Model Multinomial Probit MNP

Secara umum, permasalahan dalam menghitung probabilitas pilihan menyangkut distribusi ε ij . Densites fε ij merupakan distribusi dari faktor tidak terobservasi dalam utiliti. Probabilitas pembuat keputusan i memilih alternatif k dapat dinyatakan sebagai p ik = PU ik U ij ∀j≠ k 1 = Pε ij ‐ ε ik V ik – V ij ∀j≠ k = 2 k j d f V V I i i ij ik ik ij ≠ ∀ − − ∫ ε ε ε ε ε I. adalah fungsi indikator, yang bernilai 1 jika pernyataan dalam kurung benar dan bernilai 0 jika pernyataan salah. Selanjutnya dapat dipilih atau ditentukan densitas f. yang sesuaitepat. Beberapa model yang dapat digunakan untuk memprediksi p ik antara lain model MNL, Model GEV dan Model MNP. Model MNL dan Model GEV mempunyai persamaan probabilitas dalam bentuk persamaan tertutup, tetapi mempunyai keterbatasan dalam mengakomudasi adanya variasi individu Train , 2003. Model Probit secara analitik sangat menarik, tetapi sangat sulit melakukan estimasi parameternya Davidson and Russel, 1999. Kesulitan estimasi parameter karena memerlukan integral rangkap. Perhitungan integral dapat didekati dengan menggunakan simulasi. Hajivassiliou dan Ruud, 1994 Pada makalah ini membahas asumsi dan langkah‐langkah yang diperlukan dalam menyusun model MNP agar dapat dilakukan spesifikasi model dan estimasi parameter. Spesifikasi model menyangkut interpretasi parameter.

2. Model Multinomial Probit MNP

Pada model MNP, diasumsikan bahwa vektor t i ε = ε i1 ,…., ε 1J berdistribusi multivariat normal dengan mean nol dan matrik kovariansi Σ. Densitas untuk ε i adalah Matematika 603 ] 2 1 exp[ | | 2 1 1 2 1 2 i t i J i ε ε π ε φ − Σ − Σ = 3 Probabilitas pembuat keputusan i memilih alternatif k adalah p ik = PV ik + ε ik V ij + ε ij ∀j≠k = ∫IV ik + ε ik V ij + ε ij φε i dε i ∀j≠k 4 dengan I. merupakan fungsi indikator dan integral terhadap semua nilai ε i . Probabilitas pilihan dapat dinyatakan sebagai : ∫ ∈ = ik i B i i ik d p ε ε ε φ 5 dengan B B ik adalah himpunan error ε i yang dihasilkan oleh pembuat keputusan karena memilih alternatif i. B B ik = {ε k | V ik + ε ik V ij + ε ij } ∀j≠k Penyajian probabilitas pada persamaan 11 merupakan integral berdimensi J atas error ε ij , j =1,2,...J. Karena hanya berbeda dalam bentuk utiliti, maka probabilitas pilihan dapat dinyatakan sebagai integral berdimensi J‐1 atas selisih diantara errornya. Misal diambil selisih terhadap alternatif k, maka dapat didefinisikan ik ij ijk U U U − = ~ , ik ij ijk V V V − = ~ dan ik ij ijk ε ε ε − = ~ . k U p p ijk ik ≠ ∀ = j ~ 6 Didefinisikan vektor ~ ,....., ~ ~ 1 iJk k i ik ε ε ε = dimana “....” adalah notasi untuk semua alternatif kecuali k, sehingga ik ε~ berdimensi J‐1. Karena selisih dua distribusi normal adalah normal, maka densitas selisih error tersebut adalah ] ~ ~ ~ 2 1 exp[ | ~ | 2 1 ~ 1 2 1 2 1 ik k t ik k J ik ε ε π ε φ − − Σ − Σ = 7 Dimana k Σ~ adalah covarians dari ik ε~ , yang diturunkan dari Σ. Selanjutnya, probabilitas pilihan dapat disajikan dalam selisih utiliti, k j d V I p ik ik ijk ijk ik ≠ ∀ + = ∫ ~ ~ ~ ~ ε ε φ ε 8 yang merupakan integral berdimensi J‐1 atas semua nilai yang mungkin dari selisih error. Penyajian tersebut equivalen dengan SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 604 ∫ ∈ = ik ik B ik ik ik d p ~ ~ ~ ~ ε ε ε φ 15 dengan } ~ ~ | ~ { ~ k j V B ijk ijk ik ik ≠ ∀ + = ε ε yang merupakan integral berdimensi J‐1 atas nilai selisih dalam ik B ~ . Untuk menghitung p ik , memerlukan matrik kovarians k Σ~ dari selisih error. Matrik k Σ~ dapat diturunkan secara langsung dari Σ. Misal M k adalah matrik identitas berdimensi J‐1 dan menambahkan kolom ke‐i yang bernilai “‐ 1”, sehingga M i berdimensi J‐1xJ. Misal J= 4 alternatif dan k=3. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 1 1 1 1 1 1 k M Matrik ini dapat digunakan untuk mentranformasi Σ ke dalam k Σ~ , yaitu k Σ~ = M k ΣM kt . Matrik k Σ~ berdimensi J‐1xJ‐1, sementara Σ berdimensi JxJ. Misal terdapat tiga alternatif dengan error ε i1 , ε i2 , ε i3 dengan covarians ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Σ 33 23 13 23 22 12 13 12 11 σ σ σ σ σ σ σ σ σ Andaikan diambil selisih terhadap alternatif 2. Nilai selisih error adalah ~ , ~ 32 12 n n ε ε yang mempunyai covarians = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = Σ 2 3 2 1 2 ~ i i i i Cov ε ε ε ε ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − + − − + − + 23 22 33 23 12 22 13 23 12 22 13 12 22 11 2 2 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Matrik kovarians ini dapat juga diturunkan dengan transformasi 2 ~ Σ = M 2 ΣM 2t , 2 ~ Σ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 33 23 13 23 22 12 13 12 11 σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 1 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − 33 23 23 22 13 12 23 13 22 12 12 11 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 1 1 1 Matematika 605 = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − + − − + − + 23 22 33 23 12 22 13 23 12 22 13 12 22 11 2 2 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 3 2 2 1 θ θ θ θ Sebagaimana yang kita lihat, transformasi dengan M i akan dipakai dalam mensimulasi probabilitas probit.

3. Identifikasi Paramater