pengaruh tetap dan pengaruh acak. Dewasa ini, beberapa pendekatan penting
telah dikembangkan untuk menyelesaikan kombinasi linear pengaruh tetap
dan pengaruh acak walau hampir semua pendekatan untuk pengaruh acak
diasumsikan memiliki sebaran normal. Schall 1991, Breslow dan Clayton
1993, McGilchrist dan Aisbett 1991, McGilchrist 1994 mengembangkan
EBLUP untuk model linear terampat generalized linear models. Wolfinger 1993
dan Wolfinger dan O’Connell 1993 membangun algoritma perhitungan
dengan pendekatan yang berbeda. Tiga pendekatan likelihood yang digunakan
Solomon dan Cox 1992 dibandingkan oleh Breslow dan Lin 1995 dan Lin
dan Breslow 1996. Zeger dan Karim 1991 memperkenalkan pendekatan
Gibbs sampling untuk penyelesaian model campuran. Teknik komputasi Monte
Carlo EM MCEM dan Monte Carlo Newton‐Raphson MCNR masing‐masing
digunakan McCulloch 1994 dan McCulloch 1997.
Model campuran telah digunakan untuk meningkatkan akurasi pendugaan
pada kasus area kecil berdasarkan data survey dan data sensus oleh Fay dan
Herriot 1979, Ghosh dan dan Rao 1994, Rao 1999, Pfeffermann 1999,
Kubokawa 2006 serta Jiang dan Lahiri 2006. Pada aplikasi ini, model
campuran diturunkan dari konsep bahwa vektor nilai populasi terbatas yang
merupakan realisasi dari superpopulasi. Dalam kasus ini, pendugaan rataan
area kecil ekuivalen dengan pendugaan dari perwujudan pengaruh acak area
yang tidak diobservasi dalam model campuran untuk sebaran superpopulasi
yang dicari rataannya.
3. Generalized Regression
Generalized regression GREG merupakan suatu metode pendugaan parameter
yang memungkinkan untuk menggunakan beberapa informasi tambahan dan
905
dirancang untuk meningkatkan keakuratan dengan menggunakan informasi
tambahan x
i
yang berkorelasi dengan peubah yang menjadi perhatian, y
i
. Metode
ini dapat digunakan untuk menduga total populasi, nilai tengah populasi
ataupun proporsi populasi. Metode GREG pada penelitian ini didasarkan
atas model linear, yaitu :
i T
i i
x y
ε β
+ =
, dengan
2
, ~
ε
σ ε
N
i
Penduga GREG dari model ini adalah :
1 ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1 ˆ
1 ˆ
K
β β
T i
i DIRECT
i T
s i
ijk ijk
ij i
s j
ijk ijk
ij GREG
i
Y x
w y
w Y
i i
Χ −
Χ +
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ Ν
− Χ
+ Ν
=
∑ ∑
∈ ∈
dengan :
•
T p
i i
i ,
1 ,
..., ,
Χ Χ
= Χ
adalah vektor dari nilai tengah p populasi •
∑
∈
= Ν
s k
j ijk
ij
w
,
ˆ
•
{ }
∑
∈
= =
s k
j ijk
ijk ijk
s p
dengan w
,
, 1
π π
•
x Y
x w
i s
j ijk
ijk ij
i
i
ˆ ˆ
1 ˆ
= Ν
= Χ
∑
∈
•
2 ˆ
ˆ 1
ˆ K
y Y
y w
Y
i s
j ijk
ijk ij
DIRECT i
i
= Ν
=
∑
∈
Penduga langsung
DIRECT i
Yˆ
pada persamaan 1 dan besarnya pembobot w
ijk
diperoleh berdasarkan teknik sampling yang digunakan dalam pelaksanaan
survey. Penduga bagi koefisien regresi β dapat diperoleh dengan
menggunakan beberapa metode seperti metode OLS dan secara umum
bentuknya adalah sebagai berikut :
3 ˆ
, 1
,
K
∑ ∑
∈ −
∈
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
=
s k
j ijk
ijk ijk
s k
j T
ijk ijk
ijk
y x
w x
x w
β
Penduga GREG ini memiliki beberapa karakteristik, diantaranya :
906
1. Bagian penting dari penduga GREG yaitu total dari informasi pendukung
X,
didefinisikan sebagai berikut :
X x
w x
Y
j
s j
ijk ijk
GREG
= =
∑
∈
ˆ
Berkaitan dengan bagian penting tersebut, penduga GREG disebut juga
sebagai penduga kalibrasi calibration estimator.
2. Pada kasus yang hanya terdapat satu peubah penyerta single auxiliary
variable penduga GREG dapat dikatakan sebagai penduga rasio ratio
estimator ,
yaitu :
Χ Χ
= ˆ
ˆ ˆ
Y Y
RATIO
Hal tersebut terjadi jika
x y
=
β
sehingga
RATIO GREG
Y X
x y
x X
x y
y y
ˆ =
= −
+ =
3. Jika x
j
= x
1j
, …, x
Gj T
dengan x
gj
= 1 ,
j x
∈
sehingga X = N
1
, …, N
G T
, peubah GREG
akan menjadi penduga poststratified poststratified estimator, yaitu :
g g
g g
PS
Y N
N Y
. .
.
ˆ ˆ
ˆ
∑
=
Formulasi pendugaan langsung dan GREG yang diturunkan dari penarikan
contoh acak sederhana simple random sampling, SRS dan penarikan contoh
cluster dua tahap two stage cluster sampling, TSCS disajikan sebagai berikut :
Penduga Langsung
SRS TSCS
Keterangan Bobot
. .
1
i i
ik ik
m w
Μ =
= π
ij ij
i i
ijk ijk
m n
w Μ
Ν =
=
π
1
Pendug a
nilai tengah
∑
=
− −
=
.
1 .
2 .
2
1
i
m k
i i
k i
i
m y
y s
∑ ∑
= =
= =
Υ
. .
1 .
1
1 ˆ
i i
m k
k i
ik m
k ik
i DIRECT
i
y w
w y
∑∑ ∑∑
= =
= =
Υ
i ij
i ij
n j
m k
ijk ijk
n m
ijk i
DIRECT i
y w
w y
1 1
1 ˆ
= =
j k
1 1
907
Pendug a
ragam
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Μ −
= Υ
. .
. 2
1 ˆ
i i
i i
DIRECT i
m m
S V
ij ij
ij m
j ij
i i
i c
i i
i i
i DIRECT
i
m s
m n
S n
n V
ij
1 2
2 .
2 2
. 2
1 ˆ
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
Μ −
Μ Μ
Μ Ν
+ Μ
Ν ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Ν
− =
Υ
∑
=
1 1
1 2
2 1
2 2
− −
= −
− =
∑ ∑
= =
ij m
k ij
ijk ij
n j
i i
ij c
m y
y s
n y
y s
ij i
ijk ijk
ijk
x y
e
β
ˆ ˆ
− =
Penduga GREG
SRS TSCS
Bobot
. .
1
i i
ik ik
m w
Μ =
=
π
ij ij
i i
ijk ijk
m n
w Μ
Ν =
=
π
1
Pendug a
nilai tengah
βˆ ˆ
ˆ ˆ
T i
i DIRECT
i GREG
i
Χ −
Χ +
Υ =
Υ βˆ
ˆ ˆ
ˆ
T DIRECT
GREG
Χ −
Χ +
Υ =
Υ
i i
i i
Pendug a
ragam
∑
=
− −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Μ −
= Υ
.
1 .
2 .
. .
.
1 ˆ
ˆ 1
1 ˆ
i
m k
i i
k i
i i
i GREG
i
m e
e m
m V
1 ˆ
ˆ 1
ˆ ˆ
1 ˆ
2 1
1 2
2 .
1 2
2 .
2
− −
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
Μ −
Μ Μ
Μ Ν
+ −
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Ν
− Μ
Ν =
Υ
∑∑ ∑
= = =
ij ij
ijk n
j m
k ij
ij ij
ij ij
i i
i n
j i
i ij
i i
i i
i GREG
i
m e
e m
m n
n e
e n
n V
i ij
i
4. Model Based Design Estimator
