SUBGRUP TOPOLOGIS Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

Himpunan T = {t 1 │t 1 : G G dengan t → 1 x = axb, a,b ∈ G, x ∈ G} merupakan grup yang disebut Grup Homeomorfisma dari G. iv Himpunan S = { s : G → G│sx = axa ‐1 , a ∈ G, x ∈ G } adalah subgrup T v Pemetaan g 2 dari G ke G pada definisi1 adalah homeomorfisma. Himpunan A merupakan himpunan bagian grup topologis G dan x ∈ G maka himpunan xA = {xa│a ∈ A} dan secara sama Ax = { ax│a ∈ A}, A ‐1 = {x ‐1 │x ∈ A}. Memanfaatkan teorema5 di atas diperoleh lemma berikut. Lemma 1.6 Diberikan grup topologis G dan A himpunan bagian yang terbuka maka xA, Ax dan A ‐1 merupakan himpunan terbuka.

2. SUBGRUP TOPOLOGIS

Membahas subgrup dari grup topologis, perlu mengingat kembali beberapa konsep antara lain subtopologis A dari ruang topologis X yang dibangkitkan dari topologi τ pada X tersebut sehingga diperoleh τ A . Selain closure dari suatu himpunan, tertutup secara lokal juga perlu diingat konsep dari subgrup normal. Selanjutnya dihasilkan beberapa definisi dan teorema atau lemma berikut. Definisi 2.1 Diberikan grup topologis G, τ dan H subgrup G. Jika pada H dapat dibangkitkan topologi τ H dari topologi τ pada G, maka H disebut Subgrup Topologis dari G dengan τ H = { H ∩ U │U ∈ τ }. Contoh. 1. Sebarang himpunan X = {a, b, c, d, e} dan τ = {X, Ø, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}. Jika A adalah {a, d, e} maka τ A = {A, Ø, {a}, {d}, {a, d}, {d, e}} Matematika 733 2. Grup R yaitu himpunan bilangan real dengan topologi usual τ . Jika Z himpunan bilangan bulat maka untuk setiap z 1 ∈ Z selang z 1 ‐ 2 1 , z 1 + 2 1 adalah himpunan terbuka dalam R. Himpunan z 1 ‐ 2 1 , z 1 + 2 1 Z = {z I 1 } terbuka relatif terhadap Z. Jadi untuk setiap z 1 ∈ Z, {z 1 } ∈ τ Z . Pembahasan berikutnya berkait dengan pemahaman closure suatu himpunan A dalam ruang topologis X yaitu himpunan Ā yang merupakan himpunan semua x ∈ X dengan sifat irisan persekitaran N x dan A tak kosong. Closure A dapat ditulis cl A. Suatu himpunan A tertutup jika hanya jika A berimpit dengan closure Ā. Disamping konsep tertutup dalam ruang topologis, perlu mengingat kembali konsep subgrup normal. Teorema 2.2 Diberikan grup topologis G dan E subgrup G maka berlaku pernyataan berikut i closure Ē dari E adalah subgrup G ii jika E normal dalam G maka Ē normal dalam G Sebelum pembahasan teorema berikut, diberikan definisi suatu himpunan tertutup lokal sebagai berikut. Definisi 2.3 Diberikan himpunan bagian L dari ruang topologis X. Himpunan L dikatakan Tertutup Lokal pada suatu titik x ∈ L jika terdapat persekitaran N x dari x dalam X sedemikian sehingga N x ∩ L merupakan himpunan bagian N x yang tertutup. Jika L tertutup lokal untuk setiap x ∈ L maka L disebut Tertutup Lokal Dalam X. Suatu sifat terkait dengan tertutup lokal adalah L tertutup lokal dalam X jika hanya jika L terbuka dalam cl L di dalam X. Sebelum teorema, mengingat SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 734 kembali pemahaman titik interior dan sifat bahwa suatu himpunan bagian A dari ruang topologis X, akan terbuka jika hanya jika A berimpit dengan himpunan titik interior Å. Teorema 2.4 Diberikan grup topologis G dan H adalah subgrup yang tertutup pada suatu titik x ∈ H maka H tertutup dalam G Lemma 2.5 Diberikan grup topologis G dan H subgrup G. Subgrup H terbuka jika hanya jika H mempunyai sebuah titik interior Akibat : Setiap subgrup terbuka H dalam G adalah tertutup. Selanjutnya akan dibahas kaitan antara subgrup dan keterhubungan. Ruang topologis X dikatakan terhubung jika X bukan gabungan dua himpunan terbuka tak kosong yang saling asing. Contoh himpunan bilangan R adalah terhubung karena R merupakan gabungan selang, sedangkan selang adalah terhubung. Himpunan bilangan rasional Q tidak terhubung karena memuat himpunan bagian yang bukan selang. Selain keterhubungan, diingat kembali konsep pembangun dalam grup Lemma 2.6. Grup topologis G terhubung jika G dibangun oleh setiap persekitaran elemen identitas e.

3, GRUP TOPOLOGIS KUOSEN