Kesimpulan Daftar Pustaka Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

6. Kesimpulan

Berdasarkan perhitungan melalui simulasi dan pembahasan hasil mengenai metode–metode yang digunakan yaitu metode Naive, metode Cox, metode Cox modifikasi, metode berdasarkan teori sampel besar, dan metode interval kepercayaan tergeneralisasi, disimpulkan bahwa metode yang dapat digunakan dengan baik dalam menentukan interval kepercayaan untuk mean pada distribusi log – normal adalah metode Cox modifikasi dan metode interval kepercayaan tergeneralisasi. Kedua metode tersebut dapat menghasilkan interval kepercayaan untuk mean yang baik untuk semua ukuran sampel dengan μ = 5 dan σ =1, namun untuk metode Cox modifikasi memiliki kelebihan yaitu perhitungan dapat dilakukan secara manual. Sedangkan untuk metode interval kepercayaan tergeneralisasi sangat sulit untuk perhitungan dan memerlukan komputer untuk melakukan simulasi distribusi sampling.

7. Daftar Pustaka

Information from answers.com. 2007. Log‐normal Distribution. 6hlm. http:www.answers.comtopiclognormaldistribution.html. 21 Januari 2007. 14.35 . Montgomery, D.C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Jogjakarta : Gadjah Mada University Press. Olsson, U. 2005. Confidence Intervals for The Mean of a Log‐Normal Distribution. Journal of Statistics Education, Sweden : Uppsala, 131 Putra,A., P., 2007, Interval Kepercayaan untuk mean distribusi log normal, Skripsi di Jurusan Statistika FMIPA UII, Jogjakarta Soejoeti, Z.1986. Metode Statistika I. Jakarta : Karunika. Walpole, R.E dan Myers, R.H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Edisi ke‐4. Bandung : ITB Bandung. Matematika 675 Wikipedia The Free Encyclopedia. 2006. Interval Estimation. 1hlm. http:www.wikipedia.orgsearchlognormal.html. 20 September 2006. 21.57 . Wikipedia The Free Encyclopedia. 2006. Point Estimation. 1hlm. http:www.wikipedia.orgsearchlognormal.html. 20 September 2006. 21.35. SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 676 Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007 Lattice Ideal Dan Annihilator Aljabar BCI Yeni Susanti Jurusan Matematika FMIPA UGM inielsusanyahoo.com Abstrak: Annihilator sebarang subset aljabar BCI merupakan ideal tertutup di dalam aljabar BCI. Himpunan semua ideal tertutup bersama‐sama dengan annihilatornya membentuk struktur lattice yang pseudo ‐complemented. Kata kunci : ideal tertutup, annihilator Definisi 1 Suatu aljabar X,,0 tipe 2, 0 disebut aljabar BCI jika memenuhi aksioma‐aksioma : 1. x ∗ y ∗ x ∗ z ∗ z ∗ y = 0 2. x ∗ x ∗ y ∗ y = 0 3. x ∗ x = 0 4. x ∗ y = 0 y ∗ x = 0 ⇒ x = y untuk setiap x, y, z ∈ X. Aljabar BCI X disebut aljabar BCK jika untuk setiap x∈X berlaku 0 ∗ x = 0. Contoh 2 Struktur aljabar yang merupakan aljabar BCI BCK di antaranya adalah [2] : 1. Himpunan bilangan bulat Z dilengkapi dengan operasi minus ”‐” 2. Himpunan X = { 0, a, b } dengan operasi biner “∗” seperti pada tabel berikut merupakan aljabar BCK: ∗ 0 a b 0 0 0 a a 0 b b b b 0 3. Himpunan 2 S = { A | A ⊆ S } dengan elemen nol ∅ dan operasi “⁄ ” yang didefinisikan sebagai berikut ∀ A, B ∈ 2 S A ⁄ B ≡ A ∩ B C untuk sebarang himpunan S merupakan aljabar BCK. 4. Sebarang grup abelian G,+ merupakan aljabar BCI dengan operasi ∗ didefinisikan sebagai : x ∗ y = x + ‐y untuk setiap x dan y di dalam G. 5. Interval [0, a] dengan operasi x ∗ y = maks { 0, x – y } untuk setiap x, y ∈ [0, a] dengan a sebarang bilangan real positif merupakan aljabar BCK. Definisi 3 Diberikan aljabar BCI X. Himpunan tak kosong I ⊆ X disebut ideal di dalam X jika 1. 0 ∈ I 2. ∀ x, y ∈ X x ∗ y ∈ I y ∈ I ⇒ x ∈ I . Ideal I di dalam aljabar BCI X dikatakan tertutup jika untuk setiap x di dalam I berlaku ∗ x berada di dalam I . Dari definisi ideal tertutup di atas terlihat bahwa setiap ideal di dalam aljabar BCK merupakan ideal tertutup Definisi 4 [1] Untuk sebarang aljabar BCI X dan A⊆X, annihilator dari A yang dinotasikan dengan A, didefinisikan sebagai A = } | { = ∈ ∀ ∈ x a a A a X x . Dengan definisi tersebut selanjutnya akan dikaji sifat‐sifat annihilator sebarang subset, struktur annihilator dan sifat‐sifat terkait dengan struktur lain dalam hal ini lattice. SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 678 Ternyata, annihilator sebarang himpunan dari suatu aljabar BCI membentuk struktur ideal. Hal ini dijelaskan lebih lanjut pada proposisi berikut ini. Lemma 5 Annihilator sebarang himpunan bagian di dalam aljabar BCI X merupakan ideal tertutup. Bukti: Ambil sebarang himpunan A ⊆ X dan bentuk A ∗ . Selanjutnya ambil sebarang y ∗ x ∈ A ∗ dengan x ∈ A ∗ . Akan dibuktikan y ∈ A ∗ . Untuk sebarang a ∈ A berlaku a ∗ a ∗ 0 = a ∗ a = 0 sehingga diperoleh 0 ∈ A ∗ . Lebih lanjut, dari x ∗ y ∈ A ∗ dengan x ∈ A ∗ diperoleh : untuk sebarang a ∈ A berlaku : a ∗ a ∗ x = 0 1 dan a ∗ [a ∗ y ∗ x] = 0. 2 Dari 1 dan aksioma 2 diperoleh: 0 ∗ x = [a ∗ a ∗ x ] ∗ x = 0 sehingga 0 = 0 ∗ x = a ∗ a ∗ x = a ∗ x ∗ a. 3 Dari 1 dan 3 dan aksioma 4 diperoleh a ∗ x = a. 4 Dengan cara yang sama diperoleh a ∗ y ∗ x = a. 5 Dari 4, 5 dan aksioma 1 diperoleh a ∗ a ∗ y = [ a ∗ y ∗ x ] ∗ a ∗ y = [a ∗ x ∗ y ∗ x ] ∗ a ∗ y = 0. Jadi, y ∈ A ∗ sehingga terbukti bahwa A ∗ merupakan ideal. Matematika 679 Tinggal menunjukkan bahwa A ∗ ideal tertutup. Ambil sebarang x ∈ A ∗ . Akan dibuktikan 0 ∗ x ∈ A ∗ . Karena x ∈ A ∗ maka a ∗ a ∗ x = 0, sehingga ∗ x = [ a ∗ a ∗ x ] ∗ x = a ∗ x ∗ a ∗ x = 0 ∈ A ∗ . Dengan demikian terbukti bahwa A ∗ merupakan ideal tertutup ■ Berikut ini akan diberikan beberapa hasil tentang annihilator terkait dengan aljabar BCK. Lemma 6 Jika A dan B merupakan ideal tertutup di dalam aljabar BCK X maka A∩B = {0} ⇔ A⊆B ∗ Bukti : ⇒ Ambil sebarang a ∈ A. Akan dibuktikan a ∈ B ∗ . Ambil sebarang b ∈ B. Akan dibuktikan b ∗ b ∗ a = 0 Karena [b ∗ b ∗ a] ∗ a = 0 ∈ A dengan a ∈ A dan A ideal maka diperoleh b ∗ b ∗ a ∈ A. Di samping itu, karena X merupakan aljabar BCK maka [b ∗ b ∗ a] ∗ b = b ∗ b ∗ b ∗ a = 0 ∗ b ∗ a = 0 ∈ B. Karena b ∈ B dan B ideal maka diperoleh b ∗ b ∗ a ∈ B. Jadi, b ∗ b ∗ a ∈ A ∩ B = {0} SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 680 atau dengan kata lain b ∗ b ∗ a = 0. Dengan demikian terbukti a ∈ B ∗ . ⇐ Diketahui A ⊆ B ∗ . Akan dibuktikan A∩B = {0}. Ambil sebarang x∈A∩B, akan ditunjukkan x = 0. Untuk sebarang x∈A∩B diperoleh x∈ A ⊆ B ∗ dan sekaligus x∈B sehingga = x ∗ x∗ x = x ∗ 0 = x. Jadi, A∩B = {0}. ■ Lebih lanjut jika CIX menyatakan himpunan semua ideal tertutup di dalam aljabar BCI X maka pada CIX dapat didefinisikan operasi meet ”∧” dan join ”∨” sebagai berikut ini : A∧B := A∩B dan A∨B := { x ∈ X | ∃a ∈ A, ∃ b ∈ B, x ∗ a ∗ b = 0 }. Akan ditunjukkan bahwa operasi tersebut merupakan operasi biner. Jelas dari sifat ideal bahwa irisan dua ideal tertutup merupakan ideal tertutup. Selanjutnya, untuk sebarang ideal tertutup A dan B di dalam X , A∨B juga merupakan ideal. Hal ini dapat dilihat pada referensi [3]. Dengan demikian tinggal menunjukkan bahwa A∨B tertutup yaitu untuk sebarang x∈ A∨B akan ditunjukkan 0 ∗ x ∈ A∨B. Karena x∈ A∨B maka ada a∈A dan b∈B sehingga x ∗ a ∗ b = 0 sehingga ∗ [x ∗ a ∗ b ] = [0 ∗ x ∗ 0 ∗ a] ∗ 0 ∗ b = 0. Matematika 681 Karena A dan B ideal tertutup maka 0∗a dan 0∗b berturut‐turut merupakan elemen di dalam A dan B. Dengan demikian ada elemen a’= 0∗a ∈ A dan b’= 0 ∗ b ∈ B sehingga [0∗ x ∗ a’] ∗ b’ = 0. Jadi 0 ∗ x ∈ A∨B. Proposisi 7 Untuk sebarang ideal tertutup A dan B berlaku A ⊆ A ∨ B. Bukti : Untuk sebarang x ∈ A selalu ada a = x ∈ A dan b = 0 ∈ B sehingga x ∗ a ∗ b = 0. Dengan kata lain x ∈ A ∨ B. ■ Akibat 8 Untuk sebarang ideal tertutup A dan B dengan B ⊆ A berlaku A ∨ B = A Bukti : Menurut proposisi 7 berlaku A⊆A∨B. Untuk sebarang x∈A∨B dengan B⊆A, ada a∈A dan a’∈B ⊆ A sehingga x ∗ a ∗ a’= 0. Karena A ideal maka x ∗ a ∈ A sehingga diperoleh x ∈ A. Jadi A∨B ⊆ A. Dengan demikian terbukti A = A ∨ B. ■ Akibat 9 Untuk sebarang ideal tertutup A berlaku A ∨ A = A. Bukti : SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 682 Cukup jelas berdasarkan akibat 8. ■ Proposisi 10 Jika untuk setiap ideal tertutup A,B, C dan D dengan A ⊆ B dan C ⊆ D berlaku A ∨ C ⊆ B ∨ D Bukti : Dari definisi operasi join : A∨C := { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ c ∈ C, x ∗ a ∗ c = 0 }. diperoleh untuk sebarang x∈A∨C, dapat ditemukan a∈A⊆B dan c∈C⊆D sehingga x ∗ a ∗ c = 0. Jadi, x∈B∨D. Jadi, A∨C ⊆ B∨D. ■ Lebih lanjut, ternyata, terhadap dua operasi biner ∨ dan ∧, CIX membentuk lattice dengan elemen maksimalnya adalah X dan elemen minimalnya adalah singleton {0}. Keterangan lengkapnya diberikan pada teorema berikut ini. Teorema 11 Jika X aljabar BCI maka CIX, ∧, ∨, X, {0} merupakan lattice distributif. lebih lanjut, jika X merupakan aljabar BCK maka CIX, ∧, ∨, ∗, X, {0} merupakan lattice distributif yang pseudo‐complemented. Bukti: Akan dibuktikan sifat‐sifat berikut berlaku : 1. idempoten Trivial untuk relasi meet ” ∧ ”. Menurut akibat 9, idempotensi juga berlaku untuk operasi join “∨” Matematika 683 2. komutatif Trivial untuk relasi meet ” ∧ ”. Untuk relasi join ”∨”, karena di dalam aljabar BCI berlaku sifat x ∗ y∗ z = x ∗ z∗ y maka berarti A∨B := { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, x ∗ a ∗ b = 0 } = { x ∈ X | ∃ b ∈ B, ∃ a ∈ A, x ∗ b ∗ a = 0 } := B∨A. 3. asosiatif Trivial untuk relasi meet ” ∧ ”. Bukti keasosiatifan relasi join” ∨ ”dapat dilihat pada referensi [3]. 4. absorbsi Untuk sebarang ideal tertutup A dan B berlaku A ⊆ A dan A ⊆ A ∨ B menurut proposisi 7. Akibatnya, diperoleh A ⊆ A ∩ A ∨ B = A ∧ A ∨ B. Di sisi lain, untuk A dan B tersebut selalu berlaku A ∩ A ∨ B ⊆ A. Dengan kata lain diperoleh A ∧ A ∨ B ⊆ A sehingga A ∧ A ∨ B = A. Selanjutnya, karena A ∧ B = A ∩ B ⊆ A, maka menurut akibat 8 diperoleh A ∨ A ∧ B = A. 5. distributif Untuk sebarang ideal tertutup A, B dan C selalu berlaku SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 684 A∨ B∧C := { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B∧C, x ∗ a ∗ b = 0 } = { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B∩C, x ∗ a ∗ b = 0 } = { x ∈ X | ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, x ∗ a ∗ b = 0 dan ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ C, x ∗ a ∗ b = 0 } ⊆ A∨B ∧ A∨C Perhatikan bahwa untuk sebarang ideal tertutup A, B dan C berlaku A∧B ⊆ A, A∧B ⊆ B, A∧C ⊆ A, A∧C ⊆ C. Akibatnya, menurut proposisi 10 diperoleh A∧B ∨ A∧C ⊆ A ∨ A=A dan A∧B ∨ A∧C ⊆ B ∨ C sehingga A∧B ∨ A∧C ⊆ A ∩ B ∨ C = A ∧ B ∨ C. Selebihnya, untuk bukti A∨B ∧ A∨C ⊆ A∨B∧C dan A ∧ B ∨ C ⊆ A∧B ∨ A∧C dapat dilihat pada referensi [3]. Dengan demikian, terbukti CIX, ∧, ∨, X, {0} merupakan lattice distributif. Lebih lanjut, jika X aljabar BCK maka dari lemma 6 terbukti bahwa A ∗ merupakan pseudo‐complement dari A. Dengan demikian terbukti teorema 12. ■ Matematika 685 REFERENSI [1] Kondo, M., 1998, Annihilators in BCK‐Algebras II, Mathematical Science, Vol. 31, hal. 21‐25 [2] Susanti, Y., 2004, Ideal dan Subaljabar di dalam Aljabar BCI, Tesis, FMIPA UGM [3] Wei, S. M., Jun, Y. B., Ideal Lattices of BCI‐Algebras, Math. Japonica, Vol. 44,No. 6, hal. 303‐305 SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 686 Estimasi Model Regresi Lognormal Pada Sampel Tersensor Tipe I Dengan Menggunakan Metode Maximum Likelihood Arie Ayu Prasasti, Toha Saifudin, Suliyanto Jurusan Matematika FMIPA Universitas Airlangga ABSTRAK Secara umum jika t adalah waktu tahan hidup, bentuk model regresi dari waktu tahan hidup yang berdistribusi Lognormal adalah z y σ + = X β dengan y = Log t. Tujuan penulisan ini adalah untuk mengestimasi parameter model diatas. Estimator parameter regresi Lognormal pada data tersensor tipe I dengan MLE dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan 1 1 , 1 1 = ⋅ − + = ∂ ∂ ∑ ∑ = = σ δ δ σ β σ il n i i i i n i il i l x z V z x LogL β dan { } 1 1 1 1 , 1 1 2 1 = ⋅ − + + − = ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i i z z V z LogL δ σ δ σ δ σ σ σ β . Metode yang digunakan untuk menyelesaikan system persamaan tersebut dalam tulisan ini adalah dengan metode Newton – Raphson melalui Software S‐Plus. Setelah menyelesaikan system persamaan diatas maka akan diperoleh estimator dan βˆ σˆ pada regresi data tahan hidup pasien Myeloma. Kata Kunci : Model Regresi Linier, Data Tersensor Tipe I, Distribusi Normal, Distribusi Lognormal, Maksimum Likelihood Estimator MLE.

1. Pendahuluan