Model regresi linier log gamma Estimasi parameter regresi log gamma dengan metode MLE

Model regresi dan analisisnya juga dapat diterapkan pada data tahan hidup suatu objek tertentu. Pada data tahan hidup, model regresi digunakan untuk menguji keterkaitan dari peubah bebas dengan waktu tahan hidupnya, dimana waktu tahan hidupnya mempunyai distribusi yang bergantung pada peubah bebas. Salah satu diantaranya adalah model regresi log gamma pada sampel lengkap . Model regresi log gamma dapat dituliskan dalam bentuk : z dengan , adalah parameter skala, dan z berdistribusi log‐gamma dengan Probability Density Function PDF : fz ; k = , . dengan z = . Pada model regresi log gamma terdapat dua parameter yang akan diestimasi yaitu parameter dan parameter . Lawless, 1982 2. Pembahasan

2.1 Model regresi linier log gamma

Pada data tahan hidup, model regresi digunakan untuk menguji keterkaitan dari peubah bebas dengan waktu tahan hidupnya, dimana waktu tahan hidupnya mempunyai distribusi yang bergantung pada peubah bebas. Salah satu diantaranya adalah model regresi log‐gamma pada data uji hidup dengan sampel lengkap. Untuk menentukan model regresi dari Y = log T langkah pertama adalah menentukan pdf dari . Misalkan T adalah waktu tahan hidup yang bergantung SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 758 pada variabel regresor x dan diasumsikan mempunyai distribusi gamma dengan parameter skala , parameter bentuk dan derajat bebas dengan pdf , . 1 maka Y = log T berdistribusi log gamma dengan parameter lokasi , parameter skala dan derajat bebas . Adapun bentuk pdf dari Y = log T jika diberikan x adalah , . 2 Bentuk yang paling sering digunakan untuk adalah = , dimana x = dan = 1 . Sehingga bentuk PDF dari Y = log T jika diberikan dapat ditulis dalam bentuk : , . 3 Model Regresi linier log gamma dapat ditentukan dengan menggunakan ekspektasi bersyarat dari oleh dengan berdasarkan pada pdf 3. Ekspektasi bersyarat dari oleh adalah 4 dimana merupakan pdf dari distribusi Log Gamma standart maka . Persamaan 4 dapat disederhanakan menjadi : 5 dengan adalah vektor berukuran dari peubah tak bebas, adalah matriks berukuran dari peubah bebas, adalah vektor berukuran dari variabel regressor, dan adalah vektor galat. Dengan mengestimasi parameter dan , maka diperoleh persamaan regresi Log Gammanya adalah : . Matematika 759

2.2 Estimasi parameter regresi log gamma dengan metode MLE

Jika berdistribusi identik dan independent dengan pdf 3, maka fungsi likelihood untuk sampel tersebut adalah 6 Dari persamaan Likelihood 6 maka persamaan log Likelihoodnya adalah sebagai berikut : 7 Dalam MLE, setelah diperoleh persamaan log Likelihood, langkah berikutnya adalah perlu menurunkan persamaan 7 terhadap parameternya kemudian menyamadengankan nol sebagai syarat perlu untuk memaksimumkan fungsi log Likelihoodnya. • Turunan Fungsi Log Likelihood terhadap Parameter Misalkan merupakan parameter yang berupa vektor berukuran , maka fungsi log Likelihoodnya harus diturunkan terhadap semua elemen vektor parameter . Turunan terhadap dan disamadengankan nol adalah: = 0, 8 • Turunan Fungsi Log Likelihood terhadap Parameter Turunan terhadap dan disamadengankan nol adalah: = 0 9 SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 760 Berdasarkan hasil penurunan fungsi log likelihood terhadap masing–masing parameter dandengan , seperti pada persamaan 8 dan 9 terlihat bahwa persamaannya masih berupa bentuk implisit sehingga untuk mendapatkan nilai estimator parameternya diperlukan pendekatan numerik secara iteratif dengan menggunakan metode Newton – Raphson. Berdasarkan metode Newton – Raphson, maka hal yang perlu dilakukan adalah mendapatkan turunan kedua dari fungsi log likelihood yaitu , dan dengan . Turunan kedua tersebut adalah : = = 10 = 11 = 12 Telah diketahui bahwa , maka 10, 11 dan 12 dapat dituliskan sebagai berikut : = 13 = 14 = 15

2.3 Penerapan program pada kasus data tahan hidup