a Matriks
B
B
2
diubah menjadi matriks orthogonal Q
2
dan matriks segitiga atas
R
2
menggunakan faktorisasi QR . b
Menentukan matriks B
B
3
= R
2
.Q
2
. Iterasi
terus dilanjutkan sampai itersai s sehingga diperoleh matriks segitiga, dengan
unsur di bawah diagonal utama konvergen ke nilai nol. 3. Unsur
diagonal utama yang dihasilkan pada iterasi ke‐s merupakan nilai eigen
dari matriks A. 4. Membuat
program metode Supertriangularization dan program metode QR. Metode
Supertriangularization dan metode QR dibuat programnya di dalam MATLAB
dalam bentuk M‐File. Program tersebut tidak dimasukkan dalam command
window, melainkan diletakkan pada suatu file tersendiri yang dibuat
dalam editor teks MATLAB editordebugger.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini membahas penggunaan metode Supertriangularization dan
metode QR untuk mencari nilai eigen pada suatu matriks nonsimetris.
Metode Supertriangularization
Transformasi matriks riil nonsimetris ke dalam bentuk Hessenberg atas
dilakukan dengan menggunakan metode Supertriangularization, yaitu dengan
mereduksikan suatu matriks riil nonsimetris untuk membentuk matriks
Hessenberg atas. Berbeda dengan eliminasi Gauss, metode Supertriangularization
tidak hanya mereduksi suatu matriks dengan operasi baris tetapi juga dengan
operasi kolom.
Teorema 1
Jika terdapat suatu matriks B berukuran n n
× yang diperoleh dengan
1. Menukar
baris c dengan baris d yang dilanjutkan dengan menukar kolom c
dan kolom d pada suatu matriks riil nonsimetris A berukuran .
n n ×
Matematika
799
2. Mengalikan
konstanta k dengan baris c lalu dijumlahkan ke baris d dilanjutkan
dengan mengalikan negatif konstanta k dengan kolom d lalu dijumlahkan
ke kolom c pada matriks riil nonsimetris A berukuran .
n n ×
maka nilai eigen pada matriks A adalah sama dengan matriks B.
Bukti :
Diketahui matriks riil nonsimetris A dan B berukuran n n
× , maka terdapat
matriks riil nonsimetris C berukuran n n
× dan konstanta
sedemikian hingga
: k
R ∈
1. Jika
baris c pada matriks A ditukar dengan baris d pada matriks A dengan
hingga diperoleh matriks C, maka
, 1, 2,...
c d n
=
A C
det det
− =
1
Selanjutnya, jika kolom c pada matriks C ditukar dengan kolom d pada
matriks C dengan
, sehingga diperoleh matriks B, maka
, 1, 2,...
c d n
=
C B
det det
− =
2
Dari persamaan 1 dan 2, diperoleh
A B
det det
=
3
2. Jika
konstanta k dikalikan dengan baris c pada matriks A kemudian dijumlahkan
ke baris d pada matriks A dengan hingga
diperoleh matriks C
, maka
, 1, 2,...
c d n
=
n n ×
A C
det det
=
4
kemudian ‐k dikalikan dengan kolom d pada matriks C kemudian dijumlahkan
ke kolom c pada matriks C dengan hingga
diperoleh matriks B, maka
, 1, 2,...
c d n
=
C B
det det
=
5
Dari persamaan 4 dan 5, diperoleh
A B
det det
=
6
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
800
Dari dua operasi diatas diperoleh
A B
det det
= ,
karena pada masing‐masing operasi
baris dilanjutkan dengan operasi kolom maka nilai eigen matriks A sama
dengan nilai eigen matriks B.
Berikut ini adalah langkah‐langkah dalam membentuk matriks
Hessenberg atas dari sembarang matriks riil nonsimetris dalam bentuk iterasi :
Misalkan A adalah matriks riil nonsimetris berukuran n×n,
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
=
nn n
n n
n
a a
a a
a a
a a
a
A
L L
L L
M O
M M
M O
M M
M O
M M
M O
M M
L L
L L
L L
L L
2 1
2 22
21 1
12 11
Iterasi 1 :
1. Pilih unsur terbesar pada kolom 1 untuk i = 2, 3, ..., n.
1 i
a 2. Baris
ke‐i ditukar dengan baris ke‐2, kemudian kolom ke‐i juga ditukar dengan
kolom ke‐2. 3. Didefinisikan
: • Pengali
baris :
1 21
i i
a row
a = −
, untuk
3, 4,..., i
n =
.
• Pengali kolom :
1 21
i i
a col
a =
, untuk
3, 4,..., i
n =
. 4. Unsur
, dengan
akan dinolkan dengan cara mengalikan dengan baris ke‐2 lalu dijumlahkan ke baris ke‐i, kemudian
mengalikan dengan kolom ke‐ i lalu dijumlahkan ke kolom ke‐ 2.
1 i
a
3, 4,..., i
= n
1
row
1
col Iterasi
1 menghasilkan matriks :
Matematika
801
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
L L
L L
M M
M O
M M
M M
M O
M M
L L
L L
L L
Iterasi 2 :
1. Pilih unsur terbesar pada kolom 2 untuk i = 3, 4, ..., n.
2 i
a 2.
Baris ke‐i ditukar dengan baris ke‐3, kemudian kolom ke‐i juga ditukar dengan
kolom ke‐3. 3.
Didefinisikan : • Pengali
baris :
2 32
i i
a row
a = −
, untuk
4, 5,..., i
n =
.
• Pengali kolom :
2 32
i i
a col
a =
, untuk
4, 5,..., i
n =
. 4.
Unsur ,
dengan akan dinolkan dengan cara mengalikan
dengan baris ke‐3 lalu dijumlahkan ke baris ke‐i, kemudian mengalikan
dengan kolom ke‐ i lalu dijumlahkan ke kolom ke‐ 3.
2 i
a
4, 5,..., i
= n
i
row
i
col
Iterasi 2 menghasilkan matriks :
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
L L
M M
M O
M M
M L
L L
L
dan seterusnya hingga,
Iterasi n‐2 :
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
802
1. Pilih unsur terbesar
, 2
i n
a
−
pada kolom n‐2 untuk i = n‐1, n. 2.
Baris ke‐i ditukar dengan baris ke‐n‐1, kemudian kolom ke‐i juga ditukar
dengan kolom ke‐n‐1. 3.
Didefinisikan : • Pengali
baris :
, 2
1, 2
n n n
n n
a row
a
− −
−
= −
.
• Pengali kolom :
, 2
1, 2
n n n
n n
a col
a
− −
−
=
. 4.
Unsur
, 2
n n
a
−
akan dinolkan dengan cara mengalikan dengan baris
ke ‐n‐1 lalu dijumlahkan ke baris ke‐n, kemudian mengalikan
dengan kolom ke‐ n lalu dijumlahkan ke kolom ke‐n‐1.
n
row
n
col
Diperoleh matriks Hessenberg atas :
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
=
L L
M M
M O
O M
M L
L L
L
B
Berdasarkan teorema 1, langkah‐langkah iterasi pada metode
Supertriangularization menjamin bahwa nilai eigen matriks riil nonsimetris A
adalah sama dengan nilai eigen matriks Hessenberg atas B berukuran
pada hasil
iterasi ke‐n‐2. n n
×
Transformasi Matriks Hessenberg ke Bentuk Matriks Segitiga dengan
Menggunakan Metode QR
Matriks Hessenberg atas diubah menjadi matriks segitiga atas R dan
matriks orthogonal Q menggunakan faktorisasi QR dengan melibatkan matriks
rotasi bidang C
j
kemudian dibentuk suatu matriks dengan mengalikan R dan Q, matriks
ini difaktorisasi lagi dengan cara yang sama hingga terbentuk matriks segitiga
atas. Matriks segitiga yang diperoleh similar dan mempunyai nilai
Matematika
803
eigen yang sama dengan matriks Hesenberg atas yang telah ditentukan. Nilai
eigen dari matriks segitiga adalah unsur diagonal utamanya, sehingga nilai
eigen dari matriks Hessenberg atas adalah unsur diagonal utama matriks
segitiga yang diperoleh dengan menggunakan metode QR.
Teorema 2
Faktorisasi QR dari suatu matriks Hessenberg atas B
B
berukuran adalah
sebagai berikut :
n n
×
B
B
= Q
R 7
dengan matriks
orthogonal Q dan
matriks segitiga atas R .
Jika B
B
1
= R
Q 8
maka B
B
1
similar dengan B
B
, dengan Q
R ≠ R
Q .
Bukti
Dari persamaan 4.7 diperoleh
9
1
B Q
R
−
= sehingga,
B
B
1
dapat ditentukan dengan
10
1 1
Q B
Q B
−
=
karena Q
orthogonal, maka terbukti bahwa B
B
1
similar dengan B
B
.
Teorema 3
Jika terdapat matriks Hessenberg atas B
B
yang similar dengan suatu matriks B
1
B
yang diperoleh dengan metode QR atau bisa ditulis
11
1 1
Q B
Q B
−
=
dengan Q
adalah matriks orthogonal, maka dengan menggunakan metode QR pada
iterasi s diperoleh matriks B
B
s
yang similar dengan matriks Hessenberg B
B
.
Bukti :
Dengan metode QR diperoleh :
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
804
Iterasi 1 :
Dari teorema 2, faktorisasi QR dari matriks B
B
adalah B
B
= Q
R kemudian
diperoleh B
B
1
= R
Q sehingga diperoleh persamaan 11
1 1
Q B
Q B
−
=
Iterasi 2 :
Faktorisasi QR dari matriks B
B
1
adalah B
B
1
= Q
1
R
1
12
kemudian diperoleh B
B
2
=R
1
Q
1
sehingga
1 1
1 1
2
Q Q
B Q
Q B
− −
=
1
dan seterusnya hingga,
Iterasi s :
Faktorisasi QR dari matriks B
B
s ‐1
adalah B
B
s ‐1
=Q
s ‐1
R
s ‐1
14
kemudian diperoleh B
B
s
=R
s ‐1
R
s ‐1
sehingga
15
1 1
1 1
1 1
1 −
− −
− −
=
s s
s
Q Q
Q B
Q Q
Q B
K K
selanjutnya, dapat ditulis
16
1 1
1 1
1 −
− −
=
s s
s
Q Q
Q B
Q Q
Q B
K K
Jika terdapat P matriks nonsingular dengan
1 1
−
=
s
Q Q
Q P
K maka persamaan
16 berdasarkan sifat invers dapat dituliskan
17
P B
P B
s 1
−
=
Terbukti bahwa matriks B
B
s
berukuran n
n ×
similar dengan matriks Hessenberg
atas B
B
.
Teorema 4
Matematika
805
Diberikan matriks riil nonsimetris A, dengan menggunakan faktorisasi QR,
diperoleh matriks orthogonal Q dan matriks segitiga atas R. Jika E
k
=Q
1
.Q
2
...Q
k
konvergen ke matriks nonsingular
untuk
∞
E ∞
→ k
, dengan Q
k
adalah matriks orthogonal
dan setiap R
k
adalah matriks segitiga atas, maka ada dan
merupakan matriks segitiga atas.
k k
A
∞ →
lim
Bukti :
Jika E
k
konvergen, maka I
Q Q
Q Q
Q Q
Q E
E Q
k k
k k
k k
k k
k
= =
=
− −
− −
− ∞
→ −
− ∞
→ ∞
→
. .
. .
lim .
lim lim
1 2
1 1
1 1
2 1
1 1
1
K K
18
∞ ∞
→
= R R
k k
lim
.
19
dengan adalah matriks segitiga atas dan berdasarkan persamaan 18 dan
19, maka
∞
R
∞ ∞
∞ →
∞ →
∞ →
∞ →
∞
= =
= =
= R
R I
R Q
R Q
A A
k k
k k
k k
k k
k
. lim
. lim
. lim
lim
20
Terbukti bahwa
ada dan merupakan matriks segitiga atas.
k k
A
∞ →
lim
Misalkan matriks B adalah matriks Hessenberg atas berukuran n×n yang
berbentuk.
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢
⎣ ⎡
= L
L M
M M
O O
M M
L L
L L
B
Langkah – langkah ini dituangkan dalam bentuk iterasi.
Iterasi pertama .
1. Ambil
A
n ‐2
= B
B
, dengan A
n ‐2
adalah matriks Hessenberg atas. 2.
Menentukan nilai
1
sin θ dan
1
cos θ dari matriks B
B
. 3.
Membentuk matriks C
1
. 4.
Menentukan matriks R
dengan rumus :
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
806
R =
C
1
B
B
. 5.
Menentukan nilai
2
sin θ dan
2
cos θ dari matriks R
. 6.
Membentuk matriks C
2
. 7.
Menentukan matriks R
1
dengan rumus : R
1
= C
2
C
1
B
B
= C
2
R .
Jika matriks yang akan difaktorisasi berukuran
3 3
×
maka iterasi 1
dihentikan, kemudian dihitung nilai Q
1
. Q
1
= C
1
T
C
2 .
T
Jika matriks yang difaktorisasi berukuran lebih dari
, maka
dilanjutkan ke terasi 2 .
3 3
×
Iterasi kedua .
1. Menentukan
nilai
3
sin θ dan
3
cos θ dari matriks R
1
= C
2 .
C
1
.B .
2. Membentuk
matriks C
3
. 3.
Menentukan matriks R
1
yaitu : R
1
= C
3
C
2
C
1
B
B
. Jika
matriks yang akan difaktorisasi berukuran
4 4
×
maka iterasi 2
dihentikan, kemudian hitung nilai Q
1
. Q
1
= C
1
T
. C
2
T
. C
3
T
Jika matriks yang difaktorisasi berukuran lebih dari
4 4
×
, dilanjutkan ke iterasi
3. Demikian seterusnya, langkah faktorisasi dilakukan dari iterasi 1 sampai
dengan iterasi ke‐ n ‐ 1 untuk matriks berukuran
n n
×
. Selanjutnya,
langkah‐langkah untuk mengubah matriks Hessenberg kebentuk
matriks segitiga secara iterasi adalah sebagai berikut : Iterasi
1 .
Matematika
807
c Matriks
B
B
diubah menjadi matriks orthogonal Q dan matriks segitiga
atas R
menggunakan faktorisasi QR . d
Menentukan matriks B
B
1
= R
.Q Iterasi
2 . c
Matriks B
B
1
diubah menjadi matriks orthogonal Q
1
dan matriks segitiga atas
R
1
menggunakan faktorisasi QR . d
Menentukan matriks B
B
2
= R
1
.Q
1
. Iterasi
3 . c
Matriks B
B
2
diubah menjadi matriks orthogonal Q
2
dan matriks segitiga atas
R
2
menggunakan faktorisasi QR . d
Menentukan matriks B
B
3
= R
2
.Q
2
. Iterasi
terus dilanjutkan sampai diperoleh matriks segitiga S, dengan unsur
untuk
ij
a
j i
≠ konvergen ke nilai nol. Unsur diagonal utama yang
dihasilkan pada iterasi ke‐s merupakan nilai eigen dari matriks A .
Langkah ‐langkah umum mencari nilai eigen
Langkah ‐langkah menyelesaikan masalah nilai eigen matriks riil
nonsimetris A dengan menggunakan metode Supertriangularization dilanjutkan
dengan menggunakan metode QR adalah sebagai berikut :
1. Metode Supertriangularization
Matriks A berukuran
direduksi menjadi matriks Hessenberg atas berukuran
n dengan menggunakan iterasi‐iterasi sebagai berikut :
n n ×
n ×
a Iterasi 1:
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
808
• Menukar baris i yang memuat unsur terbesar a
i1
dengan i = 2, 3, ..., n dengan
kolom 2 dilanjutkan dengan menukar kolom i dengan kolom 2.
• Menentukan pengali baris row
i
dan pengali kolom col
i
untuk i
= 3,..., n. • Mengalikan
row
i
dengan baris 2 kemudian dijumlahkan ke baris i dilanjutkan
dengan mengalikan col
i
dengan kolom i kemudian dijumlahkan
ke kolom 2 untuk i = 3, ..., n. b Iterasi
2 : • Menukar
baris i yang memuat unsur terbesar a
i2
dengan i = 3, 4, ..., n dengan
kolom 3 dilanjutkan dengan menukar kolom i dengan kolom 3.
• Menentukan pengali baris row
i
dan pengali kolom col
i
untuk i
= 4,..., n. • Mengalikan
row
i
dengan baris 3 kemudian dijumlahkan ke baris i dilanjutkan
dengan mengalikan col
i
dengan kolom i kemudian dijumlahkan
ke kolom 3 untuk i = 4, ..., n. dan
seterusnya, hingga c Iterasi
n‐2 : • Menukar
baris i yang memuat unsur terbesar a
in ‐2
dengan i = n‐1, n dengan
kolom n‐1 dilanjutkan dengan menukar kolom i dengan kolom
n‐1. • Menentukan
pengali baris row
n
dan pengali kolom col
n
.
Matematika
809
• Mengalikan row
n
dengan baris n‐1 kemudian dijumlahkan ke baris n dilanjutkan
dengan mengalikan col
n
dengan kolom n kemudian dijumlahkan
ke kolom n‐1. Iterasi
berakhir pada iterasi ke‐n‐2 dan diperoleh matriks Hessenberg atas berukuran
n .
n ×
2. Metode QR
Matriks Hessenberg B
B
atas berukuran n n
× diubah menjadi matriks segitiga
atas S berukuran
dengan menggunakan iterasi‐iterasi sebagai berikut : n n
× a Iterasi
1 . • Matriks
B
B
diubah menjadi matriks orthogonal Q dan matriks
segitiga atas R
menggunakan faktorisasi QR . • Menentukan
matriks B
B
1
= R
.Q b Iterasi
2 . • Matriks
B
B
1
diubah menjadi matriks orthogonal Q
1
dan matriks segitiga
atas R
1
menggunakan faktorisasi QR . • Menentukan
matriks B
B
2
= R
1
.Q
1
. dan
seterusnya, hingga c Iterasi
s . • Matriks
B
B
s ‐1
diubah menjadi matriks orthogonal Q
s ‐1
dan matriks segitiga
atas R
s ‐1
menggunakan faktorisasi QR . • Menentukan
matriks Bs =
R
s ‐1
.Q
s ‐1
. Iterasi
berakhir pada itersai ke‐s dan diperoleh matriks segitiga atas, dengan unsur
di bawah diagonal utama konvergen ke nilai nol.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
810
Unsur diagonal utama yang dihasilkan pada iterasi ke‐s merupakan nilai eigen
dari matriks A.
Program
Metode Supertriangularization dan metode QR dibuat programnya di
dalam MATLAB versi 6.1 dalam bentuk M‐File.
4. KESIMPULAN
