Fungsi hazard proporsional, survival dan fungsi kepadatan peluang fkp Fungsi likelihood Lokal likelihood

bergantung pada komponen parametrik yang ditetapkan. Kemudian, penduga tersebut digunakan untuk mengkonstruksi profile likelihood untuk komponen parametrik dengan menggunakan fungsi likelihood. Kedua, dengan memaksimumkan fungsi profile likelihood ini dapat diperoleh penduga untuk komponen parametrik.

4. Estimasi parameter regresi hazard proporsional semiparametrik dengan

hazard dasar parametrik

a. Fungsi hazard proporsional, survival dan fungsi kepadatan peluang fkp

Misalkan bahwa observasi data uji hidup dicatat sebagai pasangan pengamatan , i i t δ , , dengan i i X , Z ⎩ ⎨ ⎧ ≤ = = i i i i i i i i C T C T C T t jika , jika , 1 , , min δ , model hazard proporsional semiparametrik dituliskan sebagai berikut ; , , | β z z x t h x t h Ψ = ; , t dH x β z Ψ = 4 dengan ] exp[ ; , x x T λ + = Ψ β z β z , h t adalah fungsi hazard dasar dan H t adalah fungsi hazard dasar kumulatif. Misalkan S t adalah fungsi survivor yang berkaitan dngan h t . Misalkan pula ft|z, x menyatakan fkp bersyarat dari T diberikan Z, X=z, x, dan St|z, x adalah fungsi survivor bersyaratnya. Maka fkp bersyarat dari T adalah 5 ] exp[ ] ][ exp[ , | x T T t S x t h x t f λ λ + + = β z β z z dan fungsi survivornya adalah Matematika 941 . 6 ] exp[ ] [ , | x T t S x t S λ + = β z z Dalam model hazard di atas, diasumsikan bahwa fungsi hazard dasar h t diparameterisasi menjadi h t= . Parameter model dapat dituliskan dan , σ t h T T T , σ β θ = λ , dengan λ adalah fungsi smooth yang tak diketahui dari ℜ ke ℜ, adalah vektor parameter berukuran v x 1, dan adalah vektor parameter berukuran p x 1. σ β

b. Fungsi likelihood

Dengan mengasumsikan bahwa fungsi smooth x λ diparameterisasi menjadi ; γ λ λ x x = , fungsi likelihood diberikan oleh : 7 i i i i i n i i i i x t S x t f L δ δ λ − = ∏ = 1 1 , | , | , z z θ Log ‐likelihood dapat ditulis [ ] ∑ = − + = n i i i i i i i i i n x t S x t f L 1 , | log 1 , | log , z z θ δ δ λ = [ ] { } ∑ = + + + + n i i i T i i T i i i t S x x t h 1 ; log ] ; exp[ ] ; [ ; log σ β z β z σ γ λ γ λ δ = 8 [ ] { } ∑ = + − + + n i i i T i i T i i i t H x x t h 1 ; ] ; exp[ ] ; [ ; log σ β z β z σ γ λ γ λ δ dengan mencatat bahwa ; log ; σ σ t S t H − = .

c. Lokal likelihood

Misalkan bahwa turunan orde ke‐p dari x λ ada dan mempunyai nilai pada titik x, maka dengan ekspansi Taylor, diperoleh p p x X p x x X x x X − + + − + ≈ λ λ λ λ L , 9 untuk X dalam persekitaran x. Misalkan b menyatakan parameter bandwidth, dan W adalah fungsi kernel. Ambil SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 942 T p x X x X X } , , , 1 { ~ − − = L dan T p i i i x X x X X } , , , 1 { ~ − − = L maka x λ dapat dimodelkan sebagai γ λ T X X ~ ≈ 10 dengan . { } T p T p p x x x , , , , , , 1 λ λ λ γ γ γ γ K L = = Dengan menggunakan model lokal ini, dapat dicari penduga θ dan γ yang memaksimumkan fungsi log likelihood lokal berikut { ∑ = − + + = = n i T i T i i i n n X t h n 1 1 ] ~ , [log , , , γ δ γ γ β z σ σ β θ l l } ] ~ exp[ ; x X W X t H i b T i T i i − + − γ β z σ 11 dengan .Lokal likelihood seperti ini telah digunakan oleh Gentlemen dan Crowley 1991 untuk orde p = 1, dan diperluas untuk sembarang orde p oleh Fan, Gijbels dan King 1997 dalam kasus nonparametrik. 1 b u W b u W b − = Misalkan γˆ dan θ nilai yang memaksimumkan 8, penduga dari adalah ˆ x j λ , j = 0, 1, …, p. 12 j j j x γ λ ˆ ˆ =

d. Estimasi Generalized Profile Likelihood