Penyelesaian Masalah Nilai Eigen Matriks Nonsimetris Dengan
Metode Supertriangularization Dilanjutkan Dengan Metode Qr
Menggunakan Matlab
Oleh :
Maharani
Fakultas
Sains dan Teknik Unsoed Abstrak
Masalah nilai eigen merupakan suatu masalah untuk mencari nilai eigen dari suatu matriks bujur
sangkar. Penelitian ini membahas metode Supertriangularization dan metode QR dalam mencari nilai eigen
matriks riil nonsimetris. Metode Supertriangularization mengubah matriks riil nonsimetris berukuran
menjadi matriks Hessenberg, selanjutnya matriks Hessenberg diubah menjadi matriks segitiga dengan
menggunakan metode QR yang melibatkan faktorisasi QR, unsur diagonal utama dari matriks segitiga
tersebut merupakan nilai eigen dari matriks awal. Pembuatan program dilakukan dengan menggunakan
bahasa MATLAB untuk lebih memudahkan dan mempercepat dalam perhitungan mencari nilai
eigen.
n n
×
Metode Supertriangularization mengubah matriks riil nonsimetris A berukuran
menjadi matriks
Hessenberg atas B dengan menggunakan operasi baris demi baris dan kolom demi kolom, dengan tujuan
membuat nol unsur‐unsur di bawah unsur subdiagonal. Selanjutnya matriks Hessenberg atas B diubah
menjadi matriks segitiga atas S dengan menggunakan metode QR yang melibatkan faktorisasi QR. Dengan
menggunakan faktorisasi QR, matriks B diubah menjadi matriks orthogonal Q dan matriks segitiga
atas R, kemudian matriks R dikalikan dengan matriks Q sehingga diperoleh matriks yang similar dengan
matriks B. Proses faktorisasi diulang hingga diperoleh matriks segitiga atas S yang similar dengan matriks
B. Nilai eigen dari matriks A adalah unsur‐unsur dalam diagonal utama matriks S.
n n
×
Kata kunci :
Nilai eigen, Matriks Hessenberg, Metode Supertriangularization, Metode QR, Faktorisasi
QR, MATLAB.
1. PENDAHULUAN Latar
Belakang Masalah
Misalkan matriks A adalah matriks bujur sangkar berukuran n×n atas bilangan
riil. Bilangan riil λ disebut nilai eigen eigenvalue dari matriks A jika terdapat
vektor tidak nol x R
n
sedemikian hingga Ax = λx. Setiap vektor tidak
nol
x yang memenuhi persamaan Ax = λx disebut vektor eigen eigenvector
yang bersesuaian dengan nilai λ. Masalah nilai eigen adalah mencari nilai eigen
dari suatu matriks berukuran n×n.
Terdapat beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan nilai eigen pada matriks simetris dan nonsimetris. Metode
Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang
diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007
numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai eigen pada
matriks simetris antara lain metode Jacobi, metode Householder’s, dan metode
Kuasa. Metode‐metode tersebut mempunyai kesamaan yaitu membentuk
matriks riil simetris ke bentuk matriks diagonal, dengan diagonal utamanya
adalah nilai eigen dari matriks tersebut. Salah satu metode numerik yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai eigen pada matriks nonsimetris
adalah metode Supertriangularization.
Metode Supertriangularization adalah metode pencarian nilai eigen untuk
matriks riil nonsimetris dengan terlebih dahulu mereduksi matriks tersebut ke
bentuk matrikss Hessenberg. Kemudian dari bentuk matriks Hessenberg akan
dicari nilai eigen dengan menggunakan metode QR, yang mengubah matriks
Hessenberg menjadi matriks segitiga yang nilai eigennya adalah nilai eigen dari
matriks A.
Penggunaan program sangat diperlukan untuk membantu perhitungan
menyelesaikan masalah nilai eigen dengan menggunakan metode
Supertriangularization yang dilanjutkan dengan metode QR. Proses reduksi
matriks ke bentuk matrikss Hessenberg yang kemudian dilanjutkan dengan
penggunaan metode QR melibatkan perhitungan dan iterasi. Semakin besar
ukuran matriks yang akan dicari nilai eigennya, maka akan semakin rumit
perhitungannya. Oleh karena itu diperlukan program komputer untuk
mempermudah dan mempercepat pencarian nilai eigen dari matriks tersebut.
Salah satu perangkat lunak yang dapat digunakan untuk membuat program
tersebut adalah MATLAB Matrix Laboratory.
Perumusan masalah
Berdasarkan uraian di atas maka muncul permasalahan, yaitu
bagaimana menyelesaikan masalah nilai eigen untuk matriks riil nonsimetris
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
796
dengan menggunakan metode Supertriangularization yang dilanjutkan dengan
metode QR dan bagaimana menuliskannya dalam program.
Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dari penulisan skripsi ini adalah mengkaji
metode Supertriangularization dan metode QR dan membuat programnya dalam
MATLAB untuk menyelesaikan masalah nilai eigen matriks riil nonsimetris.
Manfaat
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat bagi peneliti dan
pengajar matematika yaitu dapat digunakan sebagai salah satu kajian ilmiah
Aljabar Numerik khususnya mengenai penyelesaian masalah nilai eigen
matriks riil nonsimetris, dan sebagai pertimbangan dalam materi kuliah pada
kurikulum yang akan datang.
2. METODOLOGI
