada siswa?
6 Kajilah beberapa buku pelajaran matematika SD khusus yang membicarakan pokok bahasan bilangan bulat di sekitar lingkungan
Anda mengajar. Identifikasilah bentuk-bentuk penyampaian konsep yang kurang tepat. Kemudian diskusikan lah bersama teman-teman
sejawat Anda, bagaimana seharusnya penyampaian konsep yang Anda anggap salah tersebut.
7 Sifat-sifat apa saja yang berlaku pada operasi pengurangan bilangan bulat?
8 Selidikilah, sifat-sifat apa saja yang berlaku pada himpunan A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} terhadap operasi penjumlahan?
Petunjuk Jawaban Latihan
Untuk mengetahui benar atau tidaknya jawaban yang Anda buat, gunakanlah rambu-rambu petunjuk jawaban berikut sebagai salah satu
solusinya. 1 Untuk bentuk operasi -b - -8, dari skala 0 langkahkanlah model ke
arah bilangan negatif di skala -b, kemudian langkahkanlah mundur sebanyak 8 langkah dengan muka model menghadap ke bilangan
negatif mengapa? Lalu, pada skala berapa model tersebut berhenti. 2 Untuk bentuk operasi -5 - 4, dari skala 0 langkahkan model ke arah
bilangan negatif dan berhenti di skala -5. Kemudian, langkahkanlah mundur model tersebut sebanyak 4 langkah dengan muka model
menghadap ke bilangan positif mengapa?. Dan perhatikanlah pada skala berapa model tersebut berhenti.
Untuk bentuk operasi 4 - 7, letakkan lah empat buah manik-manik yang bertanda positif ke dalam papan peragaan. Kemudian,
letakkan pula 3 buah manik-manik yang bertanda positif dan negatif dengan posisi dihimpitkan sehingga menjadi lingkaran penuh.
setelah itu, barulah kita ambil manik-manik yang bertanda positif sebanyak 7 buah. Sisa manik - manik yang tertinggal itulah hasil dari
4 - 7. Untuk bentuk operasi -5 + 8, letakkanlah 5 buah manik-manik yang
bertanda negatif ke dalam papan peragaan. Kemudian, letakkan pula 8 buah manik-manik yang bertanda positif. Setelah itu,
lakukanlah pemetaan antara manik-manik yang bertanda negatif dan positif sehingga menjadi lingkaran penuh. Tentunya ada beberapa
manik-manik dengan tanda positif yang tidak mempunyai pasangan. Manik-manik yang tidak mempunyai pasangan itulah merupakan
hasil dari -5 + 8. 3 Kalau kita melakukan peragaan menggunakan balok garis bilangan,
maka gerakan model yang terjadi sama halnya dengan gerakan anak panah pada garis bilangan.
Untuk lebih jelasnya, cobalah Anda gambarkan gerakan-gerakan model untuk operasi hitung tertentu, kemudian hapuslah gambar
modelnya. Maka gambar yang terjadi merupakan gambar arah-arah anak panah seperti pada peragaan garis bilangan.
4 Berdasarkan prinsip penggunaan garis bilangan, ada langkah- langkah yang salah pada kedua garis bilangan tersebut yaitu kurang
tepatnya memperagakan gerakan anak panah untuk bilangan- bilangan keduanya. Coba Anda perbaiki kesalahan langkah anak
panah tersebut. 5 Yang ditekankan adalah konsep a - b = a + -b atau a - -b = a + b.
Dan sebaiknya konsep ini diperkenalkan di akhir tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak.
6 Umumnya banyak kesalahan dalam penyampaian konsep
pengertian bilangan bulat, penggunaan garis bilangan, atau pengenalan istilah lawan.
7 Sifat yang berlaku pada pengurangan bilangan bulat hanya sifat ketertutupan.
8 Untuk menyelidikinya, lenglcapilah tabel yang ada di halaman berikut:
+ -3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-2 -1
1 2
3
kemudian kajilah seperti npda waktu membahas sifat – sifat penjumlahan pada bilangan bulat.
Kalau hasil kajian anda benar, maka ada beberapa sifat yang tidak memenuhi syarat. Silakan anda sendiri yang menyebutkannya.
E. Rangkuman
