Arborea Roxb dengan variabel respon volume pohon m
3
dan variabel prediktor diameter
pohon cm. Pada
tulisan ini akan dibahas estimasi model regresi nonparametrik dengan
error lognormal berdasarkan estimator Kernel, selanjutnya, model tersebut
diimplementasikan pada OSS Statistika R. Sebagai ilustrasi, model diaplikasikan
pada data pohon Gmelina Arborea Robx dengan variabel respon adalah
volume pohon m
3
dan variabel prediktor adalah tinggi pohon m.
2. Estimator Kernel
Diberikan n data pengamatan berpasangan
mengikuti model regresi sebagai berikut:
, ,
. .
. ,
, ,
,
2 2
1 1
n n
y x
y x
y x
3 1 2
, , , ...,
i i
i
y f x
i ε
= =
n
i
dengan .
Persamaan regresi pada model 3 ditransformasi dengan
mengambil nilai logaritma alam ln dari kedua ruas persamaan, sehingga
diperoleh
, ~
2
σ ε
LN
i
i i
y f
x ε
= +
4 dengan
2
~ ,
i
N
ε σ
,
i i
i ,
i i
ln x
f ln
x f
y ln
y
ε ε
= =
=
∗ ∗
i
,
Kurva regresi f
x
i
tidak diketahui dan dapat diestimasi dengan pendekatan
estimator Kernel. Dalam mengestimasi kurva regresi, f x
i
, dengan
pendekatan Kernel, digunakan fungsi bobot
, x
w
nr
r = 1,2,…,n. Menurut
teori, fungsi regresi didefinisikan sebagai berikut:
[ ]
∗ ∞
∞ −
∗ ∗
∞ ∞
− ∗
∗ ∗
∫ ∫
= =
= =
dy x
f y
, x
f y
dy x
y f
y x
X Y
E x
f
5 Pada
persamaan 5, ,
dapat diestimasi dengan perkalian multiple Kernel : y
x f
,
∑ ∑
= =
∧
− −
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ − ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ − =
n i
i i
h i
h 2
i n
1 i
1 i
2 1
y y
K x
x K
n 1
h y
y K
h x
x K
h nh
1 y
, x
f
2 1
Matematika
873
Pembilang pada persamaan 5 dapat dinyatakan sebagai :
dy y
y K
x x
K y
n 1
dy y
, x
f y
i h
n 1
i i
h
2 1
∫ ∑ ∫
− −
=
=
∑ ∫
=
− −
=
n 1
i i
h i
h
dy y
y K
y x
x K
n 1
2 1
dy h
y y
K h
y x
x K
n 1
n 1
i 2
i 2
i h
1
∑ ∫
=
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛ −
− =
Selanjutnya, dimisalkan
ds h
dy sh
y y
2 2
i
= →
+ =
, sehingga diperoleh :
∫ ∫
∑
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
=
ds h
h h
s K
h h
s y
x x
K n
1 y
, x
f y
2 2
2 2
2 i
n 1
i i
h
1
ds s
K sh
y x
x K
n 1
n 1
i 2
i i
h
1
∑ ∫
=
+ −
=
∑ ∫
∫
=
+ −
=
n 1
i 2
i i
h
, ds
s K
s h
ds s
K y
x x
K n
1
1
i n
1 i
i h
y x
x K
n 1
1
∑
=
− =
Dari uraian di atas diperoleh estimator Kernel sebagai berikut :
∑ ∑
∑
= =
=
= −
− =
n i
i h
n i
i h
n i
i i
h h
y x
w x
x K
n y
x x
K n
x fˆ
1 1
1
1 1
6
dengan
∑
=
− −
=
n 1
i i
h i
h h
x x
K x
x K
w 7
Oleh karenanya, estimasi untuk kurva regresi pada model 1 adalah :
∑
=
=
n i
i h
y x
w h
e x
fˆ
1
8
3. Algoritma dan Program R
a. Algoritma untuk menentukan nilai bandwidth h yang optimal dengan
kriteria GCV.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
874
1.
Mendefinisikan vektor Y dan X, dimana X dan Y diurutkan dari yang
terkecil berdasarkan nilai X.
2. Menentukan
fungsi Kernel
Gaussian ,
2
1 1
exp ,
2 2
K x x
x π
= −
−∞ ∞ 3.
Menghitung x
fˆ
i ∗
dari persamaan 6
4. Menghitung
[ ]
2 1
1 2
1
1 h
W I
tr n
x f
y n
h GCV
n i
i h
− −
=
− =
∗
∑
dengan mengiterasikan nilai bandwidth
awal sampai diperoleh GCVh yang paling minimum. Bandwidth
h optimal adalah nilai h yang bersesuaian dengan nilai GCV yang
minimum. b.
Algoritma untuk menentukan nilai estimasi adalah :
i
y 1. Menentukan
Fungsi Kernel yang akan digunakan untuk menghitung bobot.
2. Memasukkan nilai bandwidth yang optimal dengan kriteria GCV dari
algoritma 3.a
h
3. Hitung nilai
i i
n i
h
y h
x x
K nh
x f
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
=
∑
=1
1 dengan
i =1,2…n, j =1,2…n , n = banyaknya data pengamatan. 4. Diulang
langkah ke 3 sampai seluruh nilai
i
x Berdasarkan
algoritma a, untuk memilih bandwidth optimal dengan kriteria GCV
diimplementasikan program R sebagai berikut : kernel
‐functionu {
exp‐0.5u2sqrt2pi }
GCV ‐functionrespon,varbas,hlamda
{ yk‐respon
tk‐varbas hl‐hlamda
Matematika
875
n‐lengthyk catʺ====================ʺ
catʺ\n lamda GCVʺ catʺ\n====================ʺ
whilehl hlamda + 1.1 {
u‐matrix0,ncol=n,nrow=n fori in 1:n
{ for j in 1:n
{ u[j,i]‐tk[j]‐tk[i]hl
} }
jumlah‐matrix0,ncol=1,nrow=n for i in 1:n
{ forj in 1:n
{ jumlah[i,1]‐jumlah[i,1]+kernelu[i,j]
}
} H‐matrix0,ncol=n,nrow=n
for i in 1:n {
for j in 1:n {
H[i,j]‐kernelu[i,j]jumlah[i,1] }
} mhlamda‐Hyk
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
876
atas‐tyk‐mhlamdayk‐mhlamdan bawah‐1‐sumdiagHn2
GCV‐atasbawah catʺ\n ʺ,formathl
catʺ ʺ,formatGCV hl‐hl + 0.05
} }
Sedangkan program R untuk menentukan nilai estimasi
berdasarkan algoritma
b. adalah sebagai berikut : x
f
i
estimasikernel ‐functionrespon,varbas,hlamda
{ data‐cbindrespon,varbas
dataurut‐data[ordervarbas,1:2] yk‐dataurut[,1]
tk‐dataurut[,2] hl‐hlamda
n‐lengthyk u‐matrix0,ncol=n,nrow=n
fori in 1:n {
for j in 1:n {
u[i,j]‐tk[i]‐tk[j]hl }
} w‐matrix0,ncol=n,nrow=n
for i in 1:n {
Matematika
877
forj in 1:n {
w[i,j]‐kernelu[i,j] }
} H‐matrix0,ncol=n,nrow=n
for i in 1:n {
for j in 1:n {
H[i,j]‐w[i,j]sumw[i,] }
} mhlamda‐Hyk
mse‐tyk‐mhlamdayk‐mhlamdan for i in 1:n
{ catʺ\n ʺ, formatmhlamda[i]
} catʺ\n Nilai MSE =ʺ,formatmse
plottk,mhlamda,type=ʺlʺ,xlim=cmintk,maxtk,ylab=ʺVolume
Pohon ʺ,xlab=ʺTinggi Pohonʺ,ylim=c‐5,0
parnew=T plottk,yk,xlim=cmintk,maxtk,ylab=ʺVolume Pohonʺ,xlab=ʺTinggi
Pohon ʺ,ylim=c‐5,0
} 4.
Aplikasi pada data pohon Gmelina Arborea Roxb.
Salah satu hasil hutan yang ada di Indonesia adalah Gmelina Arborea
Roxb ,
yang berasal dari famili Verbenacea, dengan nama lokaldaerah : Jati putih
Indonesia, gamari, gumadi India, gamar Bangladesh, dan yemane
Myanmar. Pohon Gmelina Arborea Roxb, tumbuh sangat cepat, tingginya bisa
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
878
mencapai 40 meter. Batangnya kurus dan permukaannya halus, dan berwarna
abu ‐abu gelap, yang semakin lama akan berwarna coklat. Daunnya berbentuk
seperti hati dan bunganya berwarna oranye dan kuning, dan menghasilkan
madu. Kayu dari pohon ini memiliki banyak kegunaan, di dunia industri kayu
Gmelina Arborea Roxb digunakan untuk furniture, bahan untuk pulp
pengepakan, chipboard, kano, alat musik dan lain‐lain. Jika dibandingkan
dengan jenis kayu yang lain Gmelina Arborea Roxb sangat baik untuk industri
kertas. Para pemeluk agama hindu juga biasa menggunakan akar, kulit batang
dan buahnya untuk obat‐obatan. Sebagai ilustrasi, model diaplikasikan pada
data pohon Gmelina Arborea Robx di areal HTI Wanakasita Jambi, dengan
variabel respon adalah volume pohon m
3
dan variabel prediktor adalah tinggi pohon
m. Berdasarkan hasil dari program R yang diimplementasikan pada data
pohon tersebut, diperoleh nilai bandwidth optimal yaitu 0,3 dengan nilai MSE
= 0,0675 dan R
2
= 0,99 dan estimasi modelnya adalah :
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
∑ =
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∑ =
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
− −
− −
93 1
93 1
2 3
2 1
2 1
2 3
2 1
2 1
i i
Y i
Y
. i
X x
exp .
i X
x exp
exp
π π
Plot antara observasi dan hasil estimasi model tampak pada Gambar 1 berikut
ini :
6 8
10 12
14 16
18 -5
-4 -3
-2 -1
V ol
um e P
ohon
6 8
10 12
14 16
18
T in g g i Po h o n
-5 -4
-3 -2
-1
Gambar 1. Plot Estimasi Model berdasarkan Estimator Kernel
Selanjutnya dilakukan pengujian asumsi error berdistribusi lognormal
menggunakan uji Kolmogorov diperoleh nilai p‐value adalah 0,56482, dengan
α = 5 diperoleh kesimpulan bahwa errornya berdistribusi lognormal.
Matematika
879
Ucapan terima kasih
Penelitian ini merupakan bagian dari penelitian yang dibiayai DP2M Ditjen
DIKTI melalui Program HIBAH PEKERTI Nomor Kontrak :
016SP2HPPDP2MIII2007, tertanggal 29 Maret 2007.
5.
Daftar Pustaka
Anonim, 2006, The Lognormal Distribution, http:limnology.wisc.edu Akses :
Maret 2007
Chamidah, N., Saifudin, T., Tirta, I.M., dan Lestari, B., 2007, Implementasi OSS
StatistikaR Pada Model Regresi Nonparametrik Dengan Error Lognormal
Berdasarkan Estimator Penalized‐Spline, Makalah Seminar Nasional
Statistika VIII, 3 Nopember 2007, ITS, Surabaya.
Eubank, R.M., 1988, Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Marcel
Dekker, New York.
Limpert, E, Werner A, Stahel, and Abbt, M., 2001. Log‐normal Distribution
Across
the Sciences : Keys and Clues. Bio Science, 515, 341‐352.
Ronitua, M., 2002, Kajian Fenomena Hurst dan Uji Statistik Debit Input Waduk
Kaskade Citarum, http:digilib.ampl.or,id Akses: Maret 2007.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
880
Keterkendalian Sistem Linear Atas Ring Komutatif
Melalui Pendekatan Model Polinomial
Primastuti Indah Suryani
Sri Wahyuni
Jurusan Matematika FMIPA UGM
Sekip Utara Yogyakarta 55281
Abstrak
Dalam teori sistem abstrak atas ring komutatif A. Jika diberikan sistem linear quintuple
di mana modul state X dipandang sebagai modul yang dibangun secara berhingga atas A
dengan F∈End
, ,
, ;
J H
G F
X
A
X, G dan H merupakan A‐homomorfisma modul, maka pemetaan inklusi
beserta endomorfisma F membangkitkan struktur modul atas ring polinomial ,
sehingga diperoleh bahwa A‐modul X membangkitkan
‐modul berhingga X
] [
: s
A A
i →
] [s
A ]
[s A
F
. Selain itu,
endomorfisma F juga membangkitkan
‐homomorfisma modul, G
] [s
A
F
dan H
F
, yang menentukan suatu
sistem linear quadruple
melalui ring polinomialnya. Selanjutnya karakterisasi
keterkendalian sistem linear quintuple
dan sistem linear quadruple dapat ditentukan dengan menyelidiki
‐homomorfisma modul dan sifat coprime
‐kirinya.
, ,
; J
H G
X
F F
F
, ,
, ;
J H
G F
X
, ,
; J
H G
X
F F
F
] [s
A
Kata ‐kata kunci : keterkendalian, coprime‐kiri.
I. Pendahuluan
Selama ini telah dipelajari beberapa teori mengenai sistem linear dan
keterkendaliannya, baik sistem linear atas lapangan maupun sistem linear atas
ring komutatif. Perkembangan teori sistem dengan pendekatan model
polinomial pada sistem linear atas lapangan telah dibahas [5] yang berhasil
digeneralisasi oleh [4] pada sistem linear atas daerah ideal utama. Pada tahun
2000, Lomadze berhasil melakukan pendekatan model polinomial pada sistem
linear atas ring komutatif. Hal inilah yang menjadi ketertarikan penulis untuk
dapat mengikuti ide dalam [7] untuk menentukan karakterisasi keterkendalian
pada sistem atas ring komutatif melalui pendekatan model polinomial.
Beberapa paper pendukung menunjukkan peran aljabar yang banyak
digunakan dalam teori sistem sehingga diperlukan dukungan teori aljabar,
khususnya teori modul. Selanjutnya akan ditentukan bahwa keterkendalian
Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang
diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007
sistem linear atas ring komutatif menentukan keterkendalian sistem atas ring
polinomialnya. Berdasar
latar belakang di atas, tujuan dari penelitian adalah sebagai berikut
: 1. Memperoleh
penyajian sistem linear atas ring polinomial yang bersesuaian
dengan sistem linear atas ring komutatifnya. 2. Mengetahui
hubungan pemetaan linear atas ring komutatif dengan pemetaan
linear atas ring polinomialnya. 3. Menentukan
karakterisasi keterkendalian sistem linear atas ring komutatif
dan hubungannya dengan keterkendalian sistem linear atas ring
polinomialnya.
II. Metode Penelitian
Uraian secara terpadu dan sistematis disampaikan dalam tahapan‐tahapan
sebagai berikut :
1. Menyajikan sistem linear atas ring polinomial yang bersesuaian dengan
sistem linear atas ring komutatifnya.
2. Menentukan karakterisasi keterkendalian sistem linear atas ring komutatif
dengan membentuk pemetaan linear atas ring komutatif.
3. Membentuk pemetaan linear atas ring polinomial yang bersesuaian
dengan butir2 dan menentukan karakterisasi keterkendaliannya.
4. Mendefinisikan sistem linear quintuple atas ring komutatif dan sistem
linear quadruple atas ring polinomialnya.
5. Menunjukkan bahwa keterkendalian sistem linear quintuple atas ring
komutatif menentukan keterkendalian sistem linear atas ring
polinomialnya.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
882
III. Hasil Penelitian dan Pembahasan
Pada tahap awal penelitian dipelajari tentang keterkendalian sistem linear
abstrak, baik sistem linear atas lapangan maupun sistem linear atas ring
komutatif. Definisi keterkendalian sistem linear abstrak dapat dijumpai dalam
[2], [3], dan [9].
III.1. Keterkendalian Sistem Linear Abstrak
Menurut Olsder, keterkendalian dapat ditentukan melalui matriks
polinomial dalam hubungannya dengan sifat coprime‐kiri, yang disajikan
dalam definisi dan teorema lengkap dengan pembuktiannya dalam [9] sebagai
berikut :
Definisi 3.1.1.
Diberikan sistem Σ : Psξ = Qsu dan y = Rsξ dimana ξ adalah state parsial dan
P s
nonsingular. Sistem Σ terkendali controllable jika matriks Ps dan Qs coprime‐ kiri.
Mengingat sistem yang dipelajari dalam tulisan ini dinyatakan sebagai :
t Ju
t Hx
t y
t Gu
t Fx
t x
+ =
+ =
3.1 dan
menggunakan transformasi Laplace persamaan 3.1 dapat dinyatakan dalam
bentuk :
s uˆ
J s
xˆ H
s y
ˆ s
uˆ G
x s
xˆ F
sI +
= +
= −
3.2 di
mana sI – F, F, G, H, dan J masing‐masing adalah matriks polinomial. Berikut
ini disajikan teorema keterkendalian controllable disertai bukti lengkapnya
dalam referensi [9] sebagai berikut :
Teorema 3.1.2.
Sistem 3.2 terkendalicontrollable jika dan hanya jika
F sI
−
dan G coprime‐kiri Teorema
di atas nantinya akan menjadi teorema acuan dalam menentukan
keterkendalian sistem linear atas ring komutatif melalui
Matematika
883
pendekatan model polinomial. Tentu saja, dengan mendefinisikan
, ,
dan H yang sesuai untuk sistem linear atas ring komutatif.
F sI
−
G
Selain teorema di atas, penelitian yang dilakukan [5] juga menghasilkan
lemma ‐lemma yang berkaitan dengan keterkendalian sistem linear atas
lapangan K melalui pembentukan model polinomialnya, yaitu terbentuknya
K [z]
dengan indeterminate z, dinyatakan sebagai berikut : Diberikan
sistem Σ = X;F,G,H dimana X adalah ruang linear atas
lapangan K. Jika K[z] merupakan ring polinomial dalam indeterminate z
dengan koefisien di K dan bilangan bulat positif m dan p sebagai banyak input
dan banyak output, maka pemetaan keterkendalian
R : K
m
[z] X dari sistem Σ didefinisikan sebagai : R
→
∑ ∑
= =
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
n i
i i
n i
i i
Gu F
z u
Pemetaan keterkendalian pada sistem linear atas lapangan melalui
pendekatan model polinomial di atas akan digeneralisasi menjadi pemetaan
keterkendalian pada sistem linear atas ring komutatif melalui pendekatan
model polinomial.
Berikutnya diberikan lemma berkaitan dengan keterkendalian sistem
linear atas lapangan melalui model polinomial yang melibatkan
‐ homomorfisma
modul sebagai berikut :
] [z
K
Lemma 3.1.3.
Sistem Σ terkendali controllable jika dan hanya jika pemetaan keterkendalian R dari
sistem Σ yang dipandang sebagai K[z]‐homomorfisma modul adalah surjektif.
Selain karakterisasi keterkendalian sistem linear atas lapangan yang
disajikan di atas, hal tersebut dapat digeneralisasi pada sistem linear atas ring
komutatif yang selanjutnya disebut juga sistem linear quintuple. Beberapa
definisi dan karakterisasi keterkendalian sistem linear atas ring komutatif telah
dibahas dalam [10] dan [2] yang disajikan sebagai berikut :
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
884
Definisi 3.1.4.
Diberikan ring komutatif A. Sistem dinamik linear bebas Σ berwaktu diskret dan
konstan atas ring komutatif A dinyatakan sebagai triple F,G,H dimana F∈A
nxn
, G∈A
nxm
dan H∈A
pxn
untuk suatu bilangan bulat n,m,p dengan n adalah rank dari Σ, banyak
input m dan banyak output p. Secara khusus jika m = p = 1, maka sistem Σ disebut
sistem skalar. Jika
X, U, dan Y masing‐masing dinotasikan sebagai A‐modul bebas A
n
, A
m
, dan
A
p
yang dibangun
secara berhingga,
maka adalah A‐pemetaan modul dan definisi sistem
di mana modul state, modul input dan modul outputnya diberikan oleh X, U,
dan Y diberikan sebagai:
Y X
H X
U G
X X
F →
→ →
: ,
: ,
:
t Hx
t y
t Gu
t Fx
1 t
x =
+ =
+
3.3 dengan
t∈Z, state xt∈A
n
, input ut∈A
m
, dan output yt∈A
p
untuk semua t. Berikutnya
jika diberikan ring komutatif A dan indeterminate s sehingga diperoleh
ring polinomial A[s]. Konsep teori sistem linear abstrak dan teori modul
memegang peranan penting dalam membangkitkan sistem linear baru atas
ring polinomial A[s] dari sistem linear atas ring komutatif A.
III.2. Pendekatan Model Polinomial Pada Sistem Linear Atas Ring
Komutatif
Pada bagian ini akan dibahas mengenai peranan teori modul dalam
melakukan pendekatan model polinomial pada sistem linear atas ring
komutatif yang digeneralisasi dari pendekatan model polinomial pada sistem
linear atas daerah ideal utama yang telah dibahas oleh [4]. Sebelumnya telah
diperoleh bahwa ring A dan indeterminate s membentuk ring polinomial
dan melalui lokalisasi T pada
diperoleh ring fungsi rasional ,
di mana T
adalah himpunan semua polinomial monik .
Salah satu bagian penting yang
mendasari pendekatan model polinomial adalah karakterisasi dari modul
] [s
A ]
[s A
s A
] [s
A
Matematika
885
faktor yang diperoleh dari hubungan
dan dalam membentuk
struktur modul faktor sehingga diperoleh
] [s
A s
A ]
[ s
A s
A
‐modul faktor yang
diasumsikan merupakan modul bebas yang dibangun secara berhingga atas A.
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa A‐modul X bersama dengan operasi
pergandaan skalar
x X X akan membentuk struktur ‐modul dalam
lemma berikut :
] [s
A
] [s
A
→
] [s
A
Lemma 3.2.1.
Jika X adalah modul yang dibangun secara berhingga atas A, tuliskan himpunan
membangun X dan F adalah A‐endomorfisma dari X, maka A‐modul X dapat
dipandang sebagai ‐modul X dengan operasi pergandaan skalar yang
didefinisikan sebagai :
} ,...,
, {
n 2
1
x x
x
] [s
A
] [s
A
x
X X , a,x aFx
→
a
Selanjutnya dalam tulisan ini, A‐modul X yang membangkitkan struktur
‐modul melalui suatu endomorfisma F , dinotasikan sebagai X
] [s
A
F
. Dengan
mengingat pengertian modul torsi dalam teori modul dan berdasarkan
pendekatan aljabar pada teori sistem, modul state X
F
yang merupakan modul atas
ring polinomial harus merupakan modul berhingga, yaitu : modul torsi yang
dibangun secara berhingga.
III.2.1. Modul Berhingga atas Ring Polinomial
] [s
A
Diketahui bahwa X adalah modul atas A yang dibangun secara
berhingga dan X
F
adalah modul atas yang juga dibangun secara
berhingga, lebih lanjut akan diselidiki bahwa X
] [s
A
F
adalah modul berhingga. Berikut
diberikan lemma yang menyatakan bahwa X
F
adalah modul berhingga.
Lemma 3.2.2.
X
F
adalah modul berhingga atas
] [s
A
Bukti :
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
886
Cukup dengan menunjukkan bahwa X
F
adalah modul torsi atas .
Dibentuk M
] [s
A
T
X
F
adalah himpunan semua elemen torsi dari X
F
dan diketahui F∈End
A
X. Misalkan
polinomial monik ps=det
F sI
−
sehingga M
T
X
F
={x∈X
F
| ∃ps∈A[s]
‐{0}a.x=0}. Jika
T adalah himpunan semua polinomial monik, maka ‐{0}= T dan
diperoleh :
] [s
A
M
T
X
F
= {x∈X
F
| ∃ps∈T ps.x = 0}
def
= {x∈X
F
| ∃ps∈T pFx = 0}. Telah
diketahui bahwa polinomial monik ps adalah polinomial karakteristik dari
F, yaitu : ps = det ,
maka menurut Teorema Cayley‐Hamilton diperoleh
pF = 0 dengan F∈M
F sI
−
n
A, sehingga diperoleh M
T
X
F
= X
F
. Terbukti
X
F
modul torsi atas A[s]. Jadi,
X
F
modul berhingga atas .
□
] s
[ A
Selanjutnya dengan menerapkan pembentukan produk tensor dalam
[11] diperoleh penyajian
⊗
] [s
A
A [s]
X dan mengingat bahwa
merupakan modul
bebas atas dengan basis {1, s, s
] [s
A ]
[s A
2
, ... }, Rotman menyatakan bahwa
⊗ X
] [s
A
F
≅
C
F i
X As
⊗ dengan menyatakan jumlah langsung dari As
C
i
dan X
F
, sehingga untuk setiap x∈
⊗ X
] [s
A
F
dapat dipandang sebagai vektor yang mempunyai
penyajian tunggal berbentuk x= di mana x
∑
=
⊗
n i
i i
x s
i
∈X
F
. Dari
penyataan di atas, karena
adalah ring polinomial yang komutatif, maka diperoleh
⊗X
] [s
A ]
[s A
F
≅ X
F
⊗ .
Selanjutnya X
] [s
A
F
⊗ dinotasikan sebagai X[s]
dan untuk setiap x∈X[s] dapat disajikan secara tunggal dalam bentuk x =
di mana x
] [s
A
∑
=
⊗
n i
i i
s x
i
∈X
F
. III.2.2.
Penyajian Model Polinomial
Menurut Rotman 1979 dikatakan bahwa dapat dikonstruksikan sebuah
‐modul X[s] dari suatu A‐modul X. Berdasarkan konstruksi di atas, jika
] [s
A
Matematika
887
] [
] [
s A
X s
X
F
⊗ =
dipandang sebagai modul atas dalam indeterminate s,
maka pengaitan
dapat didefinisikan sebagai :
∑
. Selanjutnya akan diberikan suatu lemma yang menyatakan
bahwa pengaitan
merupakan ‐homomorfisma modul.
] [s
A ]
[ ]
[ :
s X
s X
F sI
→ −
=
⊗
n i
i i
s x
a
∑
=
⊗ −
⊗
n i
i i
s 1
s s
1 x
] [
] [
: s
X s
X F
sI →
− ]
[s A
Lemma 3.2.3.
Diberikan A‐modul X dan A[s]‐modul X[s]. Jika F∈EndX dan indeterminate s, maka
pengaitan yang didefinisikan sebagai :
] [
] [
: s
X s
X F
sI →
−
1 n
n n
1 i
i i
1 i
def n
i i
i
s x
s Fx
x 1
Fx s
x F
sI
+ =
− =
⊗ +
⊗ −
+ ⊗
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ −
∑ ∑
merupakan ‐homomorfisma modul.
] [s
A
Bukti :
i. Akan ditunjukkan bahwa sI – F adalah pemetaan,
dengan menggunakan sifat produk tensor diperoleh :
⇔
⇔ ,
sehingga diperoleh 3.4
∑ ∑
= =
⊗ =
⊗
n i
n i
i i
i i
s y
s x
∑
=
⊗ −
n i
i i
i
s y
x
i ,
y x
i i
∀ =
− i
, y
x
i i
∀ =
Akibatnya, ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
− =
−
∑
= n
i i
i
s x
F sI
x F
sI
1 n
n n
1 i
i i
1 i
def
s x
s Fx
x 1
Fx
+ =
−
⊗ +
⊗ −
+ ⊗
− =
∑
Menurut persamaan 3.4 diperoleh :
1 n
n n
1 i
i i
1 i
s y
s Fy
y 1
Fy
+ =
−
⊗ +
⊗ −
+ ⊗
−
∑
y F
sI s
y F
sI
n i
i i
def
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ −
=
∑
=
. Terbukti,
F sI
− pemetaan.
ii. Akan ditunjukkan : ∀x,y∈X[s]sI
– Fx + y = sI – Fx + sI – Fy Ambil
sebarang x,y∈X[s] sehingga ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
+ −
= +
−
∑
= n
i i
i i
s y
x F
sI y
x F
sI
1 n
n n
n 1
i i
i i
1 i
1 i
def
s y
x s
y x
F y
x 1
y x
F
+ =
− −
⊗ +
+ ⊗
+ −
+ +
⊗ +
− =
∑
3.5
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
888
Diketahui ,
maka F dapat dipandang sebagai homomorfisma modul.
X End
F ∈
Akibatnya, dengan menggunakan sifat produk tensor, persamaan 3.5 menjadi
: ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
+ ⊗
− ⊗
− +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ +
⊗ −
+ ⊗
−
+ =
− =
+ −
∑ ∑
1 n
n n
1 i
i i
1 i
n 1
i 1
n n
i i
1 i
s y
s Fy
y 1
Fy s
x s
Fx x
1 Fx
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ −
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
− =
∑ ∑
= =
n i
i i
n i
i i
def
s y
F sI
s x
F sI
y F
sI x
F sI
− +
− =
Terbukti,
y F
sI x
F sI
y x
F sI
− +
− =
+ −
. iii. Akan
ditunjukkan : ∀x∈X[s]∀p∈A[s] sI – Fpx = psI – Fx Ambil
sembarang x∈X[s] dan p∈ dengan p
] [s
A
i
∈A sehingga diperoleh :
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ −
∑
= n
i i
i
s px
F sI
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ +
⊗ −
+ ⊗
− =
∑
= +
− n
1 i
1 n
n i
i 1
i def
s px
s px
F px
1 px
F dengan
mengingat maka diperoleh :
X End
F ∈
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ +
⊗ −
+ ⊗
−
+ =
−
∑
1 n
n i
n 1
i i
1 i
s x
s Fx
x 1
Fx p
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ −
=
∑
= n
i i
i def
s x
F sI
p
x F
sI p
− =
Terbukti sI – Fpx = psI – Fx
Dari i, ii dan iii terbukti sI – F merupakan homomorfisma atas A[s]. □
Selain lemma di atas, dapat dibentuk pula pengaitan dari X[s] ke X
F
yang ditunjukkan
dalam lemma berikut :
Lemma 3.2.4.
Jika diberikan ϕ : X[s] Æ X
F
yang didefinisikan ,
maka
∑ ∑
= =
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
n i
i i
n i
i i
x F
s x
ϕ ϕ merupakan
‐homomorfisma modul
] [s
A
Bukti :
Cukup dengan menunjukkan
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∈ ⊗
⊗ ∀
∑ ∑
= =
n i
n i
i i
i i
s X
s y
s x
] [
, ]
[s A
p ∈
∀ ,
berlaku :
Matematika
889
1. =
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
+ ⊗
∑ ∑
= =
n i
n i
i i
i i
s y
s x
ϕ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
∑
= n
i i
i
s x
ϕ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
∑
= n
i i
i
s y
ϕ
2. = p.
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗
∑
= n
i i
i
s x
. p
ϕ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
∑
= n
i i
i
s x
ϕ Dari
1 dan 2 terbukti bahwa ϕ adalah homomorfisma modul atas A[s].□ Dari
lemma‐lemma di atas diperoleh bahwa X[s] modul atas dan X
] [s
A
F
modul atas
dengan sI – F dan ϕ masing‐masing merupakan ‐
homomorfisma modul. Lemma berikut menyajikan dimana barisan modul dan
homomorfismanya membentuk suatu barisan eksak, yaitu:
] [s
A ]
[s A
Lemma 3.2.5.
Jika diberikan X
F
adalah ‐modul, maka terdapat barisan
] [s
A
X[s] X[s]
X
⎯→ ⎯
⎯ ⎯ →
⎯
−F sI
⎯→ ⎯
ϕ
F
3.6
⎯→ ⎯
yang merupakan barisan eksak atas A[s].
Bukti :
Didefinisikan ϕ
: X[s] X
→
F
sebagai .
Menurut Rotman 1979,
terdapat barisan eksak atas ,
yaitu : 0 K
X[s] X
∑
=
⊗
n i
i i
s x
a
∑
= n
i i
i
x F
] [s
A
→ →
⎯→ ⎯
ϕ
F
dengan →
] [
s X
K Ker
≅ =
ϕ sebagai A[s]‐modul. Pandang β : X[s]
K yang didefinisikan
∑
→
=
⊗
n i
i i
s x
a
∑
=
⊗ −
⊗
n i
i i
s 1
s s
1 x
1. Akan ditunjukkan bahwa β
adalah pemetaan atas A[s] Ambil
sebarang ,
∈X[s] dengan
= sehingga
diperoleh: .
Dari sini diperoleh sehingga
= .Mengingat
∑
=
⊗
n i
i i
s x
∑
=
⊗
n i
i i
s y
∑
=
⊗
n i
i i
s x
∑
=
⊗
n i
i i
s y
n n
1 n
n 1
s y
... s
y 1
y s
x ...
s x
1 x
⊗ +
+ ⊗
+ ⊗
= ⊗
+ +
⊗ +
⊗ i
, y
x
i i
∀ =
def n
i i
i
s x
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
∑
=
β
∑
=
⊗ −
⊗
n i
i i
s 1
s s
1 x
...
n n
1 n
n
s s
x s
x 1
s x
s x
⊗ −
⊗ +
+ ⊗
− ⊗
+
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
890
i ,
y x
i i
∀ =
maka diperoleh
: ...
n n
1 n
n 1
n 1
n n
1 n
s s
y s
y s
s y
s y
1 s
y s
y ⊗
− ⊗
+ ⊗
− ⊗
+ +
⊗ −
⊗
+ −
− −
=
∑
. Terbukti, β
merupakan pemetaan.
=
⊗ −
⊗
n i
i i
s 1
s s
1 y
def
=
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗
∑
= n
i i
i
s y
β 2. Akan
ditunjukkan bahwa Imβ ⊆ K. Ambil sebarang y∈ Imβ maka y
x s
X x
= ∈
∃ ]
[ β
Akan ditunjukkan y∈K.
Dengan mengambil x = x maka x
= x ⊗ 1 ∈ X[s] maka
diperoleh y
= βx = βx =
βx ⊗ 1 x
def
=
1⊗s – s⊗11 = x ⊗
s – x s
⊗1⇔ y = x ⊗s
– x s
⊗1∈K. Terbukti Imβ ⊆ K.
Dari 1 dan 2 bahwa β adalah pemetaan atas A[s] dengan Imβ ⊆ K.
3. Akan ditunjukkan β
injektif. Pandang β : ,
dengan
∑
=
⊗
n i
i i
s x
a
∑
=
⊗ −
⊗
n i
i i
s 1
s s
1 x
∑
=
⊗ −
⊗
n i
i i
s 1
s s
1 x
= Fx
⊗ 1+ ‐ x
∑
= −
⊗ −
n 1
i i
1 i
i
s x
Fx
n
⊗ s
n+1
. Untuk menunjukkan β
injektif cukup ditunjukkan bahwa Kerβ = {0}. Mengingat 0∈K artinya 0 = 0 ⊗ s
i
, ∀i sehingga Kerβ =
{ }
x s
X x
= ∈
| ]
[ β
= ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ⊗
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⊗
⊗
∑ ∑
∑
+ =
= =
1 n
i i
n i
i i
n i
i i
s s
x |
s x
β
def
=
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⊗ =
⊗ −
⊗ ⊗
∑ ∑
∑
+ =
= =
1 n
i i
n i
i i
n i
i i
s s
1 s
s 1
x s
x |
def
=
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
⊗ +
+ ⊗
+ ⊗
= ⊗
− ⊗
− +
⊗ ⊗
+ +
= −
=
∑ ∑
1 n
1 n
n n
1 i
i 1
i i
n i
i i
s s
1 s
x s
x Fx
1 Fx
s x
... |
. Secara
rekursif dapat diperoleh : x = 0; x
1
= 0 ; ... ; x
n ‐1
= 0; x
n
= 0 . Akibatnya
diperoleh : x
i
= 0, ∀i . Dari sini, kerβ = = {0}.
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
∀ =
⊗
∑
=
i ,
x |
s x
i n
i i
i
Terbukti,
β injektif
4. Akan ditunjukkan β surjektif.
Matematika
891
Karena Kerϕ = K, maka untuk setiap
∈ K diperoleh :
= 0 ∈X
∑
=
⊗
n i
i i
s y
∑
= n
i i
i
y F
F
sehingga persamaan y
= Fx ,
y
1
= Fx
1
– x ,
... , y
n
= –x
n ‐1
dapat diselesaikan secara rekursif
sehingga terbukti β surjektif. Dari 3 dan 4 terbukti β isomorfisma. Mengingat
pendefinisian dalam β = sI – F, maka terbukti bahwa barisan 0
X[s] X[s]
X →
⎯ ⎯ →
⎯
− F sI
⎯→ ⎯
ϕ
F
→ 0 merupakan barisan eksak atas .
□
] s
[ A
Beberapa hal yang dapat diperoleh dalam hubungannya dengan Lemma 3.2.5.
di atas, yaitu :
] s
[ X
F sI
] s
[ X
−
≅ X
F
3.7
III.3. Hubungan G dan G
F
Pembentukan pemetaan yang menghubungkan ring komutatif A dengan
ring polinomial A[s] sebagai bagian dari sistem linear atas ring komutatif
diasumsikan bahwa m adalah bilangan bulat positif tertentu yang menyatakan
banyak input. Hubungan G dan G
F
diberikan dalam diagram berikut :
F
X
p
A
s Re
F
H
H
G
p p
s A
s A
] [
F
G
m
s A ]
[
m
A i
Berdasarkan diagram di atas, apabila diberikan X modul atas A yang
dibangun secara berhingga dan
merupakan endomorfisma dari A‐ modul
X, maka melalui inklusi diperoleh bahwa setiap pemetaan
linear menentukan pemetaan
didefinisikan sebagai
:
X X
: F
→
m m
s A
A i
] [
: →
X A
: G
m
→
F m
F
X s
A G
→ ]
[ :
∑ ∑
≥ ≥
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
i i
i i
i i
F
u G
F s
u G
.
Lebih lanjut, G
F
merupakan homomorfisma modul
atas A[s] yang disajikan dalam lemma berikut :
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
892
Lemma 3.3.1.
Jika G
F
: A[s]
m
Æ X
F
yang didefinisikan sebagai : G
F
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
∑
≥0 i
i i
s u
=
∑
≥0 i
i i
u G
F ,
maka G
F
merupakan A[s]‐homorfisma.
Bukti :
Mengingat diagram hubungan G, G
F
dan i, maka G
F
jelas merupakan pemetaan yang
dijamin karena .
i G
G
F
o =
Cukup ditunjukkan bahwa G
F
merupakan A[s]‐homomorfisma, yaitu : ,
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∈ ∀
∑ ∑
≥ ≥
m i
i i
i i
i
s A
s v
s u
] [
, ]
[ s
A s
p ∈
∀ berlaku :
1. =
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
∑ ∑
≥ ≥
i i
i i
i i
F
s v
s u
G ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
∑
≥0 i
i i
F
s u
G ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
∑
≥0 i
i i
F
s v
G
2. = ps.
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∑
≥0 i
i i
F
s u
. s
p G
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∑
≥0 i
i i
F
s u
G Dari
1 dan 2 , terbukti G
F
adalah ‐homomorfisma modul.□
] [s
A
Berikutnya disajikan lemma yang menyajikan hubungan korespondensi
satu satu antara A‐homomorfisma G dan A[s]‐homomorfisma G
F
.
Lemma 3.3.2.
Jika diberikan pemetaan
yang didefinisikan
sebagai θG = G
X ,
] s
[ A
Hom X
, A
Hom :
F m
] s
[ A
m A
→ θ
F
, maka θ merupakan pemetaan bijektif.
Bukti :
Didefinisikan θ
: Hom
A
A
m
,X → Hom
A[s]
A[s]
m
,X
F
sebagai θG = G
F
Mengingat diagram hubungan G dan G
F
dan Lemma 3.3.1. diperoleh bahwa G dan
G
F
masing‐masing merupakan pemetaan linear dan G
F
merupakan ‐
homomorfisma modul, selanjutnya akan ditunjukkan bahwa θ bijektif
] [s
A
1. Akan ditunjukkan θ injektif
Ambil sebarang G
1
,G
2
∈Hom
A
A
m
,X. Akan ditunjukkan θ G
1
= θ G
2
⇒ G
1
= G
2
Matematika
893
Untuk setiap u
i
∈A
m
dapat dibentuk
∑
≥0 i
i i
s u
∈A[s]
m
. Diketahui θ G
1
= θ G
2
dan menurut
definisinya maka G
1F
= G
2F
sehingga untuk setiap
∑
≥0 i
i i
s u
∈A[s]
m
dapat diperoleh
: ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
∑
≥0 i
i i
1
s u
G
F
= ⇔
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
∑
≥0 i
i i
2
s u
G
F
∑
≥0 i
i 1
i
u G
F
∑
≥0 i
i 2
i
u G
F Mengingat
bahwa F∈ EndX dan G adalah pemetaan linear maka diperoleh :
u G
G F
i i
2 1
i
= −
∑
≥
s u
s u
G G
i i
i i
i i
F 2
1 def
∑ ∑
≥ ≥
= −
⇔ G
G
2 1
= −
⇔
2 1
G G
= ⇒
, untuk
∑
∈A[s]
≥0 i
i i
s u
m
. Terbukti bahwa θ injektif
2. Akan ditunjukkan θ surjektif
Dibentuk pemetaan θ
: Hom
A
A
m
,X Æ Hom
A [s]
A[s]
m
,X
F
yang didefinisikan : θGu
i
= G
F
. Ambil sebarang G
∑
≥0 i
i i
s u
F
∈Hom
A
A[s]
m
,X
F
, untuk setiap
∈A[s]
∑
≥0 i
i i
s u
m
, maka G
F
∑
≥0 i
i i
s u
def
=
∑
≥0 i
i i
u G
F ∈X
F
. Mengingat
∈A[s]
∑
≥0 i
i i
s u
m
maka u
i
∈A
m
dan dengan mengambil suatu G∈Hom
A
A
m
,X diperoleh Gu
i
∈X untuk
setiap u
i
∈A
m
. Mengingat
F : X → X, untuk Gu
i
∈X dan i≥0 berlaku :
∑
≥0 i
i i
u G
F ∈X.
Dari sini diperoleh θ Gu
i
=
∑
≥0 i
i i
u G
F
def
= G
F
∑
≥0 i
i i
s u
. Jadi terbukti θ surjektif.
Dari 1 dan 2 terbukti bahwa θ bijektif.□
III.4. Keterkendalian Sistem Linear Melalui Pendekatan Model Polinomial
Berdasarkan pembicaraan di atas terlihat bahwa sistem linear quintuple
menentukan suatu pendekatan untuk sistem linear quadruple
melalui pembentukan modul berhingga atas ring polinomial yang
didefinisikan sebagai berikut :
, ,
, ;
J H
G F
X
, ,
; J
H G
X
F F
F
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
894
Definisi 3.4.1.
Diberikan ring polinomial
dan m,p adalah bilangan bulat positif yang menyatakan banyaknya
input dan output. Pendekatan model polinomial pada sistem linear atas ring komutatif
yaitu dengan memandang modul statenya sebagai modul berhingga atas ring polinomial
. Selanjutnya dinotasikan sebagai bentuk quadruple
] [s
A
] [s
A ,
, ,
J Q
ψ φ
di mana
Q adalah modul berhingga atas ,
, dan
] [s
A
Q s
A
m
→ ]
[ :
φ
p p
s A
s A
Q ]
[ :
→ ψ
. Dengan
mengingat bahwa keterkendalian model polinomial pada sistem atas
ring komutatif dapat ditentukan dari kesurjektifan pemetaan di mana X
F m
F
X s
A G
→ ]
[ :
F
merupakan modul berhingga atas .
Berikut ini diberikan
definisi coprime‐kiri menurut [7].
] [s
A
Misalkan X, X
1
dan X
2
masing‐masing merupakan modul atas A yang dibangun
secara berhingga. Tinjau A[s]‐homomorfisma sebagai dan
H
1 2
1
H ,
G ,
G
2
dengan dan
, maka berikut merupakan definisi coprime‐kiri.
], [
] [
: s
X s
X G
1 1
→ ],
[ ]
[ :
s X
s X
G
2 2
→ ],
[ ]
[ :
s X
s X
H
1 1
→ ]
[ ]
[ :
s X
s X
H
2 2
→
Definisi 3.4.2.
G
1
dan G
2
dikatakan coprime kiri jika G
1
X
1
[s] + G
2
X
2
[s] = X[s]
Teorema berikut menyatakan keterkendalian dari sistem linear
quintuple yang bersesuaian dengan keterkendalian sistem linear
quadruple dinyatakan dalam pernyataan yang saling ekuivalen
sebagai berikut :
, ,
, ;
J H
G F
X
, ,
; J
H G
X
F F
F
Teorema 3.4.3.
Pernyataan ‐pernyataan berikut saling ekuivalen :
a. n
X G
F FG
G
n
≥ ∀
= +
+ +
, Im
... Im
Im b.
surjektif
F m
F
X s
A G
→ ]
[ :
c. dan
adalah coprime‐kiri
] [
] [
: s
X s
A G
m
→
] [
] [
: s
X s
X F
sI →
−
Bukti :
Matematika
895
Untuk menunjukkan pernyataan‐pernyataan yang saling ekuivalen di atas,
dengan menunjukkan bahwa a⇔b dan b⇔c sebagai berikut :
1. Akan ditunjukkan a ⇔ b
⇒ Diketahui : ImG + ImFG + ... + ImF
n
G = X ,
n ≥
∀ Akan
ditunjukkan : G
F
: A[s]
m
X →
F
surjektif. Mengingat pemetaan G
F
: A[s]
m
→ X
F
didefinisikan sebagai : G
F
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∑
= n
i i
i
s u
= .
Ambil sebarang y∈X
∑
= n
i i
i
u G
F
F
dan mengingat
bahwa y
elemen di X
F
, maka y =
, untuk setiap x
∑
≥0 i
i i
x F
i
∈X. Menurut diketahui
bahwa ImG + ImFG + ... + ImF
n
G = X, maka untuk setiap x
i
∈X dapat
dinyatakan sebagai : x
i
∈ ImG + ImFG + ... + ImF
n
G .
Akibatnya, untuk suatu x
i
dapat dinyatakan sebagai x
i
= x
i
+ 0 + 0 + ... + 0 sehingga x
i
∈ImG. Mengingat
pemetaan linear G : A
m
X, maka untuk suatu x →
i
∈ImG, ∃a
i
∈A
m
sedemikian sehingga
G a
i
= x
i
. Mengingat a
i
∈A
m
maka dapat dibentuk a=
∑
∈A[s]
= n
i i
i
s a
m
dan mengingat pemetaan G
F
membawa dari A[s]
m
ke X
F
diperoleh: G
F
a = G
F
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∑
= n
i i
i
s a
def
=
∑
= n
i i
i
a G
F
= = y. Terbukti, G
∑
= n
i i
i
x F
F
surjektif. ⇐
Diketahui : G
F
: A[s]
m
→ X
F
surjektif Akan
ditunjukkan : ImG + ImFG + ImF
2
G + ... + ImF
n
G = X. Mengingat X
F
adalah himpunan X tetapi X dan X
F
merupakan modul atas ring yang berbeda, yaitu
: X modul atas A dan X
F
modul atas .
Mengingat pemetaan G
] [s
A
F
: A[s]
m
→ X
F
mendefinisikan G
F
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∑
= n
i i
i
s u
= ,
untuk setiap ∈A[s]
∑
= n
i i
i
u G
F
∑
= n
i i
i
s u
m
dan
diketahui bahwa G
F
surjektif, maka untuk setiap ∈A[s]
∑
= n
i i
i
s u
m
diperoleh : Im
G
F
= X
F
. Di lain pihak untuk setiap n≥0, F
n
selalu dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari I,F, ..., F
n ‐1
, yaitu : F
n
= a I
+ a
1
F +... + a
n ‐1
F
n ‐1
. Karena
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
896
G
F
surjektif, maka untuk setiap ∈X
∑
= n
i i
i
u G
F
F
dan dengan mengingat pemetaan
G : A
m
X dimana Gu →
i
∈ImG⊆ X dengan u
i
∈A
m
. Dari sini, maka untuk
setiap u
i
∈A
m
diperoleh : ImG
F
= =
Gu
∑
= n
i i
i
u G
F
i
+ FGu
i
+ F
2
G u
i
+ ... + F
n
G u
i
, dengan Gu
i
∈ ImG⊆
X sehingga diperoleh : ImG
F
= ImG + ImFG + ...
+ ImF
n
G = X , untuk setiap u
i
∈A
m
. Terbukti, ImG + ImFG + ... + ImF
n
G .
2. Akan ditunjukkan b ⇔ c
⇒ Diketahui : G
F
: A[s]
m
→ X
F
surjektif Akan
ditunjukkan : G : A[s]
m
→ X[s] dan sI – F : X[s] X[s] coprime‐kiri
→ Menurut
definisi coprime‐kiri, untuk menunjukkan G dan sI – F coprime‐kiri dengan
menunjukkan bahwa : GA[s]
m
+ sI – FX[s] = X[s] Menurut
persamaan 3.7 dan G
F
surjektif, maka pemetaan surjektif.
Akibatnya, ImG = X[s] dan ImsI – F = X[s]. Dari sini, terlihat bahwa Im
G+ ImsI–F =X[s].
] [
] [
: s
X s
A G
→
Dengan kata lain, GA[s]
m
+ sI – FX[s] = X[s]. Terbukti G dan sI – F adalah coprime
kiri ⇐
Diketahui : dan sI – F : X[s] X[s] coprime‐kiri
] [
] [
: s
X s
A G
→
→ Akan
ditunjukkan bahwa G
F
: A[s]
m
X →
F
surjektif. Mengingat diketahui G dan sI
– F adalah coprime kiri, artinya : GA[s]
m
+ sI – FX[s] = X[s]. Dibentuk pemetaan
γ : A[s]
m
→ X
F
. Menurut persamaan 3.7 bahwa maka pemetaan γ
dapat dipandang sebagai pemetaan dari
A [s]
m
→
] [
] [
s X
F sI
s X
−
. Menurut diketahui bahwa pemetaan G : A[s] X[s]
yang didefinisikan sebagai : u Gu. Dengan memandang pemetaan γ
: A[s] →
a
m
Æ
] [
] [
s X
F sI
s X
−
yang didefinisikan sebagai u Gu mod sI – FX[s].
a
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ surjektif.
Matematika
897
Ambil sebarang y∈
] [
] [
s X
F sI
s X
−
, katakan y = Gu mod sI – FX[s]
Mengingat diketahui
, maka
untuk u∈A[s] ]
[ ]
[ :
s X
s A
G
m
→
m
diperoleh : Gu∈X[s] Mengingat
suatu pemetaan γ : X[s] →
] [
] [
s X
F sI
s X
−
adalah pemetaan surjektif
yang dijamin oleh barisan eksak, maka untuk Gu∈X[s] diperoleh : γ Gu
= Gu mod sI – FX[s] = y. Terlihat
γ surjektif dengan γ : X[s]→
] [
] [
s X
F sI
s X
−
dan diketahui
F
X s
X F
sI s
X ≅
− ]
[ ]
[
, maka diperoleh pemetaan X[s] ke X
F
juga surjektif. Namakan
G
F
sebagai pemetaan dari X[s] ke X
F
. Terbukti, G
F
surjektif. Dari
1 dan 2 terbukti bahwa pernyataan‐pernyataan dalam Teorema 3.4.3. saling
ekuivalen.□
IV. Simpulan
Pembahasan yang telah disampaikan pada bagian‐bagian sebelumnya
memberi kesimpulan awal mengenai keterkendalian sistem linear atas ring
komutatif melalui pendekatan polinomial sebagai berikut :
1. Sistem linear atas ring komutatif membangkitkan sistem linear atas ring
polinomialnya. 2. Pemetaan
linear atas ring komutatif yang menentukan karakterisasi keterkendalian
pada sistem linear quintuple membangkitkan pemetaan linear
atas ring polinomialnya. 3. Hubungan
korespondensi 1‐1 antara pemetaan linear atas ring komutatif dengan
pemetaan linear atas ring polinomialnya menunjukkan bahwa
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
898
sistem linear atas ring komutatif bersesuaian dengan sistem linear atas ring
polinomialnya. 4. Karakterisasi
keterkendalian dari sistem linear atas ring komutatif dan sistem
linear atas ring polinomialnya dapat disajikan sebagai pernyataan yang
saling ekuivalen, artinya : keterkendalian sistem linear atas ring komutatif
menentukan keterkendalian sistem linear atas ring polinomialnya.
V. Daftar Pustaka
[1] Adkins, A.W. and Weintraub, S.H., Algebra: An Approach via Module Theory,
Springer
‐Verlag, Inc., New York, 1992.
[2] Brewer, J.W., Bunce, J.W., and Van Vleck, F.S., Linear System Over
Commutative Rings, Marcel Dekker, Inc., New York, 1986.
[3] Chen, C.T., Linear System Theory and Design, CBS College Publishing,
Japan, 1984.
[4] Conte, G., and Perdon, A.M., Systems Over A Principal Ideal Domain. A
Polynomial Model Approach, SIAM J. Control and Optimization, 20 1982,
112 – 124.
[5] Fuhrmann, P.A., Algebraic Methods in System Theory ‐ The Influence of R.E.
Kalman ,
A. C. Antoulas Ed., Springer‐Verlag, Berlin, 1991, 233‐265. [6] Kalman,
R.E., Falb, P.L. and Arbib, M.A., Topics in Mathematical System Theory,
McGraw‐Hill, 1969. [7] Lomadze,
V., On Kalman Model Over A Commutative Ring, Proceedings of MTNS
Symposium in Perpignan, 2000. [8] Nielsen,
H.A., Elementary Commutative Algebra, Lecture Notes, University of
Aarhus, Spring, 2005.
Matematika
899
[9] Olsder, G.J., Mathematical Systems Theory, Delftse Uitgevers Matschappij
b.v., The Netherlands, 1994.
[10] Sontag, E.D., Linear System Over Commutative Rings : A survey, Ricerche di
Automatica 7 1976, 1 – 34.
[11] Rotman, J.J., An Introduction To Homological Algebra, Academic Press, New
York, 1979.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
900
Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang
diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007
Pengaruh Misspesifikasi Desain Survey Pada Pendugaan Area Kecil
Dengan Pendekatan Generalized Regression
Anang Kurnia
1
, Bagus Sartono, dan Rahayu Wulandari
Departemen Statistika – Institut Pertanian Bogor
Jl. Meranti Wing 22 Level 4
Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680
1
e‐mail : anangkipb.ac.id Abstrak
Pendugaan area kecil merupakan konsep terpenting dalam pendugaan parameter di suatu area yang
relatif kecil dalam percontohan survei. Berbagai inisiasi dan permasalahan yang dihadapi dalam
mengaplikasi konsep pendugaan area kecil pada data BPS di Indonesia, seperti yang disajikan dalam seri
paper Kurnia dan Notodiputro 2005 – 2007 menunjukkan ada permasalahn serius khsususnya pada
beberapa hal : besarnya rasio keragaman antar area kecil dibandingan dengan keragaman di dalam setiap
area kecil, kemungkinan misspesifikasi model, serta pengaruh desain survey yang sering kali kurang
mendapat perhatian. Dalam paper ini, penulis fokus pada pendekatan generalized regression GREG dan
pengembanganannya model based design estimator, MBDE sebagai upaya untuk mengeliminir pengaruh
desain survey serta mendapatkan penduga yang robust. Di akhir paper disajikan aplikasi pada data ril
Survey Sosial Ekonomi Nasional SUSENAS 2005 dengan peubah penyerta dari data Potensi Desa
PODES 2005.
Kata
kunci : generalized regression, model based design estimator
1. Pendahuluan
