Berdasarkan hasil penurunan fungsi log likelihood terhadap
masing–masing
parameter dandengan , seperti pada persamaan 8 dan 9
terlihat bahwa persamaannya masih berupa bentuk implisit sehingga untuk
mendapatkan nilai estimator parameternya diperlukan pendekatan numerik
secara iteratif dengan menggunakan metode Newton – Raphson.
Berdasarkan metode Newton – Raphson, maka hal yang perlu dilakukan
adalah mendapatkan turunan kedua dari fungsi log likelihood yaitu , dan
dengan . Turunan kedua tersebut adalah :
= =
10 =
11 =
12 Telah
diketahui bahwa , maka 10, 11 dan 12 dapat dituliskan sebagai berikut
: =
13 =
14 =
15
2.3 Penerapan program pada kasus data tahan hidup
Contoh kasus untuk waktu tahan hidup, misalnya pada kasus waktu tahan
hidup pasien Myeloma kanker tulang . Kasus ini merupakan suatu kasus yang
menarik didalam penelitian data uji hidup. Kanker jenis Myeloma merupakan
Matematika
761
penyakit ganas yang berupa tumpukan atau timbunan sel darah putih yang
abnormal didalam sumsum tulang. Timbunan sel darah putih yang abnormal
didalam tulang ini menyebabkan rasa sakit dan juga pengrusakan atau
pengeroposan tulang. Pasien Myeloma biasanya juga mengalami anemia,
haemorrhages pendarahan, infeksi berulang, dan sering lelah. Dari kasus ini,
penyusun tertarik untuk membuat model regresi linier dari data tahan hidup
pasien Myeloma yang mempunyai distribusi Log gamma.
Data
waktu tahan hidup pasien Myeloma ini diperoleh dari D. Collet 1994
. Secara medis penyakit Myeloma pada umumnya dipengaruhi oleh usia
pasien Age, kadar nitrogen tulang BUN, jumlah serum kalsium CA, kadar
hemoglobin HB, persentase sel darah putih dalam tulang PC, dan juga ada
tidaknya protein Bence‐Jones dalam urine BJ. Sampel terdiri dari 30 pasien
Myeloma ,
pasien umumnya berada pada kondisi awal di stadium lanjut stadium
3‐4. Permasalahan yang akan diselesaikan adalah membuat suatu model
regresi dari data pasien Myeloma dengan tujuan untuk dapat mengetahui seberapa
besar pengaruh dari faktor‐faktor usia, kadar nitrogen, jumlah kalsium,
hemoglobin, sel darah putih, dan ada tidaknya protein Bence‐Jones yang
terkandung dalam urine terhadap waktu tahan hidup pasien Myeloma. Adapun
peubah tak bebas dalam pemodelan regresi ini adalah peubah dengan
adalah log dari waktu tahan hidup pasien Myeloma, sedangkan peubah bebasnya
adalah usia pasien dalam tahun antara 50 sampai 80 tahun, jenis kelamin
pasien dengan 0 = pria, 1 = wanita , kandungan nitrogen dalam tulang
pasien , jumlah serum kalsium pasien , kadar hemoglobin pasien , persentase
sel darah putih dalam tulang , dan ada tidaknya protein Bence – Jones
dalam urine dengan 0 = tidak ada, 1 = ada .
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
762
Tabel 1 : Data waktu tahan hidup pasien Myeloma
No Pasien
T Y
= Log T x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
1 1
1 67 0 165 10
9,4 90
2 1
1 57 0
20 9
5,1 100
1 3
4 1,38629
1 50 1 172
9 10,1
46 1
4 4
1,38629 1
74 0 48
9 6,5
54 5
5 1,60944
1 60 0
13 10
9,7 25
6 5
1,60944 1
67 1 26
8 10,4
49 7
5 1,60944
1 70 1 130
8 10,2
23 8
6 1,79176
1 53 1
15 13
11,4 33
1 9
6 1,79176
1 61 1
11 10
5,1 100
10 8
2,07944 1
55 0 53
12 8,2
55 11
10 2,30259
1 51 1
12 9
9,6 80
12 10
2,30259 1
65 0 20
10 13,2
66 13
10 2,30259
1 70 0
37 12
7,5 47
14 12
2,48491 1
60 1 6
10 5,5
25 15
13 2,56495
1 66 0
25 10
14,6 18
1 16
14 2,63906
1 70 0
40 11
10,6 27
17 15
2,70805 1
62 1 21
10 8,8
5 18
16 2,77259
1 53 0
17 9
10,0 28
Matematika
763
19 16
2,77259 1
68 0 39
10 11,2
41 20
17 2,83321
1 65 1
28 8
7,5 8
21 18
2,89037 1
51 0 12
15 14,4 100 0
22 18
2,89037 1
60 1 18
9 7,5
85 1
23 23
3,13549 1
56 1 20
9 14,6
3 24
24 3,17805
1 67 0
10 10
12,4 44
25 36
3,58352 1
63 0 40
9 11,0
16 1
26 40
3,68888 1
69 0 10
10 10,2
30 1
27 40
3,68888 1
70 1 14
9 5,0
22 28
50 391202
1 74 0
37 13
7,7 11
1 29
51 3,93183
1 60 1
10 10
10,1 45
1 30
65 4,17439
1 59 0
28 9
6,6 66
31 66
4,18965 1
52 0 21
10 12,8
11 1
32 88
4,47734 1
63 0 21
9 14,0
42 1
33 91
4,51086 1
58 1 27
11 11,0
26 1
Keterangan :
: Waktu tahan hidup pasien kanker tulang bulan .
: Log dari waktu tahan hidup pasien kanker tulang.
: 1
: Usia pasien tahun.
: Jenis kelamin pasien 0=laki‐laki, 1=wanita, sebagai variabel dummy = .
: Kadar nitrogen dalam tulang mg.
: Jumlah serum kalsium pasien mg.
: Kadar hemoglobin pasien mmHg.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
764
: Persentase sel darah putih dalam tulang pasien .
: Ada tidaknya protein Bence‐Jones dalam urine.
Untuk mengetahui apakah distribusi dari waktu tahan hidup pasien
myeloma berdistribusi Gamma dapat diambil hipotesis sebagai berikut :
: Waktu tahan hidup pasien Myeloma berdistribusi Gamma.
: Waktu tahan hidup pasien Myeloma tidak berdistribusi Gamma.
Untuk menguji hipotesis tersebut digunakan program Statgraph dalam
analisanya. Melalui
program Statgraph, dengan menggunakan uji Goodness of Fit,
maka nilai P‐value dari waktu tahan hidup pasien Myeloma yang diperoleh adalah
0,536444 0.10. Dari tersebut, dapat disimpulkan bahwa waktu tahan
hidup pasien Myeloma berdistribusi Gamma. nilai P‐value
Berdasarkan data yang dapat dilihat pada tabel 1, maka dapat dibuat bentuk
model regresi dugaan secara umum untuk waktu tahan hidup pasien myeloma
yang dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut :
, dengan
. 16 Dimana
adalah log dari waktu tahan hidup pasien myeloma sebagai peubah tak bebas
sedangkan peubah bebasnya adalah .
Proses analisa data waktu tahan hidup pasien Myeloma dilakukan
dengan menggunakan software S‐ Plus. Berdasarkan hasil penerapan program
pada data didapatkan nilai awal estimator dengan , sedangkan nilai awal
diperoleh dengan cara sebagai berikut :
Matematika
765
Diketahui bahwa dengan . Dari uji distribusi gamma dengan menggunakan
program Statgraph diperoleh bahwa nilai =0.989381 sehingga dengan
mengambil nilai k = 1 untuk mendapatkan nilai awal diperoleh = =1.01073297.
Nilai estimator parameter yang telah diperoleh kemudian dimasukkan kedalam
persamaan , hal ini ditujukan untuk mendapatkan nilai galat dari model
regresinya. Hipotesis yang digunakan untuk menguji distribusi dari galat
adalah :
: Galatnya z berdistribusi Log gamma.
: Galatnya z tidak berdistribusi Log gamma.
Dari hasil uji galat dengan menggunakan uji satu contoh Kolmogorov Smirnov
maka nilai
P ‐value
yang diperoleh adalah 0.21932 dengan ,sehingga dapat disimpulkan
bahwa galat z data tahan hidup pasien myeloma berdistribusi Log gamma.
Berdasarkan hasil analisis dari contoh kasus data tahan hidup pasien Myeloma
diatas maka bentuk model regresi dari sampel lengkap pasien Myeloma
yang berdistribusi Log gamma adalah sebagai berikut : 17
Sehingga prediksi waktu tahan hidup pasien Myeloma adalah :
18 dengan
pada persamaan 16. Melalui
software S‐Plus, diperoleh nilai koefisien determinasi dari persamaan regresi
data tahan hidup pasien Myeloma adalah 0.47002 atau 47 dengan MSE sebesar
0.04756.
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
766
Berdasarkan persamaan 16 di atas dan dengan menganggap variabel yang lain
konstan dapat disimpulkan bahwa setiap penambahan 1 mg serum kalsium
dalam tubuh pasien maka tahan hidup pasien dapat meningkat. Setiap
peningkatan 1 mmHg kadar hemoglobin pasien menyebabkan log waktu
tahan hidup pasien juga meningkat dan adanya protein Bence‐Jones ternyata
juga sangat mempengaruhi peningkatan log waktu tahan hidup pasien
Myeloma .
3. Kesimpulan
