GRUP TOPOLOGIS Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

Grup Topologis Diah Junia Eksi Palupi Jurusan Matematika FMIPA‐UGM e ‐mail:diahju55yahoo.com ABSTRAK Salah satu struktur aljabar yang harus dikuasai oleh seorang matematikawan adalah grup yaitu suatu himpunan tak kosong G yang dilengkapi dengan operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma. Selain daripada itu, konsep lain yang melibatkan himpunan dan fungsi kontinu adalah topologi. Tulisan ini akan mengkaitkan konsep grup dan topologi sehingga terkonstruksi grup topologis yaitu pergandaan langsung ruang topologis dilengkapi fungsi kontinu dan beberapa sifatnya. Dalam hal ini operasi biner pada grup dinamakan operasi perkalian. Katakunci:Grup, Topologi;fungsi kontinu PENDAHULUAN Aplikasi Grup pada disipilin ilmu yang lain telah banyak ditulis. Representasi Grup banyak dimanfaatkan oleh golongan fisikawan. Oleh karena adanya konsep topologi yang sangat luas kegunaannya maka penulis mengkaji kaitan konsep Grup dan Topologi menjadi Grup Topologikal Selanjutnya dapat diteliti bagaimana representasinya.

1. GRUP TOPOLOGIS

Pada pembahasan grup topologis ini diharapkan sudah mengenal konsep grup, konsep topologi beserta sifat‐sifatnya. Beberapa pengertian yang diperlukan akan diulang secara sepintas. Definisi 1.1 Diberikan grup G beserta topologi τ pada G. Ruang topologi G, τ disebut Grup Topologis jika ketentuan berikut dipenuhi. GT1. Pemetaan g 1 : G x G G yang didefinisikan sebagai → x,y xy dan → GT2. pemetaan g 2 : G → G yang didefinisikan Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007 x x → ‐1 berturut‐turut kontinu pada setiap titik x,y ∈ G x G dan x ∈ G Contoh Grup G sebarang dilengkapi dengan topologi diskrit merupakan grup topologis. Misalkan himpunan bilangan real R, himpunan bilangan rasional Q Definisi 1.2 Diberikan grup G beserta topologi τ pada G. Ruang topologi G, τ disebut Grup Topologis jika dipenuhi GT’ Pemetaan g’ : G x G G yang didefinisikan sebagai → x,y xy → ‐1 kontinu untuk setiap x,y ∈ G x G Lemma 1.3 Definisi 1 ekuivalen Definisi 2 Suatu fungsi f dari ruang topologis E ke ruang topologis lain F dikatakan Fungsi Terbuka jika untuk setiap himpunan terbuka U dari E maka fU juga terbuka. Selanjutnya f disebut Homeomorfisma jika f terbuka dan injektif. Definisi 1.4 Diberikan grup topologis G, τ dan a ∈ G. Pemetaan t ki : G G yang didefinisikan sebagai x ax untuk setiap x → → ∈ G merupakan pemetaan kontinu yang disebut Pemetaan Translasi Kiri. Secara sama dapat didefinisikan Pemetaan Tranlasi Kanan t ka Teorema 1.5 Diberikan grup topologis G, τ maka berlakulah pernyataan berikut i Pemataan Translasi merupakan pemetaan kontinu; ii Pemataan Translasi adalah homeomorfisma dari G ke dirinya sendiri. iii Pemetaan t 1 : G G yang didefinisikan sebagai → x axb dengan a,b → ∈ G untuk setiap x ∈ G merupakan homeomorfisma dari G ke dirinya sendiri. SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007 732 Himpunan T = {t 1 │t 1 : G G dengan t → 1 x = axb, a,b ∈ G, x ∈ G} merupakan grup yang disebut Grup Homeomorfisma dari G. iv Himpunan S = { s : G → G│sx = axa ‐1 , a ∈ G, x ∈ G } adalah subgrup T v Pemetaan g 2 dari G ke G pada definisi1 adalah homeomorfisma. Himpunan A merupakan himpunan bagian grup topologis G dan x ∈ G maka himpunan xA = {xa│a ∈ A} dan secara sama Ax = { ax│a ∈ A}, A ‐1 = {x ‐1 │x ∈ A}. Memanfaatkan teorema5 di atas diperoleh lemma berikut. Lemma 1.6 Diberikan grup topologis G dan A himpunan bagian yang terbuka maka xA, Ax dan A ‐1 merupakan himpunan terbuka.

2. SUBGRUP TOPOLOGIS