Secara umum, permasalahan dalam menghitung probabilitas pilihan
menyangkut distribusi ε
ij
. Densites fε
ij
merupakan distribusi dari faktor tidak terobservasi
dalam utiliti. Probabilitas pembuat keputusan i memilih alternatif k
dapat dinyatakan sebagai p
ik
= PU
ik
U
ij
∀j≠ k 1 =
Pε
ij
‐ ε
ik
V
ik
– V
ij
∀j≠ k =
2 k
j d
f V
V I
i i
ij ik
ik ij
≠ ∀
− −
∫
ε ε
ε ε
ε
I. adalah fungsi indikator, yang bernilai 1 jika pernyataan dalam kurung benar
dan bernilai 0 jika pernyataan salah. Selanjutnya dapat dipilih atau ditentukan
densitas f. yang sesuaitepat.
Beberapa model yang dapat digunakan untuk memprediksi p
ik
antara lain
model MNL, Model GEV dan Model MNP. Model MNL dan Model GEV mempunyai
persamaan probabilitas dalam bentuk persamaan tertutup, tetapi mempunyai
keterbatasan dalam mengakomudasi adanya variasi individu Train
, 2003. Model Probit secara analitik sangat menarik, tetapi sangat sulit melakukan
estimasi parameternya Davidson and Russel, 1999. Kesulitan estimasi
parameter karena memerlukan integral rangkap. Perhitungan integral dapat
didekati dengan menggunakan simulasi. Hajivassiliou dan Ruud, 1994 Pada
makalah ini membahas asumsi dan langkah‐langkah yang diperlukan
dalam menyusun model MNP agar dapat dilakukan spesifikasi model
dan estimasi parameter. Spesifikasi model menyangkut interpretasi parameter.
2. Model Multinomial Probit MNP
Pada model MNP, diasumsikan bahwa vektor
t i
ε
=
ε
i1
,…., ε
1J
berdistribusi multivariat normal dengan mean nol dan matrik kovariansi Σ.
Densitas untuk ε
i
adalah
Matematika
603
] 2
1 exp[
| |
2 1
1 2
1 2
i t
i J
i
ε ε
π ε
φ
−
Σ −
Σ =
3 Probabilitas
pembuat keputusan i memilih alternatif k adalah p
ik
= PV
ik
+ ε
ik
V
ij
+ ε
ij
∀j≠k = ∫IV
ik
+ ε
ik
V
ij
+ ε
ij
φε
i
dε
i
∀j≠k 4
dengan I. merupakan fungsi indikator dan integral terhadap semua nilai ε
i
. Probabilitas
pilihan dapat dinyatakan sebagai :
∫
∈
=
ik i
B i
i ik
d p
ε
ε ε
φ 5
dengan B
B
ik
adalah himpunan error ε
i
yang dihasilkan oleh pembuat keputusan karena
memilih alternatif i. B
B
ik
= {ε
k
| V
ik
+ ε
ik
V
ij
+ ε
ij
} ∀j≠k Penyajian
probabilitas pada persamaan 11 merupakan integral berdimensi J atas
error ε
ij
, j =1,2,...J. Karena hanya berbeda dalam bentuk utiliti, maka
probabilitas pilihan dapat dinyatakan sebagai integral berdimensi J‐1 atas
selisih diantara errornya. Misal diambil selisih terhadap alternatif k, maka
dapat didefinisikan
ik ij
ijk
U U
U −
= ~
,
ik ij
ijk
V V
V −
= ~
dan
ik ij
ijk
ε ε
ε
− =
~
. k
U p
p
ijk ik
≠ ∀
= j
~ 6
Didefinisikan vektor
~ ,.....,
~ ~
1 iJk
k i
ik
ε ε
ε = dimana “....” adalah notasi untuk semua
alternatif kecuali k, sehingga
ik
ε~ berdimensi J‐1. Karena selisih dua distribusi normal
adalah normal, maka densitas selisih error tersebut adalah
] ~
~ ~
2 1
exp[ |
~ |
2 1
~
1 2
1 2
1 ik
k t
ik k
J ik
ε ε
π ε
φ
− −
Σ −
Σ =
7 Dimana
k
Σ~ adalah covarians dari
ik
ε~ , yang diturunkan dari Σ. Selanjutnya,
probabilitas pilihan dapat disajikan dalam selisih utiliti,
k j
d V
I p
ik ik
ijk ijk
ik
≠ ∀
+ =
∫
~ ~
~ ~
ε ε
φ ε
8 yang
merupakan integral berdimensi J‐1 atas semua nilai yang mungkin dari selisih
error. Penyajian tersebut equivalen dengan
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
604
∫
∈
=
ik ik
B ik
ik ik
d p
~ ~
~ ~
ε
ε ε
φ 15
dengan }
~ ~
| ~
{ ~
k j
V B
ijk ijk
ik ik
≠ ∀
+ =
ε ε
yang merupakan integral berdimensi J‐1
atas nilai selisih dalam
ik
B ~ .
Untuk menghitung p
ik
, memerlukan matrik kovarians
k
Σ~ dari selisih
error. Matrik
k
Σ~ dapat diturunkan secara langsung dari Σ. Misal M
k
adalah matrik
identitas berdimensi J‐1 dan menambahkan kolom ke‐i yang bernilai “‐ 1”,
sehingga M
i
berdimensi J‐1xJ. Misal J= 4 alternatif dan k=3.
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− =
1 1
1 1
1 1
k
M
Matrik ini dapat digunakan untuk mentranformasi Σ ke dalam
k
Σ~ , yaitu
k
Σ~ = M
k
ΣM
kt
. Matrik
k
Σ~ berdimensi J‐1xJ‐1, sementara Σ berdimensi JxJ.
Misal terdapat tiga alternatif dengan error ε
i1
, ε
i2
, ε
i3
dengan covarians
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
= Σ
33 23
13 23
22 12
13 12
11
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
Andaikan diambil selisih terhadap alternatif 2. Nilai selisih error adalah
~ ,
~
32 12
n n
ε ε
yang mempunyai covarians
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− =
Σ
2 3
2 1
2
~
i i
i i
Cov ε
ε ε
ε ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
+ −
− +
− −
+ −
+
23 22
33 23
12 22
13 23
12 22
13 12
22 11
2 2
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
Matrik kovarians ini dapat juga diturunkan dengan transformasi
2
~ Σ
= M
2
ΣM
2t
,
2
~ Σ
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− 1
1 1
1 ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛
33 23
13 23
22 12
13 12
11
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− 1
1 1
1
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
− −
− −
−
33 23
23 22
13 12
23 13
22 12
12 11
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
1 1
1 1
Matematika
605
= =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
− +
− −
+ −
− +
− +
23 22
33 23
12 22
13 23
12 22
13 12
22 11
2 2
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
3 2
2 1
θ θ
θ θ
Sebagaimana yang kita lihat, transformasi dengan M
i
akan dipakai dalam mensimulasi
probabilitas probit.
3. Identifikasi Paramater