satu
prediktor tetapi lebih dari satu prediktor, antara lain Yong 2005
menggunakan distribusi lognormal untuk mengaproksimasi harga Asian option
yang tidak hanya bergantung pada harga asetnya saja tetapi juga oleh lintasan
harga aset selama berlakunya option itu. Distribusi lognormal digunakan juga
untuk menganalisis keandalan umum dan analisis kekuatan material yang
dipengaruhi
oleh banyak faktor Anonim 2, 2006.
Analisis regresi merupakan suatu metode statistika yang digunakan
untuk menjelaskan hubungan antara variabel respon dengan variabel
prediktornya. Model regresi nonparametrik yang digunakan untuk
menghubungkan variabel respon dan d variabel prediktor untuk n pengamatan
berbentuk :
, ,...,
1 i
di i
i
x x
f y
ε =
n i
,..., 2
, 1
=
1 dengan
. Asumsi
, ~
2
σ ε
LN
i i
ε yang berdistribusi lognormal mengakibatkan nilai
ln
i
ε berdistribusi normal, sehingga diperoleh model
2
1
,...,
i di
i i
x x
f y
ε +
=
dengan ,
, ;
i i
y y
ln =
,..., ln
,...,
1 1
di i
di i
x x
f x
x f
=
i i
ε ε
ln =
, ~
2
σ ε
N
i
Oleh karena fungsi
diasumsikan sebagai fungsi aditif, maka model 2
menjadi f
3
1 i
d j
ji j
i
x f
y ε
+ =
∑
=
Estimator Penalized Spline merupakan suatu pendekatan baru yang
populer
untuk teknik smoothing dalam regresi nonparametrik Hall dan Opsomer,
2005. Penalized spline merupakan potongan‐potongan polinomial
yaitu polinomial yang memiliki sifat tersegmen yang kontinyu yang
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
920
memberikan fleksibilitas yang lebih daripada polinomial biasa, sehingga
memungkinkan untuk menyesuaikan diri secara efektif terhadap karakteristik
lokal dari fungsi atau data. Pada makalah ini, masing‐masing fungsi
pada model
3 akan diestimasi berdasarkan estimator Penalized Spline berderajat dengan
parameter penghalus
j
f
j
p
j
λ . Model 3 akan diaplikasikan pada data balita
di RSU Haji Surabaya tahun 2006.
2. Estimator Penalized Spline Multiprediktor
Diberikan n data pengamatan
{ }
n i
i d
j ji
y x
1 1
, }
{
= =
mengikuti model regresi multiplikatif
sebagai berikut : ,
,...,
1 i
di i
i
x x
f y
ε =
n i
,..., 2
, 1
=
4 dengan
. Asumsi
, ~
2
σ ε
LN
i i
ε yang berdistribusi lognormal mengakibatkan nilai
ln
i
ε berdistribusi normal, sehingga diperoleh model
5
1
,...,
i di
i i
x x
f y
ε +
=
dengan ,
, ;
.
i i
y y
ln =
,..., ln
,...,
1 1
di i
di i
x x
f x
x f
=
i i
ε ε
ln =
, ~
2
σ ε
N
i
Oleh karena fungsi
diasumsikan sebagai fungsi aditif, maka model 5
menjadi f
6
1 i
d j
ji j
i
x f
y ε
+ =
∑
=
Fungsi pada persamaan 6 yang tidak diketahui bentuknya akan diestimasi
dengan menggunakan pendekatan estimator Penalized Spline.
j
f
Fungsi penalized spline dengan orde
dan titik‐titik knot
j
p
jk j
j
ξ ξ
ξ
,..., ,
2 1
dapat dinyatakan sebagai :
Matematika
921
7
∑
+ =
=
j j
k p
h ji
h jh
ji j
x x
f φ
β
dengan menunjukkan koefisien vektor dan
T k
p j
j j
j
j j
,..., ,
1 +
= β
β β
β
ji h
x
φ didefinisikan
sebagai berikut :
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
+ ≤
≤ +
− ≤
≤ =
+ −
j j
j p
p h
j ji
j h
ji ji
h
k p
h p
untuk x
p h
untuk x
x
j j
1 ξ
φ 8
dimana adalah banyaknya knot prediktor ke‐j dan
j
k
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≥ −
= −
− −
− +
−
, ,
j j
j j
j j
p h
j p
h j
p p
h j
ji p
p h
j ji
x x
x x
ξ ξ
ξ ξ
Didefinisikan matriks
adalah
j
X
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
− −
− −
− −
=
+ +
+ +
+ +
j j
j j
j j
j j
j j
j j
p jk
jn p
j jn
p jn
jn jn
p jk
j p
j j
p j
j j
p jk
j p
j j
p j
j j
j
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x X
1 1
1
1 2
2 1
2 2
2 2
2 1
1 1
1 2
1 1
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
L L
M M
L K
L K
9 Sehingga
estimator penalized spline dari dapat dituliskan sebagai
berikut :
j j
X f
10
j j
j j
X X
f
β
ˆ ˆ
=
Nilai didapatkan dengan meminimumkan fungsi PLS Penalized Least
Square :
j
βˆ
∑ ∑
= +
=
+ −
j j
k h
h p
j j
n i
ji j
i
x f
y n
1 2
1 2
} {
1 β
λ 11
Sehingga diperoleh
1
ˆ Y
X D
n X
X
T j
j j
j T
j j
−
+ =
λ β
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
922
Selanjutnya dalam regresi nonparametrik multiprediktor yang dilakukan
adalah menentukan fungsi penghalus dari masing‐masing prediktor dengan
meminimumkan fungsi sebagai berikut :
∑ ∑ ∑
∑
= =
+ =
=
+ −
d j
k h
h p
j j
n i
d j
ji j
i
j j
x f
y n
1 1
2 1
2 1
} {
} ˆ
{ 1
β λ
12 sehingga
bentuk estimasi dari adalah
j j
X f
j j
j j
X X
f
β
ˆ ˆ
=
dengan 13
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
=
∑
≠ −
j h
h h
T j
j j
j T
j j
X Y
X D
n X
X β
λ β
1
ˆ
Atau dapat dituliskan sebagai :
14 ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
=
∑
≠ j h
h h
j j
j
X Y
H X
f β
λ ˆ
dengan
T j
j j
j T
j j
j
X D
n X
X X
H
1 −
+ =
λ λ
Fungsi pada persamaan 14 kemudian digunakan untuk melakukan iterasi
hingga didapatkan jumlah kuadrat residu yang konvergen.
ˆ
j
f
Secara lengkap bentuk estimator fungsi regresi nonparametrik
multiprediktor dengan error lognormal dengan pendekatan penalized spline
adalah :
15 ˆ
exp ˆ
1
∑
=
=
d j
j j
X f
Y ˆ
exp
1
∑
=
=
d j
j j
X β
dengan .
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
=
∑
≠ −
j h
h h
T j
j j
j T
j j
X Y
X D
n X
X β
λ β
1
ˆ 3.
Aplikasi pada Data Balita di RSU Haji Surabaya
Matematika
923
Estimator Penalized Spline pada regresi nonparametrik multiprediktor
dengan error lognormal akan diaplikasikan pada data balita di RSU Haji
Surabaya
pada tahun 2006 sebanyak 49 pengamatan, yang diambil dari Puji dan
Puspa 2006. Data tersebut merupakan data tentang berat badan balita
berdasarkan umur, tinggi badan, dan lingkar kepala. Untuk mendapatkan
estimator model regresi nonparametrik multiprediktor yang menunjukkan
seberapa besar pengaruh faktor umur, tinggi badan, dan lingkar kepala balita
terhadap berat badan balita di RSU Haji Surabaya dibuat program pada software
S ‐Plus 2000. Langkah awal yang dilakukan adalah menentukan
j
β masing‐
masing variabel prediktor secara parsial sebagai nilai awal iterasi. Selanjutnya
adalah melakukan iterasi dengan menggunakan algoritma back‐fitting untuk
mendapatkan koefisien regresi
j
β yang menghasilkan jumlah kuadrat residu
yang konvergen dengan menggunakan software S‐Plus 2000. Berdasarkan hasil
iterasi program diperoleh nilai MSE = 0.013493 dengan bentuk estimator
penalized spline masing‐masing
adalah : ˆ
j j
X f
a. =
ˆ
1 1
X f
+
− −
+ −
12 015646
. 012497
. 383138
. 2
1 1
X X
+
− +
33 012239
.
1
X b.
= ˆ
2 2
X f
+
− +
+ 733
. 001939
. 103814
. 1
376476 .
1
2 2
X X
+
− +
88 .
008206 .
2
X c.
= ˆ
3 3
X f
+
− −
+ 46
. 001314
. 735620
. 3
543201 .
3 3
X X
Secara lengkap bentuk estimator fungsi regresi nonparametrik
multiprediktor pada data balita di RSU Haji Surabaya tahun 2006 dapat
dituliskan :
ˆ exp
ˆ
3 1
∑
=
=
j j
j
X f
Y
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
924
+ +
− +
− −
+ −
= 33
012239 .
12 015646
. 012497
. 383138
. 2
exp
1 1
1
X X
X
2
103814 .
1 376476
. 1
X +
+
+ +
− +
− +
88 .
008206 .
733 .
001939 .
2 2
X X
+
− −
+ +
46 .
001314 .
735620 .
3 543201
.
3 3
X X
Dari hasil pengujian asumsi error berdistribusi lognormal menggunakan
software Statgraphics dengan uji Kolmogorov‐Smirnov diperoleh p‐value =
0.704681, dengan tingkat signifikansi α = 5 dapat disimpulkan bahwa error
berdistribusi lognormal.
Berdasarkan model di atas, dapat disimpulkan bahwa pertambahan
umur balita akan menaikkan berat badan kecuali umur 12 bulan hingga 33
bulan sedangkan pertambahan tinggi badan dan lingkar kepala akan
menaikkan berat badan. Oleh karena itu, balita berumur 12 bulan hingga 33
bulan harus diberi tambahan kalori agar berat badannya tidak turun karena
aktivitas yang berlebih.
DAFTAR PUSTAKA
Anonim1, 2006, The Lognormal Distribution, http:limnology.wisc.edu Akses :
2007, Maret
Anonim2, 2006, Lognormal Distributions, http:www.chinarel.com Akses :
2007, Maret
Hall, P. and Opsomer, J.D., 2005, Theory for Penalized Spline Regression,
Biometrika, 92,1, pp. 105‐118.
Puji, A.W. and Puspa, P., 2006, Analisis Pola Hubungan Antara Umur dengan Berat
Badan, Tinggi Badan, Lingkar Kepala serta Lengan Balita Studi Kasus di RSU
Haji Surabaya Tahun 2006, Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, ITS.
Matematika
925
Ronitua, M., 2002, Kajian Fenomena Hurst dan Uji Statistik Debit Input Waduk
Kaskade Citarum, http:digilib.ampl.or,id Akses: 2007, Maret.
Yong, B, 2005, Penggunaan Distribusi Lognormal dan Distribusi Gauss Invers untuk
Mengaproksimasi Konstruksi Hedging Port Folio pada Asian Option,
http:digilib.itb.ac,id Akses: 2007, Maret.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
926
On The Mcshane Integral For Riesz‐Spaces‐Valued Functions Defined
On Real Line
Yosephus D. Sumanto
1
, Muslim ansori
2
1
Mathematics Departement, Universitas Diponegoro
Jln.Prof.H. Soedarto,SH,Tembalang,Semarang. Email :sumanto_123yahoo.com
2
Mathematics Departement, Universitas Lampung
Jln. Soemantri Brodjonegoro No. 1 Bandar Lampung. Email :
ansomathyahoo.com
Abstract
This paper is a partial result of our researchs in the main topic ʺOn The McShane Integral for Riesz‐
Spaces ‐valued Functions Defined on the space
ʺ. We construct McShane integral for Riesz‐spaces‐ valued
functions defined on the space by a technique involving double sequences and prove some
basic properties among which the fact that our new integral is coincides with the McShane Integral for
Banach ‐spaces valued functions defined on space .
n
R R
R
Keywords : Riesz Space, McShane Integral
1. Introduction
