ˆ exp
j
j
ˆ exp
ˆ exp
1 ˆ
x
x x
′ −
∈
⎟⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎝ ⎛
′ ′
− =
∑
j
t R
l l
j
ξ
12 sedangkan
untuk setiap pengamatan ke‐i dari n individu adalah :
i i
t R
l l
i δ
ξ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎜ ⎝
⎛ ′
′ −
=
′ −
∈
∑
ˆ exp
i
i
ˆ exp
ˆ exp
1 ˆ
x
x x
13 Dari
persamaan diatas, estimator fungsi hazard dasar dapat dicari, sehingga untuk
lebih lanjutnya akan didapatkan model regresi Cox.
Setelah model regresi Cox didapat, kelayakan dari model yang
didapat perlu ditaksir dengan menggunakan residual Cox‐Snell. Residual
Cox ‐Snell untuk individu ke‐i, dengan i=1, 2,..., n, diberikan sebagai berikut:
14
ˆ ˆ
exp
i i
i
t H
rc x
′ =
dimana merupakan estimasi fungsi hazard dasar kumulatif pada
waktu .
ˆ
i
t H
i
t
III. APLIKASI DATA REAL
3.1.
Kasus Data Tahan Hidup Pasien Penderita Penyakit Jantung Koroner
Contoh kasus untuk waktu tahan hidup, misalnya pada kasus waktu
tahan hidup pasien penyakit jantung koroner Infark Miokard. Kasus ini
merupakan suatu kasus yang menarik didalam penulisan data uji hidup.
Penyakit jantung koroner PJK merupakan penyakit jantung yang
disebabkan kelainan pada arteri koronaria pembuluh darah koroner.
Sebagian besar kurang lebih 98 disebabkan oleh karena proses
aterosklerosis pada pembuluh darah koroner, sedangkan penyebab lainnya
Matematika
865
hanya
sekitar 2 Adipranoto dan Suryawan,2003. Pada proses
aterosklerosis ini, pembuluh darah koroner menyempit karena terjadi
endapan ‐endapan lemak di dindingnya, sehingga aliran darah untuk
kebutuhan otot jantung berkurang, yang berakibat pada terganggunya
fungsi
otot jantung.
Terdapat beberapa faktor resiko yang dapat meningkatkan resiko
terhadap PJK, yaitu :
a. Faktor resiko yang dapat kendalikan : dislipidemia, hipertensi, diabetes
mellitus, merokok, aktivitas fisik yang kurang, stress, kepribadian tipe A.
b. Faktor resiko yang tidak dapat dikendalikan : usia, jenis kelamin,
genetik. Semua
faktor resiko diatas perlu mendapat perhatian sebagai salah satu tindakan
preventif, utamanya faktor resiko yang dapat dikendalikan
Lubis,1998
. Dari kasus ini akan ditentukan model regresi Cox dari data
tahan hidup pasien PJK. Data waktu tahan hidup pasien PJK ini diperoleh
dari RSUD dr. Soetomo tahun 2002.
Sebelum menggunakan model hazard proporsional, asumsi yang
harus diperhatikan adalah fungsi hazard untuk kategori yang berbeda pada
variabel bebas harus proporsional pada setiap waktu. Pemeriksaan asumsi
hazard proporsional untuk waktu tahan hidup pasien penderita PJK dapat
ditunjukkan dengan plot log{‐log
} terhadap t. Model memenuhi asumsi
hazard proporsional apabila plot tersebut menghasilkan garis paralel
sejajar kasar untuk setiap kategori yang berbeda pada variabel bebas.
t S
i
Berdasarkan plot log{‐log
} terhadap t untuk masing‐masing
variabel didapat tiga variabel yang memenuhi asumsi proporsional hazard,
yaitu variabel tekanan darah diastolik, kadar kolesterol, dan kadar LDL.
Sehingga untuk lebih lanjutnya dalam penulisan ini hanya ketiga variabel
t S
i
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
866
tersebut yang merupakan peubah bebas yang mempengaruhi model regresi
Cox. Adapun model regresi Cox yang akan dibentuk adalah :
exp
3 3
2 2
1 1
i i
i i
x x
x t
h t
h β
β β
+ +
=
dengan :
merupakan fungsi hazard untuk pengamatan ke‐i, merupakan
fungsi hazard dasar dan masing‐ masing merupakan
nilai dari variabel tekanan darah diastolik, kadar kolesterol, dan kadar LDL
untuk setiap pengamatan ke‐i.
t h
i
t h
i i
i
x x
x
3 2
1
, ,
Dari hasil iterasi dengan menggunakan Metode Newton ‐ Rhapson
melalui software S‐Plus diperoleh nilai estimatornya sebagai berikut :
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
007059578 .
004621532 .
042098472 .
ˆ
Berdasarkan hasil analisis dari contoh kasus data tahan hidup pasien
PJK dengan tipe penyensoran datanya adalah tersensor tipe I, dimana
waktu tahan hidupnya tanpa ada pengulangan ties, maka bentuk model
regresi Cox dari data tahan hidup pasien Penyakit Jantung Koroner adalah
i i
x t
h t
h
1
042098472 ,
exp ˆ
ˆ −
=
i
x
2
004621532 ,
− 007059578
,
3i
x −
. Dengan
menggunakan software S‐Plus, didapatkan bahwa nilai residual
Cox‐snell tidak berdistribusi eksponensial dengan rata‐rata satu, sehingga
dapat dikatakan model yang didapat tidak sesuai atau kurang tepat.
3.2.
Kasus Data Tahan Hidup Pasien Penderita Penyakit Ginjal
Dalam penulisan ini untuk data kedua digunakan kasus data tahan
hidup
pasien penderita penyakit ginjal D. Collet, 1994 . Dalam
pengamatan tentang penyakit ginjal, dialisis digunakan untuk
memindahkan kotoran dari darah. Satu masalah yang dapat terjadi pada
pasien dialisis adalah kejadian dari suatu infeksi pada tempat di mana pipa
catheter dimasukkan kedalam tubuh. Bila infeksi tersebut terjadi, pipa
catheter harus dipindahkan, dan infeksi dibersihkan. Didalam suatu studi
untuk menyelidiki timbulnya infeksi, waktu mulai dimasukkannya pipa
Matematika
867
catheter ke dalam tubuh sampai infeksi dicatat untuk suatu kelompok pasien
ginjal. Kadang‐kadang, pipa catheter dipindahkan sebagai alasan selain dari
infeksi, disebut sebagai pengamatan tersensor tipe I. Data yang digunakan
menyatakan banyaknya hari mulai dari dimasukkannya pipa catheter
sampai dipindahkannya karena adanya infeksi. Data yang dihimpun
meliputi nilai‐nilai suatu variabel yang menandai adanya status infeksi dari
suatu individu, yang bernilai satu jika pipa catheter dipindahkan untuk
karena adanya infeksi, dan nol untuk alasan lainnya. Variabel bebasnya
ialah umur dari tiap pasien tahun dan suatu variabel yang menandakan
jenis kelamin dari tiap pasien 0=laki‐laki, 1=perempuan. Permasalahan
yang akan diselesaikan adalah membuat suatu model regresi Cox dari data
pasien penderita penyakit ginjal.
Berdasarkan plot log{‐log
} terhadap t untuk masing‐masing
variabel memenuhi asumsi proporsional hazard. Sehingga untuk lebih
lanjutnya dalam penulisan ini variabel tersebut merupakan peubah bebas
yang mempengaruhi model regresi Cox. Adapun model regresi Cox yang
akan dibentuk adalah :
t S
i
exp
2 2
1 1
i i
i
x x
t h
t h
β β
+ =
dengan :
merupakan fungsi hazard untuk pengamatan ke‐i, merupakan
fungsi hazard dasar dan masing‐ masing merupakan nilai
dari variabel umur dan jenis kelamin untuk setiap pengamatan ke‐i.
t h
i
t h
i i
x x
2 1
,
Dari hasil iterasi dengan menggunakan Metode Newton ‐ Rhapson
melalui software S‐Plus diperoleh nilai estimatornya sebagai berikut :
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− =
71076231 ,
2 03037104
, ˆ
Berdasarkan hasil analisis dari contoh kasus data tahan hidup pasien
penyakit ginjal dengan tipe penyensoran datanya adalah tersensor tipe I,
dimana waktu tahan hidupnya tanpa ada pengulangan ties, maka bentuk
model regresi Cox dari data tahan hidup pasien penyakit ginjal adalah
.
71076231 ,
2 03037104
, exp
ˆ ˆ
2 1
i i
i
x x
t h
t h
− =
Dengan menggunakan software S‐Plus, didapatkan bahwa nilai
residual Cox‐snell berdistribusi eksponensial dengan rata‐rata satu,
sehingga dapat dikatakan model yang didapat sesuai atau tepat.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
868
IV. KESIMPULAN
