Penentuan Model Regresi Linier Lognormal Estimasi Parameter Regresi Lognormal pada Sampel Tersensor Tipe I

Untuk menyelesaikan permasalahan estimasi model regresi lognormal pada sampel tersensor tipe I dengan metode MLE, dilakukan dengan bantuan komputasi melalui iterasi Newton Raphson.

2. PDF dan Fungsi Survival dari

T log Jika T adalah waktu tahan hidup yang bergantung pada vektor variabel regresor

x, diasumsikan berdistribusi Lognormal dengan parameter lokasi x

μ dan parameter skala σ maka Y = Log T berdistribusi normal dengan mean x μ dan varian . Adapun bentuk PDF dari y jika diberikan x adalah 2 σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ φ σ x x y y f 1 | , , ∞ ∞ − σ μ x 2.1 Dan fungsi Survival dari y jika diberikan x adalah : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = σ μ x x y Q y S | 2.2 dengan σ μ x − = y z .

3. Penentuan Model Regresi Linier Lognormal

Model Regresi linier dari T Log Y = dengan 2 , ~ σ μ x LN T dan Y~N dapat diperoleh dengan mengasumsikan 2 , σ μ x x β x = μ . Model regresi linier dapat ditentukan dengan menggunakan ekspektasi bersyarat dari y oleh yang didasarkan pada PDF. x

4. Estimasi Parameter Regresi Lognormal pada Sampel Tersensor Tipe I

Estimator regresi lognormal pada sampel tersensor tipe I dengan metode MLE dapat diperoleh dengan menentukan fungsi likelihood, me‐Log‐kan fungsi likelihood, dan Mencari turunan fungsi log likelihood terhadap masing‐ masing parameternya. Matematika 689 a. Menentukan fungsi likelihood dengan mensubsitusi pdf dan fungsi survival dari dari persamaan 2.1 dan 2.2 kedalam persamaan 4.1 i y i i i n i i y S y f L δ δ σ β − = ∏ = 1 1 | | , i i x x 4.1 i i i n i i y Q y L δ δ σ σ φ σ σ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∏ 1 1 1 , β x β x β i i 4.2 b. Me ‐Log‐kan fungsi likelihood pada persamaan 4.2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = = = = = − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ + − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ = n i n i i i i i n i i n i i i n i y i n i i n i i i i n i n i i i n i i i i i i i i n i y Q y y Q e y Q y y Q y y Q y LogL i i i i 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 log 1 2 1 log 2 1 log log 1 2 1 log log log 1 log log log 1 log log 1 log , 2 σ δ π σ δ δ σ σ δ π δ δ σ σ δ σ φ δ δ σ σ δ σ φ δ σ δ σ σ φ σ σ σ δ δ δ β x β x β x β x β x β x β x β x β x β i i i β x i i i i i i i c. Mencari turunan fungsi log likelihood terhadap masing‐masing parameternya turunan pertama fungsi log likelihood σ δ δ σ β σ il n i i i n i i il i l x z V z x LogL ⋅ − + = ∂ ∂ ∑ ∑ = = 1 1 1 1 , β 4.3 { ∑ ∑ ∑ = = = ⋅ − + + − = ∂ ∂ n i i i i n i i i n i i z z V z LogL 1 1 2 1 1 1 1 1 , δ σ δ σ δ σ σ σ β } 4.4 Turunan kedua fungsi log likelihood SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 690 [ ] [ ] { } i i i is il n i i is il n i i is i i i il n i i is il n i i S l z z V z V x x x x x z z V z V x x x LogL − − − − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ − − + − = ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 , δ σ δ σ σ δ σ δ σ β β σ β 4.5 [ ] 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 , − = = − = − − − − − − − − − = ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ σ δ σ δ σ δ σ σ β σ β x β x β i i i n i i i i il i n i i il i i il n i i l y z z V z V x z V x y x LogL 4.6 [ ] i i i i n i i n i i i i n i i i n i i z z V z V y z V y y LogL − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − ⋅ + = ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = − = − 2 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 1 1 1 2 3 , σ δ σ δ σ σ δ δ σ σ σ β x β x β x β i i i 4.7

5. Algoritma untuk menentukan nilai awal