6. Kesimpulan
Berdasarkan perhitungan melalui simulasi dan pembahasan hasil
mengenai metode–metode yang digunakan yaitu metode Naive, metode Cox,
metode Cox modifikasi, metode berdasarkan teori sampel besar, dan metode
interval kepercayaan tergeneralisasi, disimpulkan bahwa metode yang dapat
digunakan dengan baik dalam menentukan interval kepercayaan untuk mean
pada distribusi log – normal adalah metode Cox modifikasi dan metode
interval kepercayaan tergeneralisasi.
Kedua metode tersebut dapat menghasilkan interval kepercayaan untuk
mean yang baik untuk semua ukuran sampel dengan μ = 5 dan
σ
=1, namun
untuk metode Cox modifikasi memiliki kelebihan yaitu perhitungan dapat
dilakukan secara manual. Sedangkan untuk metode interval kepercayaan
tergeneralisasi sangat sulit untuk perhitungan dan memerlukan komputer
untuk melakukan simulasi distribusi sampling.
7. Daftar Pustaka
Information from answers.com. 2007. Log‐normal Distribution. 6hlm.
http:www.answers.comtopiclognormaldistribution.html. 21 Januari
2007. 14.35
. Montgomery,
D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik.
Jogjakarta : Gadjah Mada University Press.
Olsson, U. 2005. Confidence Intervals for The Mean of a Log‐Normal
Distribution.
Journal of Statistics Education, Sweden : Uppsala, 131
Putra,A., P., 2007, Interval Kepercayaan untuk mean distribusi log normal, Skripsi di
Jurusan Statistika FMIPA UII, Jogjakarta
Soejoeti,
Z.1986. Metode Statistika I. Jakarta : Karunika.
Walpole,
R.E dan Myers, R.H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur
dan Ilmuwan. Edisi ke‐4. Bandung : ITB Bandung.
Matematika
675
Wikipedia The Free Encyclopedia. 2006. Interval Estimation. 1hlm.
http:www.wikipedia.orgsearchlognormal.html. 20 September 2006.
21.57 .
Wikipedia The Free Encyclopedia. 2006. Point Estimation. 1hlm.
http:www.wikipedia.orgsearchlognormal.html. 20 September 2006.
21.35.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
676
Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang
diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007
Lattice Ideal Dan Annihilator Aljabar BCI
Yeni Susanti
Jurusan Matematika FMIPA UGM
inielsusanyahoo.com Abstrak:
Annihilator sebarang subset aljabar BCI merupakan ideal tertutup di dalam aljabar BCI.
Himpunan semua ideal tertutup bersama‐sama dengan annihilatornya membentuk struktur lattice yang
pseudo ‐complemented.
Kata kunci : ideal tertutup, annihilator
Definisi 1
Suatu aljabar X,,0 tipe 2, 0 disebut aljabar BCI jika memenuhi aksioma‐aksioma :
1. x ∗ y ∗ x ∗ z ∗ z ∗ y = 0
2. x ∗ x ∗ y ∗ y = 0
3. x ∗ x = 0
4. x ∗ y = 0 y ∗ x = 0 ⇒ x = y
untuk setiap x, y, z ∈ X.
Aljabar BCI X disebut aljabar BCK jika untuk setiap x∈X berlaku 0 ∗ x = 0.
Contoh 2
Struktur aljabar yang merupakan aljabar BCI BCK di antaranya adalah [2] :
1. Himpunan bilangan bulat Z dilengkapi dengan operasi minus ”‐”
2. Himpunan X = { 0, a, b } dengan operasi biner “∗” seperti pada tabel
berikut merupakan aljabar BCK:
∗ 0 a b
0 0 0 a
a 0 b b
b b 0 3. Himpunan
2
S
= { A | A ⊆ S } dengan elemen nol ∅ dan operasi “⁄
” yang
didefinisikan sebagai berikut ∀ A, B ∈ 2
S
A ⁄ B ≡ A ∩ B
C
untuk sebarang himpunan S merupakan aljabar BCK.
4. Sebarang grup abelian G,+ merupakan aljabar BCI dengan operasi ∗
didefinisikan sebagai :
x ∗ y = x + ‐y
untuk setiap x dan y di dalam G. 5. Interval
[0, a] dengan operasi x
∗ y = maks { 0, x – y } untuk
setiap x, y ∈ [0, a] dengan a sebarang bilangan real positif merupakan
aljabar BCK.
Definisi 3
Diberikan aljabar BCI X. Himpunan tak kosong I ⊆ X disebut ideal di dalam X jika
1. 0 ∈ I
2. ∀ x, y ∈ X x ∗ y ∈ I y ∈ I ⇒ x ∈ I .
Ideal I di dalam aljabar BCI X dikatakan tertutup jika untuk setiap x di dalam I berlaku
∗ x berada di dalam I .
Dari definisi ideal tertutup di atas terlihat bahwa setiap ideal di dalam
aljabar BCK merupakan ideal tertutup
Definisi 4 [1]
Untuk sebarang aljabar BCI X dan A⊆X, annihilator dari A yang dinotasikan
dengan A, didefinisikan sebagai
A =
} |
{ =
∈ ∀
∈ x
a a
A a
X x
.
Dengan definisi tersebut selanjutnya akan dikaji sifat‐sifat annihilator
sebarang subset, struktur annihilator dan sifat‐sifat terkait dengan struktur lain
dalam hal ini lattice.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
678
Ternyata, annihilator sebarang himpunan dari suatu aljabar BCI
membentuk struktur ideal. Hal ini dijelaskan lebih lanjut pada proposisi berikut
ini. Lemma
5 Annihilator
sebarang himpunan bagian di dalam aljabar BCI X merupakan ideal tertutup.
Bukti: Ambil
sebarang himpunan A ⊆ X dan bentuk A
∗
. Selanjutnya ambil
sebarang y ∗ x ∈ A
∗
dengan x ∈ A
∗
. Akan dibuktikan y ∈ A
∗
. Untuk
sebarang a ∈ A berlaku a
∗ a ∗ 0 = a ∗ a = 0 sehingga
diperoleh 0 ∈ A
∗
. Lebih
lanjut, dari x ∗ y ∈ A
∗
dengan x ∈ A
∗
diperoleh :
untuk sebarang a ∈ A berlaku : a ∗ a ∗ x = 0
1 dan
a ∗ [a ∗ y ∗ x] = 0.
2 Dari
1 dan aksioma 2 diperoleh: 0 ∗ x = [a ∗ a ∗ x ] ∗ x = 0
sehingga 0 = 0 ∗ x = a ∗ a ∗ x = a ∗ x ∗
a. 3
Dari 1 dan 3 dan aksioma 4 diperoleh
a ∗ x = a.
4 Dengan
cara yang sama diperoleh a
∗ y ∗ x = a. 5
Dari 4, 5 dan aksioma 1 diperoleh
a ∗ a ∗ y = [ a ∗ y ∗ x ] ∗ a ∗ y = [a ∗ x ∗ y ∗ x ] ∗ a ∗ y = 0. Jadi,
y ∈ A
∗
sehingga terbukti bahwa A
∗
merupakan ideal.
Matematika
679
Tinggal menunjukkan bahwa A
∗
ideal tertutup. Ambil sebarang x ∈ A
∗
. Akan
dibuktikan 0 ∗ x ∈ A
∗
. Karena x ∈ A
∗
maka a
∗ a ∗ x = 0, sehingga
∗ x = [ a ∗ a ∗ x ]
∗ x = a ∗ x ∗ a ∗ x = 0 ∈ A
∗
. Dengan
demikian terbukti bahwa A
∗
merupakan ideal tertutup ■
Berikut ini akan diberikan beberapa hasil tentang annihilator terkait
dengan aljabar BCK.
Lemma 6
Jika A dan B merupakan ideal tertutup di dalam aljabar BCK X maka
A∩B = {0} ⇔ A⊆B
∗
Bukti :
⇒ Ambil
sebarang a ∈ A. Akan dibuktikan a ∈ B
∗
. Ambil sebarang b ∈ B. Akan
dibuktikan b
∗ b ∗ a = 0 Karena
[b ∗ b ∗ a] ∗ a = 0 ∈ A
dengan a ∈ A dan A ideal maka diperoleh
b ∗ b ∗ a ∈ A.
Di samping itu, karena X merupakan aljabar BCK maka
[b ∗ b ∗ a] ∗ b = b ∗ b ∗ b ∗ a
= 0 ∗ b ∗ a = 0 ∈ B. Karena
b ∈ B dan B ideal maka diperoleh b ∗ b ∗ a ∈ B.
Jadi, b
∗ b ∗ a ∈ A ∩ B = {0}
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
680
atau dengan kata lain
b ∗ b ∗ a = 0.
Dengan demikian terbukti a ∈ B
∗
. ⇐
Diketahui A ⊆ B
∗
. Akan dibuktikan A∩B = {0}. Ambil sebarang x∈A∩B, akan
ditunjukkan x = 0.
Untuk sebarang x∈A∩B diperoleh x∈ A ⊆ B
∗
dan sekaligus x∈B sehingga = x ∗ x∗ x = x ∗ 0 = x.
Jadi, A∩B = {0}. ■
Lebih lanjut jika CIX menyatakan himpunan semua ideal tertutup di
dalam aljabar BCI X maka pada CIX dapat didefinisikan operasi meet ”∧” dan
join ”∨” sebagai berikut ini :
A∧B := A∩B
dan A∨B
:= { x ∈ X | ∃a ∈ A, ∃ b ∈ B, x ∗ a ∗ b = 0 }.
Akan ditunjukkan bahwa operasi tersebut merupakan operasi biner.
Jelas dari sifat ideal bahwa irisan dua ideal tertutup merupakan ideal
tertutup. Selanjutnya,
untuk sebarang ideal tertutup A dan B di dalam X , A∨B juga
merupakan ideal. Hal ini dapat dilihat pada referensi [3]. Dengan
demikian tinggal menunjukkan bahwa A∨B tertutup yaitu untuk
sebarang x∈ A∨B akan ditunjukkan 0 ∗ x ∈ A∨B. Karena x∈ A∨B maka ada
a∈A dan b∈B sehingga x
∗ a ∗ b = 0 sehingga
∗ [x ∗ a ∗ b ] = [0 ∗ x ∗ 0 ∗ a] ∗ 0 ∗ b = 0.
Matematika
681
Karena A dan B ideal tertutup maka 0∗a dan 0∗b berturut‐turut merupakan
elemen di dalam A dan B. Dengan demikian ada elemen a’= 0∗a ∈ A dan b’= 0 ∗
b ∈ B sehingga
[0∗ x ∗ a’] ∗ b’ = 0.
Jadi 0 ∗ x ∈ A∨B.
Proposisi 7
Untuk sebarang ideal tertutup A dan B berlaku
A ⊆ A ∨ B.
Bukti :
Untuk sebarang x ∈ A selalu ada a = x ∈ A dan b = 0 ∈ B sehingga
x ∗ a ∗ b = 0.
Dengan kata lain x ∈ A ∨ B. ■
Akibat 8
Untuk sebarang ideal tertutup A dan B dengan B ⊆ A berlaku
A ∨ B = A Bukti
: Menurut
proposisi 7 berlaku A⊆A∨B. Untuk sebarang x∈A∨B dengan B⊆A, ada a∈A
dan a’∈B ⊆ A sehingga x
∗ a ∗ a’= 0. Karena
A ideal maka x ∗ a ∈ A sehingga diperoleh x ∈ A. Jadi A∨B ⊆ A. Dengan demikian
terbukti A = A ∨ B. ■
Akibat 9
Untuk sebarang ideal tertutup A berlaku
A ∨ A = A.
Bukti :
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
682
Cukup jelas berdasarkan akibat 8. ■
Proposisi 10
Jika untuk setiap ideal tertutup A,B, C dan D dengan A ⊆ B dan C ⊆ D berlaku
A ∨ C ⊆ B ∨ D
Bukti :
Dari definisi operasi join :
A∨C := { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ c ∈ C, x ∗ a ∗ c = 0 }.
diperoleh untuk sebarang x∈A∨C, dapat ditemukan a∈A⊆B dan c∈C⊆D
sehingga x
∗ a ∗ c = 0. Jadi,
x∈B∨D. Jadi, A∨C ⊆ B∨D. ■
Lebih lanjut, ternyata, terhadap dua operasi biner ∨ dan ∧, CIX
membentuk lattice dengan elemen maksimalnya adalah X dan elemen
minimalnya adalah singleton {0}. Keterangan lengkapnya diberikan pada
teorema berikut ini.
Teorema 11
Jika X aljabar BCI maka CIX, ∧, ∨, X, {0} merupakan lattice distributif. lebih lanjut,
jika X merupakan aljabar BCK maka CIX, ∧, ∨, ∗, X, {0} merupakan lattice
distributif yang pseudo‐complemented.
Bukti: Akan
dibuktikan sifat‐sifat berikut berlaku : 1. idempoten
Trivial untuk relasi meet ” ∧ ”.
Menurut akibat 9, idempotensi juga berlaku untuk operasi join “∨”
Matematika
683
2. komutatif
Trivial untuk relasi meet ” ∧ ”.
Untuk relasi join ”∨”, karena di dalam aljabar BCI berlaku sifat
x ∗ y∗ z = x ∗ z∗ y
maka berarti A∨B
:= { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, x ∗ a ∗ b = 0 } = { x ∈ X | ∃ b ∈ B, ∃ a ∈ A, x ∗ b ∗ a = 0 }
:= B∨A. 3.
asosiatif Trivial
untuk relasi meet ” ∧ ”. Bukti
keasosiatifan relasi join” ∨ ”dapat dilihat pada referensi [3]. 4.
absorbsi Untuk sebarang ideal tertutup A dan B berlaku A ⊆ A dan A ⊆ A ∨ B
menurut proposisi 7. Akibatnya, diperoleh
A ⊆ A ∩ A ∨ B = A ∧ A ∨ B.
Di sisi lain, untuk A dan B tersebut selalu berlaku A
∩ A ∨ B ⊆ A. Dengan
kata lain diperoleh A
∧ A ∨ B ⊆ A sehingga
A ∧ A ∨ B = A.
Selanjutnya, karena A
∧ B = A ∩ B ⊆ A, maka
menurut akibat 8 diperoleh A
∨ A ∧ B = A. 5.
distributif Untuk sebarang ideal tertutup A, B dan C selalu berlaku
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
684
A∨ B∧C
:= { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B∧C, x ∗ a ∗ b = 0 } = { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B∩C, x ∗ a ∗ b = 0 }
= { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, x ∗ a ∗ b = 0 dan ∃
a ∈ A, ∃ b ∈ C, x ∗ a ∗ b = 0 } ⊆ A∨B ∧ A∨C
Perhatikan bahwa untuk sebarang ideal tertutup A, B dan C berlaku
A∧B ⊆ A, A∧B ⊆ B, A∧C ⊆ A, A∧C ⊆ C.
Akibatnya, menurut proposisi 10 diperoleh A∧B
∨ A∧C ⊆ A ∨ A=A dan
A∧B ∨ A∧C ⊆ B ∨ C
sehingga A∧B
∨ A∧C ⊆ A ∩ B ∨ C = A ∧ B ∨ C. Selebihnya, untuk bukti
A∨B ∧ A∨C ⊆ A∨B∧C dan
A ∧ B ∨ C ⊆ A∧B ∨ A∧C
dapat dilihat pada referensi [3]. Dengan demikian, terbukti CIX, ∧, ∨, X, {0} merupakan lattice distributif.
Lebih lanjut, jika X aljabar BCK maka dari lemma 6 terbukti bahwa A
∗
merupakan pseudo‐complement dari A. Dengan demikian terbukti teorema 12. ■
Matematika
685
REFERENSI [1]
Kondo, M., 1998, Annihilators in BCK‐Algebras II, Mathematical Science, Vol.
31, hal. 21‐25 [2]
Susanti, Y., 2004, Ideal dan Subaljabar di dalam Aljabar BCI, Tesis, FMIPA UGM
[3] Wei,
S. M., Jun, Y. B., Ideal Lattices of BCI‐Algebras, Math. Japonica, Vol. 44,No.
6, hal. 303‐305
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
686
Estimasi Model Regresi Lognormal Pada Sampel Tersensor Tipe I Dengan
Menggunakan Metode Maximum Likelihood
Arie Ayu Prasasti, Toha Saifudin, Suliyanto
Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Airlangga
ABSTRAK
Secara umum jika t adalah waktu tahan hidup, bentuk model regresi dari waktu tahan hidup
yang berdistribusi Lognormal adalah
z y
σ
+ = X
β
dengan y = Log t. Tujuan penulisan ini adalah untuk
mengestimasi parameter model diatas. Estimator parameter regresi Lognormal pada data tersensor tipe I
dengan MLE dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan
1 1
,
1 1
= ⋅
− +
= ∂
∂
∑ ∑
= =
σ δ
δ σ
β σ
il n
i i
i i
n i
il i
l
x z
V z
x LogL
β
dan
{ }
1 1
1 1
,
1 1
2 1
= ⋅
− +
+ −
= ∂
∂
∑ ∑
∑
= =
= n
i i
i n
i i
i n
i i
z z
V z
LogL
δ σ
δ σ
δ σ
σ σ
β
. Metode yang digunakan
untuk menyelesaikan system persamaan tersebut dalam tulisan ini adalah dengan metode Newton –
Raphson melalui Software S‐Plus. Setelah menyelesaikan system persamaan diatas maka akan diperoleh
estimator dan
βˆ
σˆ
pada regresi data tahan hidup pasien Myeloma.
Kata Kunci :
Model Regresi Linier, Data Tersensor Tipe I, Distribusi Normal, Distribusi Lognormal,
Maksimum Likelihood Estimator MLE.
1. Pendahuluan