maka model 3.1.1 dapat ditransformasikan ke model fuzzy probabilistik
berikut :
: alkan
m ~
Memini
∑
=
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
=
n i
i i
i i
i i
i
Q H
Q S
p p
A Q
p TC
i
1
2 ˆ
ˆ ˆ
ˆ ,
ˆ
β
3.1.2 dengan
kendala :
. ,........,
2 ,
1 ,
, ˆ
ˆ ˆ
~
1 1
n i
Q p
B Q
p W
Q w
i i
n i
i i
n i
i i
= ≤
≤
∑ ∑
= =
Tanda ” ~ ” menyatakan parameter fuzzy.
3.2. Program Nonlinear Probabilistik
Probabilistic Non‐Linear Programming, PNLP
Diberikan masalah program nonlinear probabilistik sebagai berikut :
: an
Meminimalk X
g dengan
kendala :
, ,
2 ,
1 ,
≥ =
≤ ′
X m
j b
X g
j j
L
atau ekuivalen dengan
: an
Meminimalk X
g 3.2.1
dengan kendala :
, ,
2 ,
1 ,
≥ =
≤ X
m j
X g
j
L
dengan ,
dan X adalah vektor dari N variabel random
yang masing‐masing memuat variabel keputusan .
, ≥
− ′
= X
b X
g X
g
j j
j N
y y
y ,
, ,
2 1
L
n
x x
x ,
, ,
2 1
L
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
742
Masalah dalam persamaan 3.2.1 dapat dikonversi dalam masalah
program nonlinear deterministik dengan menerapkan metode pemrograman
Chance Constrained sebagai berikut :
3.2.1. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan
dapat diperluas terhadap X
g
i
y ,
mean dari variabel random
, dapat dinyatakan sebagai :
i
y +
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
=
∑
= i
i N
i X
i
y y
y g
X g
X g
1
bentuk derivatif order lebih tinggi
3.2.2 Diasumsikan
standar deviasi dari kecil
i
y
kecil
i
y
σ ,
sehingga dapat
didekati X
g
dengan dua bentuk jumlahan pertama persamaan 3.2.2 yaitu :
∑ =
∑ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
= N
i N
i i
y X
i y
g i
y X
i y
g X
g X
g 1
1
3.2.3 dinotasikan
X X
g ψ
= .
Misalkan berdistribusi normal,
i
y
N i
, ,
2 ,
1 L
=
, maka
X
ψ yang
merupakan fungsi linear dari X juga berdistribusi normal. Mean dan variansi
dari
X
ψ diberikan sebagai :
5 .
2 .
3 var
4 .
2 .
3
2 1
2 2
i
y N
i X
i
y g
X g
X σ
ψ σ
ψ ψ
ψ
∑
=
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
= =
= =
untuk setiap independen,
i
y
N i
, ,
2 ,
1 L
=
. Jadi,
fungsi tujuan dari masalah program nonlinear probabilistik 3.2.1 ekuivalen
dengan tujuan deterministik berikut :
Matematika
743
⎩ ⎨
⎧
ψ
σ ψ
: an
Meminimalk E‐V‐model
3.2.6 3.2.2.
Fungsi Kendala
Diasumsikan bahwa beberapa kendala pada persamaan 3.2.1 adalah
parameter random probabilistik dengan probabilitas dari
adalah lebih besar
atau sama dengan suatu nilai probabilitas yang ditentukan, katakan .
Jadi kendala 3.2.1 dapat dinyatakan sebagai : 3.2.7
≤
j
g
j
r m
j ,
, 2
, 1
L =
m j
r dg
g f
j j
j g
j
, ,
2 ,
1 ,
L =
≥
∫
∞ −
dengan
j g
g f
j
adalah fungsi densitas probabilitas dari variabel random. Fungsi
kendala dapat diperluas di sekitar vektor mean
X g
j
X dari variabel
random ,
yang dapat
dinyatakan sebagai
:
i
y
∑ ∑
= =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
=
N i
N i
i X
i j
i X
i j
j j
y y
g y
y g
X g
X g
1 1
3.2.8 Misalkan
berdistribusi normal,
i
y
N i
, ,
2 ,
1 L
=
, maka
yang merupakan
fungsi linear dari X juga berdistribusi normal. Mean dan variansi dari
diberikan sebagai :
X g
j
X g
j
10 .
2 .
3 9
. 2
. 3
2 1
2 1
2
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
= =
∑
=
i j
y N
i X
i j
g j
j
y g
X g
g σ
σ
Selanjutnya dengan mengenalkan variabel bantu
j
θ , yaitu :
j
g j
j j
g g
σ θ
− =
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
3.2.11 dan
dengan teorema Limit Pusat didapat :
1 ,
N
j
≈
θ Sehingga
persamaan 3.2.7 dapat dinyatakan sebagai :
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
744
∫ ∫
∞ −
∞ −
≥
2 2
2 2
2 1
2 1
j j
t j
g j
g j
r j
dt e
d e
φ
π θ
π
σ θ
dengan
j j
r
φ adalah nilai variabel normal standar dari probabilitas
sedemikian
j
r
hingga :
≤ −
j j
g j
r g
j
φ σ
3.2.12 Dari
persamaan 3.2.10 dan persamaan 3.2.12 didapat :
2 1
2 1
2
≤ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∑
= j
j y
N i
X i
j j
r y
g g
i
φ σ
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
3.2.13
Jadi, masalah program nonlinear probabilistik 3.2.1 dapat direduksi ke
dalam masalah program nonlinear deterministik multiobjektif sebagai berikut:
⎩ ⎨
⎧
ψ
σ ψ
: an
Meminimalk E‐V‐ Model
3.2.14
dengan kendala :
2 1
2 1
2
≤ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∑
= j
j y
N i
X i
j j
r y
g g
i
φ σ
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
≥ X
. 3.3.
Metode Pemrograman Fuzzy untuk menyelesaikan model PNLP
Untuk menyelesaikan masalah 3.2.14, langkah pertama adalah
menentukan nilai
dan yang masing‐masing merupakan nilai batas atas
dan batas bawah untuk setiap fungsi objektif, dengan
adalah levelnilai penerimaan
tertinggi dari hasil yang dicapai untuk objektif ke‐k, adalah
levelnilai penerimaan terendah dari hasil yang dicapai untuk objektif ke‐k dan
adalah penurunan degradation yang diperbolehkan untuk k
k
U
k
L
k
U
k
L
k k
k
L U
d −
=
Matematika
745
objektif. Langkah‐langkah metode pemrograman fuzzy diberikan sebagai
berikut :
Langkah 1 : Selesaikan program multiobjektif sebagai masalah single‐objektif,
yaitu dengan menyelesaikan satu fungsi objektif pada satu waktu
dan mengabaikan fungsi objektif yang lain.
Langkah 2 :
Dari hasil langkah 1, tentukan korespondensi nilai untuk
setiap fungsi objektif dari masing‐masing penyelesaian yang
diperoleh. Langkah
3 : Dari hasil langkah 2, tentukan nilai dan
untuk setiap fungsi
objektif.
k
U
k
L
Untuk masalah 3.2.14, fungsi keanggotaan
X
k
μ dapat berupa linear
atau nonlinear. Untuk penyederhanaan, digunakan fungsi keanggotaan linear
untuk setiap k fungsi objektif yang didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 3.3.1.
Fungsi Keanggotaan Linear
Fungsi keanggotaan linear untuk masalah vector‐minimum didefinisikan sebagai
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
− −
− =
, 1
, 1
,
k k
k k
k k
k k
k k
k k
L Z
U Z
L L
U L
Z U
Z X
μ
3.3.1 dengan
⎩ ⎨
⎧ =
= =
2 1
k X
k X
Z
k ψ
σ ψ
X
k
μ adalah fungsi keanggotaan dari k fungsi objektif ,
dan masing
‐masing menyatakan
batas atas dan batas bawah dari fungsi objektif sedemikian hingga
derajat dari fungsi keanggotaannya nol atau satu.
k
U
k
L
k
Z
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
746
k
μ 1
k
L
k
U
k
Z Gambar
3.3.1. Fungsi
keanggotaan linear untuk vector‐minimum. Dengan
menggunakan fungsi keanggotaan linear
X
k
μ ,
keputusan fuzzy
lihat [1] dan metode pemrograman nonlinear fuzzy lihat [8] maka masalah
program nonlinear multiobjektif 3.2.14 dapat diformulasikan sebagai :
Maksimumkan :
α
3.3.2 dengan
kendala :
2 ,
1 ,
= −
− ≤
k L
U Z
U
k k
k k
α
2 1
2 1
2
≤ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∑
=
i
y N
i X
i j
j j
j
y g
r g
σ φ
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
≥ X
,
[ ]
1 ,
∈ α
. 3.4.
Penyelesaian Program Nonlinear Fuzzy Probabilistik untuk Model Inventory
Dalam teori himpunan fuzzy, fungsi objektif fuzzy dan kendala fuzzy
didefinisikan dengan fungsi keanggotaan linear atau nonlinear. Diasumsikan
bahwa ,
Q p
ETC
μ ,
, Q
p
VTC
μ ,
dan ,
Q p
W
μ masing
‐masing sebagai fungsi keanggotaan
linear yang dapat dinyatakan sebagai berikut :
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
+ ≤
≤ −
− +
= ,
, 1
, ,
, 1
, ,
, C
Q p
ETC P
C Q
p ETC
C P
C Q
p ETC
P C
Q p
ETC Q
p
ETC ETC
ETC ETC
μ
3.4.1
Matematika
747
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
+ ≤
≤ −
− +
= ,
, 1
, ,
, 1
, ,
, D
Q p
VTC P
D Q
p VTC
D P
D Q
p VTC
P D
Q p
VTC Q
p
VTC VTC
VTC VTC
μ
3.4.2
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎨ ⎧
+ ≤
≤ −
− +
=
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
W Q
w P
W Q
w W
P W
Q w
P W
Q w
Q
n i
i i
W n
i i
i W
n i
i i
W n
i i
i
W
1 1
1 1
, 1
, 1
,
μ
3.4.3 dimana
ekspektasi dari total biaya rata‐rata per‐tahun adalah dengan
toleransi ,
standar deviasi dari total biaya rata‐rata per‐tahun adalah dengan
toleransi ,
dan luas tempat yang tersedia untuk penyimpanan adalah
W dengan toleransi .
C
ETC
P D
VTC
P
W
P Menggunakan
metode pemrograman nonlinear fuzzy lihat [8], penyelesaian
dari model inventory fuzzy probabilistik 3.1.12 dapat ditransformasikan
sebagai berikut : Memaksimalkan
:
α
3.4.4
dengan kendala :
W n
i i
i
P W
Q w
∑
=
− −
≤
1
1 α
VTC ETC
P D
Q p
VTC P
C Q
p ETC
, 1
, 1
− −
≤ −
− ≤
α α
2 1
1 2
2 2
1 1
1
≤ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− −
∑ ∑
= =
n i
B p
i n
i i
i
i
Q r
B Q
p σ
σ φ
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
748
n i
Q p
i i
, ,
2 ,
1 ,
, L
= ,
[ ]
1 ,
∈ α
. dengan
∑
=
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
=
n i
i i
i i
i i
i
Q H
Q S
p p
A Q
p ETC
i
1
2 ,
β
2 1
1 2
2 1
2 2
2 2
2 2
1 4
, ⎪⎭
⎪ ⎬
⎫ ⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎭
⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ −
− +
+ =
∑
= +
n i
p i
i i
i i
i i
i H
i S
i i
i
i i
i i
i i
p Q
S A
p A
Q p
Q A
Q p
VTC σ
β β
σ σ
β β
β
3.5. Program Nonlinear Multiobjektif dengan Fungsi Objektif Fuzzy
Interaktif
Untuk menentukan solusi kompromi dapat dilakukan dengan
pendekatan interactive programming yang merupakan suatu cara menentukan
solusi kompromi dengan asumsi pengambil keputusan dapat menentukan titik
referensi reference point untuk fungsi‐fungsi tujuan dan fungsi kendala yang
dapat mengubah titik referensi secara interaktif untuk memperbaiki solusi.
Masalah program nonlinear multiobjektif adalah mencari vektor
keputusan yang
mengoptimalkan fungsi
‐fungsi sasaran
T n
x x
x x
,..., ,
2 1
=
T k
x f
x f
x f
,...,
1
=
dan memenuhi fungsi‐fungsi kendala
, ,...,
2 ,
1 ,
m j
x g
j
= yang diberikan
dengan merupakan variabel‐variabel keputusan. Masalah
program nonlinear multiobjektif dapat diformulasikan sebagai berikut :
n
x x
x dan
,... ,
2 1
Meminimalkan :
3.5.1
T k
x f
x f
x f
x f
,..., ,
2 1
=
Dengan kendala :
{ }
,..., 2
, 1
, ≥
= ≤
ℜ ∈
= ∈
x m
j x
g x
X x
j n
Dalam penyelesaian masalah program nonlinear multiobjektif 2.5.1,
didefinisikan solusi optimal lengkap dan solusi optimal Pareto sebagai berikut :
Matematika
749
Definisi 3.5.1 solusi optimal lengkap
Masalah program nonlinear multiobjektif 2.5.1 dikatakan mempunyai solusi optimal
lengkap jika
terdapat sehingga
.
X x
∈ X
x setiap
untuk k
i x
f x
f
i i
∈ =
≤ ,...,
2 ,
1 ,
Di sini disebut solusi optimal lengkap.
x
Definisi 3.5.2 solusi optimal Pareto
x
dikatakan solusi optimal Pareto program nonlinear multiobjektif jika tidak ada yang lain sedemikian sehingga :
X x
∈ ,...,
2 ,
1 ,
x f
x f
dan i
setiap untuk
k i
x f
x f
j j
i i
≠ =
≤ untuk
paling sedikit satu j.
Metode interaktif untuk menyelesaikan masalah program nonlinear
multiobjektif 3.5.1 yang akan digunakan adalah metode titik referensi
reference point method. Ide dasar dari metode titik referensi adalah pengambil
keputusan dapat menentukan nilai referensi untuk fungsi tujuan dan fungsi
kendala serta dapat mengubah tingkat referensi secara interaktif untuk
mempelajari atau memperbaiki pengertian selama proses solusi. Untuk setiap
fungsi tujuan yang konflik, diasumsikan pengambil keputusan dapat
mengganti titik referensi secara interaktif untuk memperbaiki penyelesaian
selama proses solusi.
Dengan masalah minimax diselesaikan masalah berikut :
{ }
k i
f x
f
i i
,..., 2
, 1
, max
an Meminimalk
= −
3.5.2 dengan
kendala : X
x ∈
atau ekuivalen dengan
v an
Meminimalk
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
750
dengan kendala :
3.5.3
k i
v f
x f
i i
,..., 2
, 1
, =
≤ −
, X
x ∈
Teorema 3.5.3
Jika solusi optimal tunggal dari masalah minimax 3.5.3 untuk suatu titik referensi
x
i
f
, maka adalah solusi optimal Pareto dari program nonlinear multiobjektif 3.5.1
x
Bukti Diketahui
solusi optimal tunggal dari masalah minimax, yaitu :
satu‐ satunya
anggota X yang memenuhi
x x
{ }
i i
k i
X y
f y
f x
− =
= ∈
max min
,..., 1
. Andaikan
bukan solusi optimal Pareto dari masalah program nonlinear multiobjektif
3.5.1, maka terdapat
x
X x
∈ sehingga
dan Jadi
k i
x f
x f
i i
,..., 2
, 1
, =
≤
. suatu
untuk j
x f
x f
j j
j f
x f
f x
f
i i
i i
suatu untuk
− −
. Jika
diambil nilai maksimumnya untuk
k i
,..., 2
, 1
=
diperoleh :
{ }
{ }
k i
f x
f f
x f
i i
k i
i i
k i
,..., 2
, 1
, max
max
,..., 2
, 1
,..., 2
, 1
= −
−
= =
Selanjutnya jika diambil nilai minimumnya diperoleh :
{ }
{ }
{ }
,..., 2
, 1
,..., 2
, 1
,..., 2
, 1
max min
max max
min x
f x
f f
x f
f t
f x
i i
k i
X y
i i
k i
i i
k i
X t
= −
− −
=
= ∈
= =
∈
Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa
adalah solusi optimal tunggal
dari masalah minimax. Jadi terbukti bahwa adalah solusi optimal
Pareto dari program nonlinear multiobjektif □
x x
Teorema 3.5.4
Jika solusi optimal Pareto dari program nonlinear multiobjektif 3.5.1, maka
adalah solusi optimal dari masalah minimax 3.5.3 untuk suatu titik referensi
x x
i
f
. Bukti
Matematika
751
Diketahui solusi
optimal Pareto dari program nonlinear multiobjektif 3.5.1,
maka dapat dipilih titik referensi
X x
∈
T k
i
f f
f f
,..., ,
2 1
=
sehingga
k i
v f
x f
i i
,..., 2
, 1
, =
− −
. Untuk titik referensi tersebut, jika
bukan solusi optimal
dari masalah minimax 3.5.3, maka terdapat
x
X x
∈ sehingga :
k i
v f
x f
f x
f
i i
i i
,..., 2
, 1
, =
= −
−
. Akibatnya,
terdapat sehingga
. X
x ∈
k i
x f
x f
i i
,..., 2
, 1
, =
Hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa
adalah solusi optimal Pareto
dari program nonlinear multiobjektif 3.5.1. Jadi terbukti bahwa adalah
solusi optimal dari masalah minimax 3.5.3 untuk suatu titik referensi
x x
i
f
□ 3.6.
Penyelesaian Program Nonlinear Multiobjektif Fuzzy Probabiblistik dengan
Metode Interaktif untuk Model Inventory
Penyelesaian masalah program nonlinear multiobjektif fuzzy
probabilistik 3.2.14 untuk model inventory dapat diselesaikan dengan metode
interaktif. Dalam metode interaktif diasumsikan bahwa pengambil keputusan
dapat menentukan tingkat keanggotaan referensi yaitu :
ETC
μ ,
VTC
μ ,
dan
W
μ . Selain
itu diasumsikan bahwa fungsi‐fungsi keanggotaan untuk fungsi tujuan dan
fungsi kendala fuzzy adalah linear. Penyelesaian masalah program nonlinear
multiobjektif fuzzy probabilistik 2.2.20 untuk model inventory dengan
tingkat keanggotaan referensi
ETC
μ ,
VTC
μ ,
dan
W
μ yang sudah ditentukan,
dapat diselesaikan dengan cara meminimalkan jarak antara ,
Q p
ETC
μ ,
, Q
p
VTC
μ ,
dan ,
Q p
W
μ dengan
ETC
μ ,
VTC
μ ,
dan
W
μ sebagai berikut
:
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
752
W W
VTC VTC
ETC ETC
Q p
Q p
Q p
d μ
μ μ
μ μ
μ −
− −
, ,
, ,
, :
an Meminimalk
dengan kendala :
2 1
2 1
2
≤ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∑
= j
j y
N i
X i
j j
r y
g g
i
φ σ
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
, 3.6.1
≥ X
dengan
W W
VTC VTC
ETC ETC
Q p
Q p
Q p
d μ
μ μ
μ μ
μ −
− −
, ,
, ,
, adalah jarak
antara ,
Q p
ETC
μ ,
, Q
p
VTC
μ ,
dan ,
Q p
W
μ dengan
ETC
μ ,
VTC
μ ,
dan
W
μ . Jika
dipilih : =
− −
−
W W
VTC VTC
ETC ETC
Q p
Q p
Q p
d μ
μ μ
μ μ
μ ,
, ,
, ,
{ }
W W
VTC VTC
ETC ETC
Q p
Q p
Q p
μ μ
μ μ
μ μ
− −
− ,
, ,
, ,
max maka
masalah 3.6.1 menjadi : an
Meminimalk
{ }
W W
VTC VTC
ETC ETC
Q p
Q p
Q p
μ μ
μ μ
μ μ
− −
− ,
, ,
, ,
max
dengan kendala :
2 1
2 1
2
≤ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∑
= j
j y
N i
X i
j j
r y
g g
i
φ σ
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
, 3.6.2
≥ X
Jika diambil :
, ,
, ,
, ,
Q p
Q p
Q p
W W
VTC VTC
ETC ETC
μ μ
μ μ
μ μ
≥ ≥
≥
maka masalah 3.6.2 menjadi :
an Meminimalk
{ }
, ,
, ,
, max
Q p
Q p
Q p
W W
VTC VTC
ETC ETC
μ μ
μ μ
μ μ
− −
−
Dengan kendala :
2 1
2 1
2
≤ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∑
= j
j y
N i
X i
j j
r y
g g
i
φ σ
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
, .
3.6.3 ≥
X
Selanjutnya masalah 3.6.3 disebut masalah minimax dan dapat ditulis dalam
bentuk :
Matematika
753
an Meminimalk
{ }
, ,
, ,
, max
Q p
Q p
Q p
W W
VTC VTC
ETC ETC
μ μ
μ μ
μ μ
− −
−
dengan kendala :
2 1
2 1
2
≤ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∑
= j
j y
N i
X i
j j
r y
g g
i
φ σ
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
, .
3.6.4 ≥
X
Solusi optimal Pareto diperoleh dengan menyelesaikan masalah 3.6.4.
Dengan mengenalkan variabel bantu v, masalah 3.6.4 dapat direduksi menjadi
program nonlinear berikut :
v an
meminimalk
dengan kendala
: v
Q p
v Q
p v
Q p
W W
VTC VTC
ETC ETC
≤ −
≤ −
≤ −
, ,
, μ
μ μ
μ μ
μ
3.6.5
2 1
2 1
2
≤ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∑
= j
j y
N i
X i
j j
r y
g g
i
φ σ
,
m j
, ,
2 ,
1 L
=
, .
≥ X
Selanjutnya disusun algoritma penyelesaian program nonlinear
multiobjektif fuzzy probabilistik dengan metode interaktif, untuk mendapatkan
solusi yang memuaskan the satisficing solution pengambil keputusan yang
diperoleh dari himpunan solusi optimal Pareto. Langkah‐langkah pada
algoritma yang diberi tanda menyatakan bahwa dalam langkah tersebut
diperlukan interaksi dengan pengambil keputusan.
Algoritma penyelesaian program nonlinear multiobjektif fuzzy probabilistik
dengan metode interaktif
Langkah 1 : Tentukan ekspektasi dari total biaya rata‐rata per‐tahun adalah
C
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
754
dengan toleransi
, standar deviasi dari total biaya rata‐rata
per ‐tahun
ETC
P
adalah dengan toleransi
, dan luas tempat yang tersedia
untuk D
VTC
P
penyimpanan adalah W dengan toleransi
.
W
P Langkah
2 : Tentukan fungsi keanggotaan untuk setiap fungsi objektif dan kendala
fuzzy, ,
Q p
ETC
μ ,
, Q
p
VTC
μ ,
dan ,
Q p
W
μ .
Diasumsikan bahwa fungsi keanggotaannya linear seperti yang telah diberikan pada
persamaan 2.4.1‐ 2.4.3. Langkah
3 : Tentukan tingkat keanggotaan referensi awal sama dengan 1. Langkah
4 : Untuk tingkat keanggotaan referensi yang sudah ditentukan, diselesaikan
masalah minimax untuk mendapatkan solusi optimal Pareto dan
nilai fungsi keanggotaan.
Langkah 5 : Jika pengambil keputusan merasa puas dengan solusi optimal
Pareto, proses berhenti.Jika tidak, tanyakan kepada pengambil
keputusan untuk
memperbaiki nilai referensi dan kembali kelangkah 4.
4. DAFTAR PUSTAKA
